Tài liệu ôn tập xác suất thống kê

CHƯƠNG 1,2
Ngun lý cộng
Giả sử một cơng việc có thể thực hiện bằng một trong
Phương pháp 1 có

cách thực hiện,

Phương pháp 2 có

cách thực hiện,…,

phương pháp, trong đó

….
Phương pháp

có

cách thực hiện,

và hai phương pháp khác nhau khơng có cách thực hiện chung.
Khi đó
ta có

+

+⋯+

cách thực hiện cơng việc.

Ngun lý nhân

Giả sử một công việc được thực hiện tuần tự theo
Bước 1 có

cách thực hiện,

Bước 2 có

cách thực hiện,…,

bước, trong đó

….
Bước

có

cách thực hiện,

Khi đó,
ta có

×

× …×

cách thực hiện cơng việc.

Hốn vị
Định nghĩa 1.4.1 Có phần tử khác nhau. Một hốn vị của
phần tử này theo một thứ tự xác định.

phần tử này là một cách sắp xếp

= ! = . ….
Một chỉnh hợp chập là một cách lấy
xếp) từ phần tử khác nhau.
Với tập hợp
công thức

gồm

phần tử, số chỉnh hợp

phần tử khác nhau (có để ý đến thứ tự, trật tự sắp
chập

=

được ký hiệu là

!
( − )!

1

và được xác định bởi


Một tổ hợp chập là một cách lấy phần tử khác nhau (không để ý đến thứ tự, trật tự sắp
xếp) từ phần tử khác nhau. Số tổ hợp chập được ký hiệu là

và được xác định bởi công
thức
=

!
! ( − )!

Công thức cộng
Cho hai biến cố ,

bất kỳ. Khi đó,
( + )= ( )+ ( )− (

Cho hai biến cố ,

)

xung khắc. Khi đó,
( + ) = ( )+ ( )

Xác suất có điều kiện
Cho

và

là hai biến cố của một phép thử, với ( ) > 0. Đại lượng
( )
( )

( | )=

được gọi là xác suất có điều kiện của

khi biết

xảy ra.

Công thức xác suất nhân
Với

và

là hai biến cố bất kì, ta có:
(

Nếu

và

là hai biến cố độc lập thì (

Cơng thức xác suất đầy đủ cho
Cho

,

) = ( ). ( | ) = ( ). ( | )

,…,

) = ( ). ( )

biến cố.

là hệ biến cố đầy đủ. Khi đó, với
( )= (

) ( |

)+ (

là một biến cố bất kì của phép thử, ta có:

) ( |

2

) + ⋯+ (

) ( |

)


CHƯƠNG 3 BIẾN NGẪU NHIÊN
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bảng phân phối xác xuất (Bảng PPXS)
Cho BNN rời rạc

={ ;

,…,

} của .
…
…

Hàm mật độ (xác suất) cho BNN rời rạc
Hàm số : ℝ → ℝ xác định bởi
=
≠

( )=
Một số tính chất của hàm mật độ xác suất
 ∀ ∈ ℝ, ( ) ≥ 0
 ∑

( )=1

Hàm phân phối cho BNN rời rạc bởi công thức
0,

⎧
⎪
( )=

⎨
⎪
⎩

+

<
,
≤ <
+ ,
≤ <
….
+⋯+
,
≤
1,
≤

<

Biến ngẫu nhiên liên tục
Trong trường hợp là biến ngẫu nhiên liên tục, ta dùng hàm mật độ để biểu diễn. Hàm mật độ
xác suất ( ) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:


( ) ≥ 0 với mọi

 ∫

( )

∈ℝ

=1

Tính chất 3.2.3 Cho là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất ( ). Khi đó, với mọi
, ∈ ℝ = ℝ + ±∞, ta có:
( <

< )=

3

( )


Kỳ vọng, phương sai
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên , ký hiệu là ( ) được xác định bởi công thức
⎧

( )=

ế

⎨ ( )=
⎩
⎧

(

⎨ (
⎩

)=

à

( )

ế

)=

ẫ

à

ế
( )

ế

à

ế

ẫ

ế

ế

ℎê
ℎê

ẫ

à

ờ

ℎê

ế

ẫ

ạ
ê

ờ

ụ
ạ

ℎê

ê

ụ

Phương sai của , ký hiệu là
( )= (
Độ lệch tiêu chuẩn:

)−

( )

( )

=

Kỳ vọng của BNN ( ) là:
ℎ( ) =

ℎ( ) =

ℎ( )

ế

ℎ( ) ( )

à

ế

ế

à

ẫ

ℎê

ế

ẫ

ℎê

ờ

ạ

ê

Giá trị tin chắc nhất (mod)
Trường hợp

là BNN rời rạc

=
Trường hợp

⇔

{ ,

=

…

…

…

…

,…,

,…}

là BNN liên tục
=

⇔ ( )=

( )
∈ℝ

Trung vị (Median)
Trung vị của BNN , kí hiệu là
4

ụ


=

nếu thỏa
( <

)≤

( >
Cho BNN

và

Trong đó { ,
=( +

)≤

( <

)≤

( ≤

)≥
+

rời rạc, độc lập có Bảng PPXS như trên. Ta có
}≡

,…,
=

hay

+

= 1, , = 1,

có bảng PPXS:

và

)
( =

=
;

).

=

=

;

;

;

ƠN TẬP
CHƯƠNG 4 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
Dạng 1: Phân phối nhị thức
Phép thử mà ta chỉ quan tâm biến cố
Đặt

=

0 ế
ế
1 ế

ố
ℎô
ế ố
ả

( ) = ( = 1) = , ( ̅) =

có xảy ra hay khơng, được gọi là phép thử Bernoulli.

ả
=1−
0

1

1−

( = )=

= , , ,…

,
=

trong đó

!
!(

)!

= 1 − . Ta ký hiệu ~ ( , )

Trong đó:

 Các đại lượng đặc trưng
 Kỳ vọng: ( ) =
 Phương sai: V
 Gá

ị

( )=

ắ

=

ắ :
−

≤

≤

Dạng 2: Phân phối chuẩn

5

−

+


Các đại lượng đặc trưng
 Kỳ vọng: ( ) =
( )=

 Phương sai:

=
=

 Giá trị tin chắc chắn:
= 0;

Trong trường hợp đặc bệt khi

= 1, ta có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ

( )=

,

√

∈ℝ

Ta ký hiệu ~ (0; 1)
 Đặt ( ) = (0 <

< )=

√

∫

(hàm Laplace, bảng giá trị sẵn có)
 Khi đó: ( ) = + ( )
 Nếu ~ ( ,

) thì

(− ) = − ( ),

(+∞) = , ,



( ≤

≤ )=



( > )= , −



( < )= , +

(−∞) = − ,

−

Phân phối siêu bội
Cho một tập hợp có phần tử, trong đó có phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên
từ tập hợp. Gọi là số phần tử có tính chất A trong phần tử lấy ra. Khi đó,
( = )=
Lúc đó, biến ngẫu nhiên
hiệu ~ ( , , )

=

với

=

;

= 0,1, … ,

được gọi là có quy luật phân phối siêu bội với ba tham số

Tính chất 4.1.1 Cho ~ ( ,
( )=

,

, ). Khi đó

= 1−

. Đại lượng

được gọi là hệ số hiệu chỉnh.

Phân phối Poisson
6

phần tử

,

, . Ký


Biến ngẫu nhiên
{0,1,2, … } và

được gọi là có phân phối Poisson với tham số ,

( = )=

.
!

,

> 0 nếu

lấy giá trị

= 0,1,2 …

Ký hiệu ~ ( )
Cho biến ngẫu nhiên ~ ( ). Ta có


( )=



−1≤

=
≤

(

lấy giá trị nguyên)

Phân phối Poisson thường được dùng để xấp xỉ cho phân phối nhị thức ~ ( , ) trong trường
hợp rất lớn, rất nhỏ. Cụ thể, trong ứng dụng , khi ~ ( , ), trong đó > 50; <

0,01;
< 5 thì
( = )=

≈

7

.
!

,

=


CHƯƠNG 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Dạng 1: Ước lượng giá trị trung bình
Tóm tắt
Trường hợp đã biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể
(không xét ≥
hay < )
Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu
ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ
ẫ
và ≥ 30
Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu
ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ
ẫ
và < 30

Ước lượng khoảng
 Khoảng ( ; )được gọi là khoảng ước lượng của θ nếu ta coi
 Xác suất
1−

Phân phối chuẩn

Phân phối
Student

∈( ; )

[ ∈ ( ; )] = 1 −

được gọi là độ tin cậy của ước lượng.

