Đề cương ôn tập toán 12 full cả năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.73 MB, 44 trang )
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 12
CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1.Các bước khảo sát hàm số:
ax b
Hàm số bậc ba: y ax3 bx 2 cx d
Hàm số y
c 0, ad bc 0
cx d
Hàm số bậc bốn: y ax 4 bx 2 c
+ TXĐ : D = R
d
+ TXĐ : D = R\
+ Tìm y’
c
+ Giải PT : y’ = 0 ( Nếu có)
ad bc
+ y’=
(>0 hoặc <0 x D )
+ GH: lim y a()
2
cx d
x
+ Bảng biến thiên:
- Hs tăng trên…
- Hs giảm trên …
- xCĐ = , xCT = ( Nếu có)
+Vẽ đồ thị
- Điểm đặc biệt : Cđ, Ct, Đ uốn
- Tìm giao với trục Ox, Oy(Nếu dễ)
- Lấy 2 điểm(Trước sau điểm C trị hay điểm
uốn 1 ĐV)
- Dựa vào BBTđể vẽ ĐT(Tại CĐ vẽ lồi, CT vẽ
lõm)
limy
x
d
c
x
a
a
limy c y c
d
c
TCD
TCN
x
+ Bảng biến thiên:
- Hs đbiến, nbiến,… Khơng cĩ cực trị.
+Vẽ đồ thị
- Vẽ hai tiệm cận
- Lấy 2 điểm 0; b ; b ;0
d
a
- Lấy đối xứng 2 điểm này qua I d ; a
c c
2. Các dạng cụ thể
a. Hàm số bậc ba y ax3 bx 2 cx d (a 0) :
Tập xác định D = R.
Đồ thị ln có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thị:
a>0
y
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
– 3ac > 0
a<0
y
I
0
x
y’ = 0 có nghiệm kép
’ = b2 – 3ac = 0
-1-
0
I
x
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
y’ = 0 vô nghiệm
2
– 3ac < 0
y
y
I
0
I
0
x
x
b. Hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c (a 0) :
Tập xác định D = R.
Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:
a>0
a<0
y
y
y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
ab < 0
0
x
0
x
x
y
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
ab > 0
0
y
0
x
ax b
(c 0, ad bc 0) :
cx d
d
Tập xác định D = R \ .
c
a
d
Đồ thị có một tiệm cận đứng là x và một tiệm cận ngang là y . Giao điểm của
c
c
hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
c. Hàm số nhất biến y
y
y
0
0
x
ad – bc > 0
x
ad – bc < 0
ax 2 bx c
(a.a ' 0, tử không chia hết cho mẫu) :
d.(NCao) Hàm số hữu tỷ y
a' x b'
-2-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
b'
Tập xác định D = R \ .
a'
Đồ thị có một tiệm cận đứng là x
b'
và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm
a'
cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
a.a > 0
a.a < 0
y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y
y
Y = 0 vơ nghiệm
0
x
0
x
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y x 3 3x 2 9 x 1
b) y x 3 3x 2 3x 5
x3
1
x2
d) y ( x 1) (4 x )
e) y
3
3
Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
2
c) y x 3 3x 2 2
f) y x 3 3x 2 4 x 2
a) y x 2 x 1
b) y x 4 x 1
x4
5
3x 2
c) y
2
2
d) y ( x 1)2 ( x 1)2
e) y x 4 2 x 2 2
f) y 2 x 4 4 x 2 8
4
2
4
2
Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
x 1
2x 1
b) y
x2
x 1
1 2x
3x 1
d) y
e) y
1 2x
x 3
Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y
a) y
x2 x 1
x 1
1
x 1
Baøi 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
d) y x 1
3
a) y x 3 x 2
3 x
x4
x 2
f) y
2x 1
c) y
b) y
x2 x 2
x 1
c) y
x2 x 2
x 1
e) y
x2
1 x
f) y
x2 2x
x 1
b) y x 3 3x 2 2
-3-
c) y x 4 2 x 2 3
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
d) y
x 1
x 1
e) y
x2 x 2
x 1
f) y
x 2 3x 3
x2
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Bài tốn: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x)
* Tại M(x0,y0)(C)
+ Tìm y’
+ Tính hệ số góc f’(x0) (thay x0 vào y’)
+ Áp dụng công thức : y = f’(x0)(x – x0) + y0
* Biết hệ số góc k
+ Giải pt: f’(x0) = k Hoành độ tiếp điểm x0
+ Thế x0 vào pt (C) y0=f(x0)
+PTTT có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0
Chú ý:
1, PTTT song song đường thẳng y = kx + b f '( x0 ) k x0 y0 . K.luận
2 .PTTT vng góc đường thẳng y = kx + b f '( x0 ).k 1 x0 y0 .K.luận
* QuaM(x1,y1) (nâng cao)
+ Đường thẳng d quaM(x1,y1) có hệ số góc k: d: y = k(x-x1) +y1(*)
+ ĐKTX : f ( x ) k ( x x ) y
(1)
1
1
(2)
k f '( x )
(Thế 2 vào 1 tìm x => k=> pttt)
Bài tập:
x2
tại giao điểm của nó với trục hồnh.
x 1
2. Cho hàm số y = x4 2 x2 3 có đồ thị ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a. Tại giao điểm của ( C ) và trục tung .
b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x -1
c. Tại x0 sao cho f ''( x0 ) 8
3. Cho (C) : y = x3 – 6x2 - 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a. Tại điểm uốn của (C).
b.Tại điểm có tung độ bằng -1
c.Song song với đường thẳng d1 : y = 6x – 5.
d.Vng góc với đường thẳng d2 : x - 21y = 0.
x2
4. Cho (C) : y =
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x2
a. Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
b.Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
c.Vng góc với đường thẳng d2: y = -x.
d.Qua giao điểm của hai tiệm cận.
5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C). (nâng cao)
a. y = x3 – 3x - 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
1
3
3
b. y = x 4 3x 2 đi qua điểm A(0 ; ) .
2
2
2
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
-4-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
x2
đi qua điểm A(-6 ; 5)
x2
x 2 4x 5
d. y =
đi qua điểm A(2 ; 1).
x2
6. Cho (C ) : y x3 3x 2 2 . Tìm những điểm trên đường thẳng y =2 mà từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
x 1
7. Cho (C ) : y
. Tìm các điểm M (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm
x 1
cận một tam giác có chi vi nhỏ nhất .
Vấn đề 3: Vị trí tương đối của 2 đường cong(chủ yếu là 1 đ thẳng và 1 đcong đã khảo sát)
1. Giao điểm của hai đồ thị.
Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x) (1)
Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong.
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong.
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
f ( x) g ( x)
có nghiệm
f ' ( x) g ' ( x)
Nghiệm của hê trên là hòanh độ tiếp điểm.
c. y =
BÀI TẬP.
1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a. y = x3 - 4x2 - 4x - 1 và y = x - 1
b. y = x3 - 3x2 - 1 và y = 2x - 5
c. y = x3 – 3x và y = x2 - x – 4
d. y = x4 - 4x2 – 3 và y = x2 - 1
2
2. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1)(x - mx – m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt
1
3. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 x m cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.
3
4. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m – 1)x2 - 2m - 1 khơng cắt trục hịanh.
5. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m – 3). cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt.
2x 1
6. Tìm m để đt y = mx - 2m - 2 cắt đồ thị hàm số y =
Tại hai điểm phân biệt.
x 1
2 x 2 3x 3
7. Tìm m để đthẳng y = mx - m - 3 cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm PB
x 1
x2
8. Tìm m để (d) đi qua điểm A( -1 ; -1) có hsg là m cắt đồ thị hs y=
tại 2 điểm pb
2x 1
x 2 2x 3
2
9. Chứng minh rằng (P) : y = x -3x – 1 tiếp xúc với (C) : y=
.
x 1
x2 m
10. Tìm m sao cho (Cm) : y =
tiếp xúc với đường thẳng y = -x - 7.
x 1
11.Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) (C1 ) : y x3 (3 m) x 2 mx 2; (C2 ) : trục hoành
b) (C1 ) : y x 3 2 x 2 2 x 1; (C2 ) : y x m
12.Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) (C1 ) : y x 4 2 x 2 1; (C2 ) : y 2mx 2 m
b) (C1 ) : y x 4 x 2 1; (C2 ) : y x 2 m
c) (C1 ) : y
(2m 1) x m2
; (C2 ) : y x
x 1
-5-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
d) (C1 ) : y
x2 x 1
; (C2 ) : y x 2 m
x 1
Vấn đề 4 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài tốn: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) ,
Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).