( : mức ý nghĩa)
Dạng 1.1 Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn, đã biết phương sai
Bước 1: Xác đinh , , , . Tính

=

=

là hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước). Ta suy ra giá trị

với

(tra bảng trang 122)
Bước 2: Tính độ chính xác được tính bởi công thức:

=

.

√

là ( − ;

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của

+ )

Dạng 1.2 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và
Bước 1: Xác định: , ,
và

≥

=

. Tính

( ) là hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước). (tra bảng trang

122)
=

Bước 2: Tính độ chính xác cho bởi cơng thức:

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của μ là ( − ;

.

√

+ )

Dạng 1.3 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và
Bước 1: Xác định: , ,

,

,
8

<


trong đó

có phân phối Student với n – 1 bậc tự do.
− 1, cột

(tra bảng phân phối Student 1 phía dịng
=

Bước 2: Tính độ chính xác cho bởi cơng thức:

.

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của μ là ( − ;

).

√

+ )

Dạng 2: Ước lượng tỉ lệ
Bước 1: xác định , , , 1 − . Tính

=

là hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước). Ta suy ra giá trị

với

Bước 2: Tính độ chính xác được tính bởi cơng thức
=

(

.

)

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của là ( − ; + ).
Dạng 3 : Ước lượng phương sai
Bước 1: tính trung bình
Xác định

,

, xác định 1 −

,phương sai mẫu

,

Bước 2: tính
Trong đó:

,

Trong đó:

,

=

(

)
,

;

=

(

)
,

: có phân phối Chi bình phương dịng n-1, cột 1 −
có phân phối Chi bình phương dịng n-1, cột

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng: ( ;

)

9


CHƯƠNG 7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Kiểm định giả thuyết về một trung bình tổng thể
Trường hợp đã biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể
(không xét ≥
hay < )
Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu
ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ
ẫ
và ≥ 30
Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu
ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ
ẫ
và < 30

Phân phối chuẩn

Phân phối
Student

Dạng 1.1 Trường hợp đã biết phương sai của tổng thể
Bài toán kiểm định

:

=

Bước 1: Ta xác định

,

,

;

( >

>

,

=

=

nếu | | >

bác bỏ với

≠

, , Tính

Bước 2: Tính giá trị kiểm định.
Bước 3: Bác bỏ

:

⟹

√
≠

với
<−

(bác bỏ với

<

)

chấp nhận nếu | | ≤
Bước 4: Kết luận cuối cùng về nội dung bài toán
Dạng 1.2.1 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể Với mẫu có kích thước
Bài toán kiểm định

:

=

Bước 1: Ta xác định

,

,

;

( >

≠
=

, , Tính
=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định.
Bước 3: Bác bỏ

:

≥

⟹

√

nếu | | >

bác bỏ với

>

,

<−

(bác bỏ với

<

)

chấp nhận nếu | | ≤
Bước 4: Kết luận cuối cùng về nội dung bài toán nhằm trả lời một cách rõ ràng câu hỏi mà bài
toán đặt ra
Dạng 1.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể với mẫu có kích thước
Bài toán kiểm định

:

=

;

:

≠
10

<


Bước 1: Ta xác định
trong đó

,

,

, ,

có phân phối Student.

Bước 2: Tính giá trị kiểm định.
Bước 3: Bác bỏ nếu | | >

=

√

;( >

bác bỏ với

>

>

,

bác bỏ với

<

)

chấp nhận nếu | | ≤
Bước 4: Kết luận cuối cùng về nội dung bài toán nhằm trả lời một cách rõ ràng câu hỏi mà bài
toán đặt ra
Kiểm định cho hai trung bình tổng thể
Bài tốn: Hai tổng thể
và
có trung bình
bằng kiểm định giả thuyết sau:

và

:
:

=
≠

. Ở mức ý nghĩa , ta muốn so sánh

Dạng 1.3.1. Trong trường hợp đã biết phương sai tổng thể
à

Bước 1: Ta xác định gồm

;

à

;

và

,

(hoặc

Từ mức ý nghĩa , tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được số

)

sao cho

=

=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | | >

<−

bác bỏ với

<

>

;