Cách giải :
Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d)
: y= h (m)
Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :
. Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn .
. Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vơ nghiệm .
. Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép .
BÀI TẬP
4
2
1. Cho hàm số : y x 2 x 1
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
4
2
b.Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x 2 x m
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó có hệ số góc bằng 24.
d. Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị hàm số và (P) : y 2 x 2 1
2. Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Dùng đồ thị (C) , hãy biện lận số nghiệm của phương trình :– x3 + 3x2 – 1 = m
m
c. Tìm m để PT : x3 – 3x2 +
= 0 có đúng 3 nghiệm.
2
4
2
3. Cho hàm số : y x 2 x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b Tìm m để pt x 4 2 x 2 1 m có 6 nghiệm phân biệt
2x
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Biện luận số nghiệm của PT (m 2) x m 0
4. Cho hàm số : (C ) : y
Vấn đề 5: TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài tốn: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Đoạn [a;b ]
Khoảng (a ; b )
Tính y’
Giải PT y’ = 0
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
Kết luận : max y yCD
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x1, x2….[a; b]
Tính y (x1 )…. , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M , kết luận : max y M
a ;b
a ;b
Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : min y m
hoặc min y yCT
a ;b
a ;b
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y x 2 4 x 3
2
d) y x x 2
b) y 4 x 3 3x 4
e) y
c) y x 4 2 x 2 2
x 1
x2 2x 2
-6-
f) y
2x2 4x 5
x2 1
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
1
x2 x 1
h) y
( x 0)
x
x2 x 1
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
g) y x 2
i) y
x4 x2 1
x3 x
a) y 2 x 3 3x 2 12 x 1 trên [–1; 5]
b) y 3x x 3 trên [–2; 3]
c) y x 4 2 x 2 3 trên [–3; 2]
d) y x 4 2 x 2 5 trên [–2; 2]
( x 0)
x 1
trên [0; 4]
x 1
1 x x2
h) y
trên [0; 1]
1 x x2
3x 1
trên [0; 2]
x 3
4 x2 7x 7
g) y
trên [0; 2]
x2
f) y
e) y
i) y 100 x 2 trên [–6; 8]
k) y 2 x 4 x
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1
2sin x 1
a) y
b) y
c) y 2sin2 x cos x 1
2
sin x 2
cos x cos x 1
d) y cos2 x 2sin x 1
e) y sin3 x cos3 x
g) y 4 x 2 2 x 5 x 2 2 x 3
f) y
x2 1
x4 x2 1
h) y x 2 4 x x 2 4 x 3
Bài 4. Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
11. y 2 x3 3x2 1 trên [-2;-1/2] ; [1,3).
4
13. y 2s inx- sin 3 x
3
Vấn đề 6:
trên đoạn [0,π]
12. y x 4 x 2 .
14. y 2cos2x+4sinx 0;
2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
Tìm f (x).
Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
Tính f (x).
Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Bài 1: Cho hàm số y x4 2mx 2 2m 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = -1
1
Bài 2: Định m để hàm số y x3 mx 2 (m2 m 1) x 1 đạt cực tiểu tại x=1.
3
Bài 3: Cho hàm số y f ( x) x3 3x 2 3mx+3m-4
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị .
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số.
-7-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
Bài 4: Cho hàm số y 2 x 3 3(m 1) x 2 6mx 2m
a)Khảo sát hàm số khi m=1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp
tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có 2 cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương
trình đường thẳng qua điểm cực trị đó.