: bác bỏ với

>

Chấp nhận khi | | ≤
Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài
≥

Dạng 1.3.2 Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể và
Bước 1: Ta xác định gồm

à

;

à

;

và

(hoặc

Từ mức ý nghĩa , tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được số

11

,

)

sao cho

=

và


=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | | >
<−

<

bác bỏ với

>

;

>

: bác bỏ với

Chấp nhận khi | | ≤
Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài
<

Dạng 1.3.3 Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể và
à

Bước 1: Ta xác định gồm

à

;

;

và

,

(hoặc

)

Từ mức ý nghĩa , tra bảng phân phối Student, ta tìm được số
=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định

=

với

(

)

(

)

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | | >
<−

<

bác bỏ với

>

;

: bác bỏ với

Chấp nhận khi | | <
Kiểm định phương sai
Kiểm đinh:

:

=

;

Bước 1: Xác định , ,

:

=

. Tính
,

=
=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định:
Bước 3: Bác bỏ

(

)

>

nếu

<

hoặc
,

>

bác bỏ

với

>

<

bác bỏ

với

<

<

<

=

chấp nhận

Bước 4: Kết luận giả thuyết từ đề bài
12

,

>


Kiểm định giả thuyết về một tỷ lệ tổng thể
Dạng 2.1 Kiểm định giả thuyết về một tỷ lệ tổng thể
Phương pháp giải bài toán
:

Kiểm đinh:

=

;

Bước 1: Xác định ,

:

≠

, ,

,

=
=

Bước 2: Tính giá trị kiểm định:

(

)

√

nếu | | >

Bước 3: Bác bỏ
( >

⇒

>

bác bỏ với

<−

,

(bác bỏ với

<

)

chấp nhận nếu | | ≤
Bước 4: Kết luận giả thuyết từ đề bài
Kiểm định giả thuyết về hai tỷ lệ tổng thể
Dạng 2.2 Kiểm định cho hai giá trị tỷ lệ của tổng thể
Bài tốn: Có hai tổng thể
nghĩa , ta muốn so sánh

và
và

. Tỉ lệ phần tử có tính chất
bằng giả thuyết:
:
:

Chọn từ 2 tổng thể 2 mẫu kích thước

lần lượt là

và

≥ 30. Tính tỷ lệ mẫu

và

. Ở mức ý

=
≠

≥ 30 và

2. Phương pháp giải bài toán
Bước 1: Xác định

,

,

,

,

Từ mức ý nghĩa, ta tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được số
được
Bước 2: Tính giá trị kiểm định


=



=
(

)

13

sao cho

=

, ta tìm


Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | | >
<−

bác bỏ với

<

>

;

: bác bỏ với

>

Chấp nhận khi | | ≤
Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài
CHƯƠNG 8 HỒI QUY, TƯƠNG QUAN
Hệ số tương quan mẫu được tính theo công thức
=

∑
[ ∑(

− (∑ )(∑ )

) − (∑ ) ] × [ ∑(

) − (∑ ) ]

Bài tốn thiết lập mơ hình hồi qui tuyến tính đơn biến
Bước 1: Kể cột và tính

, tính tổng các cột ∑ , ∑ , ∑

,

,

, ∑

Bước 2: tính
=

+

+ ⋯+

;

+

=

+⋯+

Bước 3: tính
∑

−

=
∑

(∑ )(∑ )
−

(∑ )

Bước 4: thiết lập phương trình hồi qui
=

+

14

;

=

−

Đề trắc nghiệm ôn tập
Bài tập chương 1, 2
Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn ngồi vào 5 chỗ ngồi một cách có thứ tự
A.
B.
C.
D.

120
24
5
10

Câu 2: Trong một lớp học có 30 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp
gồm 4 người
A.
B.
C. 4!
D. 4
Câu 3: Trong một lớp học có 50 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra một ban cán sự lớp
gồm 3 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 bí thư và khơng kiêm nhiệm chức vụ.
A. 3
B. 6
C.
D. Đáp án khác
Câu 4: Hỏi có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số này tăng dần từ
trái qua phải?
A.

B.
C.
D.

24
120
30
126

Câu 5: Trong một hộp có 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A, 6 sản phẩm loại B và 10
sản phẩm loại C. Từ hộp. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 sản phẩm loại A.
Kết quả tròn đến chữ số thập phân thứ 4.
A.
B.
C.
D.