1
1
Bài 5: Cho hàm số y f ( x) mx3 (m 1)x 2 3(m 2)x+
3
3
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị .
b) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu tại x1 , x2 thỏa x1 2 x2 1
c) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu và xCD xCT
d) Tìm m để hàm số có cực đại tại x = 0.
Bài 6: y f ( x) x 4 -2(m+1)x 2 2m 1(Cm )
a) Tìm m để hàm số có 1 cực trị.
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vng(tam giác đều, tam giác
có diện tích bằng 4).
Vấn đề 7:
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y f ( x, m) , m là tham số, có tập xác định D.
Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D.
Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ' ax 2 bx c thì:
a b 0
c 0
y ' 0, x R
a 0
0
a b 0
c 0
y ' 0, x R
a 0
0
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) ax 2 bx c :
Nếu < 0 thì g(x) ln cùng dấu với a.
b
)
2a
Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
Nếu = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x =
Bài 1. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác
định) của nó:
a) y x 3 3mx 2 (m 2)x m b) y
mx 4
xm
Bài 2. Tìm m để hàm số:
d) y
e) y
x 3 mx 2
2x 1
3
2
c) y
xm
xm
x 2 2mx 1
xm
f) y
x 2 2mx 3m2
x 2m
a) y x3 3x 2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
-8-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
1
1
b) y x 3 mx 2 2mx 3m 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2
1
c) y x 3 (m 1) x 2 (m 3) x 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Bài 3: Cho hàm số : y x3 (m 1) x 2 (2m2 3m 2) x 7 .
a. Tìm m để hsố đồng biến trên R
b. Định m để hàm số đồng biến trên ( 2, )
1
1
Bài 4: Cho hàm số: y mx3 (m 1) x 2 3(m 2) x .
3
3
a. Tìm m để hsố đồng biến trên R
b. Định m để hàm số đồng biến trong khoảng ( 2, )
1
Bài 5: Cho hàm số: y x3 (a 1) x 2 (a 3) x 4 .
3
a. Tìm m để hsố nghịch biến trên R
b. Định m để hàm số đồng biến trong khoảng (0,3)
2 x 2 (1 m) x m 1
Bài 6: Cho hàm số : y
.
xm
Định m để hàm số đồng biến Trong khoảng ( 1, )
mx 2 6 x 2
.
x2
Định m để hàm số nghịch biến x 1
Bài 7: Cho hàm số : y
-9-
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
CHỦ ĐỀ 2 : PHƯƠNG TRÌNH BPT MŨ VÀ LOGARIT
I- LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ
Luỹ thừa a
Cơ số a
a an a.a......a (n thừa số a)
a a 0 1
1
a a n n
a
n N*
0
aR
a0
n ( n N * )
a0
m
(m Z , n N * )
n
lim rn (rn Q, n N * )
a0
a a n a m ( n a b b n a)
a0
a lim a rn
m
n
2. Tính chất của luỹ thừa
Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
a .a a
;
a
a
a
a > 1 : a a ;
Với 0 < a < b ta có:
; (a ) a . ; (ab) a .b
a
a
;
b
b
0 < a < 1 : a a
am bm m 0 ;
am bm m 0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
Căn bậc n của a là số b sao cho bn a .
Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có:
n
ab n a .n b ;
Nếu
n
a na
(b 0) ;
b nb
n
p q
n
m
thì a p aq (a 0) ; Đặc biệt
n m
Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì
n
p
a p n a (a 0) ;
n
a
mn
mn
a mn a
am
anb.
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
Chú ý:
n
anb.