0,0316
0,3134
0,045
Đáp án khác

Câu 6: Theo thống kê trung bình một năm (365 ngày) có 50 ngày mưa to, 40 ngày gió thật lớn
và 20 ngày có bão (vừa mưa to, vừa gió thật lớn). Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên
trong năm có thời tiết thất thường.
A. 13/73
15


B. 15/73

C. 16/73
D. 14/73
Câu 7: Trong một vùng dân cư, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 8%, mắc bệnh huyết áp là 11%,
mắc cả hai bệnh là 6%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng tính xác suất để người đó
khơng mắc bệnh tim cũng khơng mắc bệnh huyết áp.
A.
B.
C.
D.

13%
87%
19%
3%

Câu 8: Một hộp có 9 bi: 7 bi trắng và 2 bi xanh. Lấy 3 bi ra xem màu. Đặt
A = “biến cố lấy được 1 bi trắng”
B = “ biến cố lấy được 3 bi xanh”
C = “biến cố lấy được 3 bi”
Các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng.
A.
B.
C.
D.

A là biến cố chắc chắn
B là biến cố ngẫu nhiên
C là biến cố không thể
B là biến cố không thể

Câu 9: Một sinh viên đi thi môn xác suất chỉ học thuộc 20 câu trong số 25 câu hỏi đã cho.
Khi thi người sinh viên phải trả lời 4 câu hỏi. Tính xác suất để anh ta trả lời được 4 câu hỏi.
A.
B.
C.
D.

0,3480
0,4356
0,3830
0,3380

Câu 10: Tung con xúc xắc cân đối 2 lần liên tiếp. Tính xác suất biến cố có tổng số chấm của
hai mặt nhỏ hơn hay bằng 4 là:
A.
B.
C.
D.

1/3
1/5
1/7
1/6
Bài tập chương 2 (tiếp theo)

Câu 1: Một cuộc khảo sát của InterContinental Hotels & Resorts hỏi người được phỏng vấn,
“Khi đi du lịch quốc tế, bạn thường du lịch một mình để trải nghiệm văn hóa, hoặc gắn bó với

16

nhóm du lịch và hành trình của bạn?” Khảo sát cho thấy 23% số người được hỏi gắn bó với
nhóm du lịch của họ. (USD Today, ngày 21/10/2004).
Với một mẫu gồm 6 du khách quốc tế, xác suất có 2 người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là
bao nhiêu?
A. 27,89%

B. 30%

C. 25%

D. 28,79%

Câu 2: Một cuộc khảo sát của InterContinental Hotels & Resorts hỏi người được phỏng vấn,
“Khi đi du lịch quốc tế, bạn thường du lịch một mình để trải nghiệm văn hóa, hoặc gắn bó với
nhóm du lịch và hành trình của bạn?” Khảo sát cho thấy 23% số người được hỏi gắn bó với
nhóm du lịch của họ. (USD Today, ngày 21/10/2004).
Với một mẫu gồm 6 du khách quốc tế, xác suất để ít nhất 2 người sẽ gắn bó với với nhóm du
lịch của họ là bao nhiêu?
A. 0,481

B. 0,84 2

C.0,418

D. 0,184

Câu 3: Ở Francisco, 30% cơng nhân đón xe cơng cộng để đi làm hàng ngày (USD Today, ngày
21/12/2005)
Với một mẫu gồm 10 cơng nhân, xác suất có đúng 3 cơng nhân đón xe cơng cộng để đi làm hàng

ngày là bao nhiêu?
A. 0,662

B. 0,267

C. 0,287

D. 0,277

Câu 4: Một trường đại học nhận thấy rằng có 20% sinh viên của mình bỏ khơng hồn thành
khóa học thống kê cơ bản. Giả sử có 20 sinh viên đăng ký khóa học này.
Tính xác suất có đúng 4 sinh viên bỏ học.
A. 0,181

B. 0,199

C. 0,281

D. 0,218

Câu 5: Một trường đại học nhận thấy rằng có 20% sinh viên của mình bỏ khơng hồn thành
khóa học thống kê cơ bản. Giả sử có 20 sinh viên đăng ký khóa học này.
Tính xác suất có đúng 10 sinh viên hồn thành khóa học này.
A. 0,02

B. 0,002

C. 0,003

D. 0,004

17


Câu 6: Một bộ bài tây có 52 lá, tính xác suất rút đươc lá 3 bích, biết rằng lá đang cầm trên tay là
lá đen.
A. 1/52
B. 1/13
C. 1/26
D. 1/2
Câu 7: Một hộp đựng 15 bi màu đỏ, 10 bi xanh, 25 bi màu trắng giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên
1 bi và khơng nhìn vào hộp. Hãy tìm xác suất để lấy được bi đỏ hoặc bi xanh.
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/5
Câu 8: Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 6 bi đen. Rút ngẫu nhiên khơng hồn lại lần lượt 2 bi.
Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước, bi đen sau.
A. 2/11
B. 3/11
C. 4/11
D. 5/11
Câu 9: Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 6 bi đen. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng bi ra 2 bi (rút có
hồn lại). Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước, bi đen sau:
A. 31/121
B. 29/121
C. 30/121
D. 28/121
18

Câu 10: Tỷ lệ hồ sơ đăng kí thi vào khối thi đại học A,B,C,D lần lượt là 30%, 35%, 25%, 10%.
Nếu tỷ lệ đậu đại học khối A,B,C,D tương ứng của một học sinh là 10%, 15%, 20% và 5% thì
xác suất học sinh đó đậu đại học là bao nhiêu?
A. 0,1185
B. 0,1387
C. 0,1358
D. 0,1375
Bài tập chương 3
Câu 1: Xét các phép thử và biến ngẫu nhiên, hãy cho biết đâu là biến ngẫu nhiên rời rạc
A. Liên lạc với 5 khách hàng. X là số lượng khách hàng đặt hàng
B. Xây một thư viện. X là phần trăm hoàn thành kế hoạch xây dựng sau 6 tháng
C. Quan sát một q trình hóa học mới. X là nhiệt độ để phản ứng mong muốn xảy ra (nhỏ nhất
là 150 độ F, lớn nhất là 212 độ F)
D. Rót nước vào một cái can dung tích 1,2 lít. X là số lít nước rót vào
Câu 2: Xét các phép thử và biến ngẫu nhiên, hãy cho biết đâu là biến ngẫu nhiên liên tục.
A. Kiểm tra chất lương của 50 chiếc radio. X là số lượng radio kém chất lượng.
B. Mở cửa một nhà hàng trong một ngày. X là số lượng khách hàng
C. Bán một chiếc ô tô. X là giới tính của khách hàng (0 là nam, 1 là nữ)
D. Quan sát một ngân hàng. X là thời gian cách nhau giữa hai khách hàng.
Câu 3: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất
X
P
Kỳ vọng E(X) có giá trị là
A. 4

B. 3

1
0,4

C. 2

2
0,3

3
0,2

4
0,1

D. 1

Câu 4: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất
X
P

1
a

2
2a

Giá trị của a là
A. 0,1

B. 0,2

C. 0,3

D. 0,4
19

3
a

4
a


Câu 5: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất
X
P

-1
0,4

2
0,2

3
0,3

4
0,1

Độ lệch chuẩn là:
A. 3,81

B. 5,50

C. 1,95

D. 1,30

Câu 6: Một thùng có 20 sản phẩm (gồm 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu). Từ thùng lấy ngẫu
nhiên 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được trong 3 sản phẩm lấy ra.Tìm kì vọng E(X).
A. 2,52
B. 2,51
C. 2,25
D. 5,22
Câu 7: Hộp có 7 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ hộp để mua. Giá mỗi sản phẩm loại A là 10 (nghìn đồng), giá mỗi sản phẩm loại B là 8
(nghìn đồng). Gọi X là tổng số tiền người khách phải trả. Giá trị trung bình của X là
A. 18 (nghìn đồng)
B. 19 (nghìn đồng)
C. 18,8 (nghìn đồng)
D. 19,9 (nghìn đồng)
Câu 8: Thời gian học rành nghề sửa xe máy (năm) là Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
0,
( )=

3
8

,
0,

<0
∈ [0,2]

>2

Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa xe máy (tính kỳ vọng E(X))
A. 3/4
B. 4/3
C. 2/3
D. 3/2
Câu 9: Tuổi thọ của một lồi cơn trùng nào đó là Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
( )=