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C A(1 r )N
II- LOGARIT:
1. Định nghĩa
Với a > 0, a 1, b > 0 ta có: loga b a b
a 0, a 1
Chú ý: loga b có nghĩa khi
b 0
lg b log b log10 b
Logarit thập phân:
n
1
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b loge b (với e lim 1 2,718281 )
n
- 10 -
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
2. Tính chất
loga ab b ;
loga a 1 ;
loga 1 0 ;
a
loga b
b (b 0)
Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b loga c b c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b loga c b c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a 1, b, c > 0, ta có:
b
loga (bc) loga b loga c
loga loga b loga c loga b loga b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b 1, ta có:
loga c
logb c
hay loga b.logb c loga c
loga b
loga b
1
logb a
loga c
1
loga c ( 0)
Vấn đề 1 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
* Với 0 < a 1 thì : af(x) = b f(x)= logab
* Với 0 < a 1 thì : af(x) = ag(x) f(x) = g(x)
* log a f ( x) b f ( x) ab
f ( x) g ( x)
*log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) 0, hoaëc g ( x) 0
1: Phương trình mũ
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hố):
2x
b) 3 2 2
a) 9 3 x 1 38 x 2
c) 4 x
2
3 x 2
e) 2 x
2
1
1
g)
2
4x
2x
2
2
2
6 x 5
42 x
2
3x 3x
2
2
3 x 7
d) 52 x 7x 52 x.35 7x.35 0
1
1
x
f) 5
2
x 2
2
1
h)
2
43 x
i) 3x.2 x1 72
x 10
16 x 10
3 2 2
x2 4
x 7
25
12 x
1
.
2
2
k) 5x 1 6. 5x –3. 5x 1 52
x 5
x
0,125.8 15
x 1
m) 5 2 5 2
Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
l)
2
a)
5
4 x 1
1
7
3x2
x
b) 5 .2
x
2 x 1
x 1
50
x
c) 3 .2
e) 4.9x1 3 22 x1
d) 3x.8 x 2 6
x
2
6
2 x
.3x 1,5
2
i) 3x.2 x 1
g) 5x.3x 1
h) 23 32
Baøi 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
2
f) 2x
3x
x 2
x 1
x 1
x
a) 4 x 2 x1 8 0
b) 4 x 1 6.2 x 1 8 0
c) 34 x 8 4.32 x 5 27 0
d) 16 x 17.4 x 16 0
e) 49x 7x1 8 0
f) 2 x
x
x
g) 7 4 3 2 3 6
2
h) 4cos2 x 4cos
- 11 -
x
3
2
x
2
22 x x 3.
i) 32 x 5 36.3x 1 9 0
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
2
2
2
2
m) 3.52 x 1 2.5x 1 0,2
k) 32 x 2 x 1 28.3x x 9 0 l) 4 x 2 9.2 x 2 8 0
Baøi 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a) 25x 2(3 x ).5x 2 x 7 0
c) 3.4x (3x 10).2x 3 x 0
b) 3.25x 2 (3x 10).5x 2 3 x 0
d) 9x 2( x 2).3x 2 x 5 0
e) 4 x 2 x.3
f) 3.25x2 (3x 10).5x2 3 x 0
31
x
2.3 x .x 2 2 x 6
x
g) 4 x +(x –8)2 x +12 –2x 0
h) ( x 4).9x ( x 5).3x 1 0
i) 4 x ( x 2 7).2 x 12 4 x 2 0
k) 9 x ( x 2).3 x 2( x 4) 0
Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
2
2
a) 64.9x 84.12 x 27.16 x 0
b) 3.16x 2.81x 5.36x
c) 6.32 x 13.6x 6.22 x 0
d) 25x 10 x 22 x1
e) 27 x 12 x 2.8 x
f) 3.16 x 2.81x 5.36x
1
x
1
x
1
x
h) 4
g) 6.9 13.6 6.4 0
x
1
x
6
1
x
x
9
1
x
1
x
1
x
2
3
i) 2.4 6 9
1
x
x
k) 7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0.
Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x
a) 2 3 2 3
x
b)
14
c) (2 3)x (7 4 3)(2 3) x 4(2 3)
x
6 35
x
6 35
x
4
x
d) 5 21 7 5 21 2 x 3
h) 2 3
12
x
( x 1)2
2 3
x 2 2 x 1
4
2 3
k) 3 5 3 5 7.2x 0
x
x
x
x
x
x
i) 3 5 16 3 5 2 x 3
x
x
73 5
7 3 5
f)
7
8
2
2
x
e) 5 24 5 24 10
g)
2
3
x
3 3 8 3 3 8
x
x
l) 7 4 3 3 2 3 2 0
m)
x
6.