(4 − ) , ∈ [0; 4]
0, ∉ [0; 4]
20


Giá trị của k là
A. 3/64
B. 64/3
C. 46/3
D. 3/46
Câu 10: Thời gian học rành nghề sửa xe máy (năm) là Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
0,
3
( )=
8

,
0,

<0

∈ [0,2]
>2

P(1A. 18/64
B. 20/64
C.19/64
D. 21/64
Bài tập chương 4
Câu 1: Xác suất một hộp sữa trong kho bị hỏng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 20 hộp. Tính xác suất
lấy được nhiều nhất 3 hộp bị hỏng.
A. 0,7762

B. 0,7576

C. 0,7675

D. 0,7657

Câu 2: Xác suất một hộp sữa trong kho bị hỏng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 20 hộp. Trung bình số
hộp sữa bị hỏng là
A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 3: Cho 12 viên bi trong đó có 5 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất lấy được

2 bi đỏ và trung bình số bi đỏ lấy được.
A. 14/33 và 5/3
B. 5/33 và 14/3
C. 14/5 và 33/3

21


D. 14/33 và 3/5
Câu 4: Tại một siêu thị, trung bình số người đến siêu thị trong 1 giờ là 2 người. Giả sử số người
đến siêu thị là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson. Tính xác suất có ít nhất 2 người đến siêu
thị trong 2 giờ
A. 0,8084

B. 0,4088

C. 0,8044

D. 0,9084

Câu 5: Cho biết chỉ số
thông minh là biến ngẫu nhiên liên tục có có phân phối chuẩn:
~ (100,256). Hội Mensa (siêu thơng minh) gồm thành viên có chỉ số
> 132. Tổ chức
này chiếm bao nhiêu phần trăm dân số thế giới?
A. 2,82%

B. 8,22%

C. 2,28%

D. 2,18%

Câu 6: Trọng lượng X (gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn ( ; ) với
và
= 16 (
) Trái cây thu hoạch được phân theo trọng lượng như sau:
Loại 1: trên 505 gam,
Loại 2: từ 495 đến 505 gam,
Loại 3: dưới 495 gam.

= 500 (gam)

Tính tỷ lệ trái cây loại 2
A. 88,78%

B. 76,88%

C. 78,88%

D. 88,77%

Câu 7: Trọng lượng X (gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn ( ; ) với
và
= 16 (
) Trái cây thu hoạch được phân theo trọng lượng như sau:
Loại 1: trên 505 gam,
Loại 2: từ 495 đến 505 gam,
Loại 3: dưới 495 gam.

= 500 (gam)

Tính tỷ lệ trái cây loại 3
A. 10,56%

B. 11,56%

C. 15,06%

D. 16,05%

Câu 8: Thời gian sử dụng Internet của một người dân Việt Nam (X, đơn vị giờ) là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn, với. Biết xác suất một người Việt Nam có thời gian sử dụng Internet
trong ngày hơn 6 tiếng là 0,1587 và xác suất đối với thời gian sử dụng Internet trong ngày hơn
6,5 tiếng là 0,0228. Tìm kỳ vọng và độ lệch tiêu chuẩn.
A.

= 7,5;

= 1,5

B.

= 5,5;

= 0,5

C.

= 6,5;

= 0,5

D.

= 5,5;

= 1,5

Câu 9: Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình là 175 cm và
độ lệch chuẩn 4 cm. Tính tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.
A. 61,95%

B. 65,91%

C. 69,15%
22

D. 61,95%


Câu 10: Thời gian sử dụng Internet trong ngày của một người dân Việt Nam ( , đơn vị giờ) là
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, với ~ (5,25; ). Biết xác suất một người Việt Nam có
thời gian sử dụng Internet trong ngày trong khoảng từ 4,5 đến 6 giờ là 0,6826. Tính độ lệch
chuẩn về thời gian sử dụng Internet trong ngày của một người Việt Nam.
A. 0,35
B. 0,45
C. 0,55
D. 0,75
Bài tập chương 5, 6

Câu 1: Trong một đợt kiểm tra về trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm với 100 mẫu, người
ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64. Với độ tin cậy 97%, hãy
ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của sản phẩm này. Làm trịn kết quả đến chữ số
thập phân thứ 4.
A. từ 217,2571 gam đến 222,7429 gam
B. từ 215,2571 gam đến 212,7429 gam
C. từ 217,2581 gam đến 222,7439 gam
D. từ 216,2571 gam đến 224,7429 gam
Câu 2: Trong một đợt kiểm tra về trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm với 100 mẫu, người
ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64. Muốn ước lượng trọng
lượng trung bình của sản phẩm với độ tin cậy là 97% và sai số (độ chính xác) khơng q 2.5 gam
thì cần phải khảo sát thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

Câu 3: Trong một đợt kiểm tra về trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm với 100 mẫu, người
ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64. Muốn ước lượng trung
bình với độ tin cậy là 95% thì đảm bảo độ chính xác là bao nhiêu? Làm trịn kết quả đến chữ số
thập phân thứ 4.
A. 2,4477

B. 2,4747

C. 2,4774

D. 2,4777

Câu 4: Khảo sát về số giờ đọc sách của sinh viên trong một học kì của trường đại học X, người ta
thu được bảng số liệu dưới đây:
Số giờ đọc sách

1

2

3

4

5

Số sinh viên

25

20

30

18

7

Với độ tin cậy 95%, ước lượng trung bình số giờ đọc sách của sinh viên của trường đại học X.
Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4.

23


A. 2,5773(giờ) đến 2,6258 (giờ)
B. 2,5377 (giờ) đến 2,6852 (giờ)
C. 2,3775 (giờ) đến 2,8625 (giờ)
D. 2,7735 (giờ) đến 2,8562 (giờ)
Câu 5: Trọng lượng những viên gạch trong quá trình sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 viên gạch vừa sản xuất ra trong ngày có trọng lượng trung
bình 3,25 kg và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 0,18 kg. Ở độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin
cậy của trọng lượng trung bình của tất cả các viên gạch trong ngày. Làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ 4.
A. từ 3,1577 kg đến 3,3243 kg
B. từ 3,1755 kg đến 3,3243 kg
C. từ 3,1557 kg đến 3,3233kg
D. từ 3, 1757 kg đến 3,3243 kg
Câu 6: Theo dõi số hàng bán được mỗi ngày ở một trung tâm thương mại, ta được kết quả ghi ở
bảng sau:
Số hàng bán được (kg/ngày)
1900 – 1950
1950 – 2000
2000 – 2050
2050 – 2100

Số ngày
2
10
8
5

N = 25
Giả thiết số hàng bán được là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng
ước lượng cho phương sai (đơn vị kg2/ngày) của lượng hàng bán được mỗi ngày với độ tin cậy
95%. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4.
A. từ 1254,9537 đến 3983,5496
B. từ 1354,9537 đến 3883,5496
C. từ 1454,9537 đến 3983,5496
D. từ 1254,9537 đến 3883,5496
Câu 7: Khảo sát 200 sinh viên của một trường đại học ta thấy có 120 sinh viên đi làm thêm. Nếu
dựa vào mẫu trên, với độ tin cậy là 95%, ước lượng khoảng cho tỷ lệ sinh viên đi làm thêm của
trường đại học này là
A. 53,21% đến 66,79%
B. 52,31% đến 67,69%
C. 51,23% đến 69,67%
24


D. 53,13% đến 67,96%
Câu 8: Người ta khảo sát 120 trái cây tại nơng trường, trong đó có 25 trái cây loại một. Muốn ước
lượng tỷ lệ trái cây loại một với độ chính xác khơng vượt q 4% và độ tin cậy 98% thì số trái cây
cần được khảo sát thêm ít nhất là
A. 560
B. 120
C. 200
D. 440
Câu 9: Người ta khảo sát 120 trái cây tại nông trường, trong đó có 25 trái cây loại một. Với độ tin
cậy 95%, nếu muốn uớc lượng tỷ lệ trái cây loại I của nơng trường thì đảm bảo độ chính xác là
A. 0,07
B. 0,02
C. 0,0727

D. 0,08
Câu 10: Khảo sát về số giờ tự học của sinh viên trong một tuần tại một lớp học, người ta thu được
bảng số liệu dưới đây:
Số giờ tự học (giờ)

5–7

7–9

9 – 11

11 – 13

13 – 15

Số sinh viên

10

20

45

18

7

Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh từ mẫu trên là
A. 2,6032
B. 4,2750

C. 4,2570
D. 2,0632

25