Baøi 7. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x
x
x
a) 2 3 2 3 4 x
c) 3 2 2 3 2 2 6 x
x
x
3 2 3 2 5
x
x
d) 3 5 16. 3 5 2 x3
x
b)
x
x
3 7
e) 2 x
5 5
f)
2 3
x
2 3
x
2x
2
g) 2 x 3x 5x 10 x
h) 2 x 3x 5x
i) 2 x 1 2 x
k) 3x 5 2 x
l) 2 x 3 x
m) 2 x 1 4 x x 1
x
x
2
3
n) 2
o) 4 x 7 x 9 x 2
1
q) 3 x 8 x 4 x 7 x
r) 6 x 2 x 5 x 3 x
Bài 8. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
x
( x 1)2
p) 5 2 x 1 5 3 x x 1 0
s) 9 x 15 x 10 x 14 x
a) 8.3x 3.2 x 24 6 x
b) 12.3x 3.15x 5x1 20
c) 8 x.2 x 23 x x 0
2
2
2
e) 4 x 3 x2 4 x 6 x5 4 2. x 3 x7 1
d) 2 x 3 x 1 6 x
g) x 2 .3x 3x (12 7 x) x3 8x 2 19 x 12
h) x 2 .3x 1 x(3x 2 x ) 2(2 x 3x 1 )
f) 4 x
i) 4sin x 21sin x cos( xy) 2 y 0
2
x
k) 22( x
- 12 -
2
21 x 2 x1 1
2
2
x)
2
21 x 22( x
2
x ) 1 x 2
.2
1 0
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a) log2 x( x 1) 1
b) log2 x log2 ( x 1) 1
c) log2 ( x 2) 6.log1/8 3x 5 2
d) log2 ( x 3) log2 ( x 1) 3
e) log4 ( x 3) log4 ( x 1) 2 log4 8 f) lg( x 2) lg( x 3) 1 lg5
g) 2 log8 ( x 2) log8 ( x 3)
2
h) lg 5x 4 lg x 1 2 lg 0,18
3
i) log3 ( x 2 6) log3 ( x 2) 1
k) log2 ( x 3) log2 ( x 1) 1/ log5 2
l) log4 x log4 (10 x ) 2
m) log5 ( x 1) log1/5 ( x 2) 0
n) log2 ( x 1) log2 ( x 3) log2 10 1 o) log9 ( x 8) log3 ( x 26) 2 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a) log3 x log
3
x log1/3 x 6
b) 1 lg( x 2 2 x 1) lg( x 2 1) 2 lg(1 x)
c) log4 x log1/16 x log8 x 5
d) 2 lg(4 x 2 4 x 1) lg( x 2 19) 2 lg(1 2 x)
e) log2 x log4 x log8 x 11
f) log1/2 ( x 1) log1/2 ( x 1) 1 log
g) log2 log2 x log3 log3 x
h) log2 log3 x log3 log2 x
1/ 2
i) log2 log3 x log3 log2 x log3 log3 x k) log2 log3 log4 x log4 log3 log2 x
Baøi 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a) log2 (9 2 x ) 3 x
b) log3 (3x 8) 2 x
c) log7 (6 7 x ) 1 x
d) log3 (4.3x 1 1) 2 x 1
log5 (3 x )
e) log2 (9 2 x ) 5
f) log2 (3.2 x 1) 2 x 1 0
g) log2 (12 2 x ) 5 x
h) log5 (26 3x ) 2
i) log2 (5x 1 25x ) 2
k) log4 (3.2 x 1 5) x
l) log
(5x 1 25x ) 2
1
m) log
(6 x 1 36 x ) 2
1
6
5
Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a) log5 x ( x 2 2 x 65) 2
b) log x
c) log x (5x 2 8x 3) 2
d) log x 1(2 x3 2 x 2 3x 1) 3
e) log x
f) log x ( x 2) 2
3 ( x 1) 2
g) log2 x ( x 2 5x 6) 2
i) log x (2 x 2 7 x 12) 2
l) log2 x ( x 2 5x 6) 2
n) log3 x 5 (9 x 2 8x 2) 2
p) log x
1( x
2
4 x 5) 1
h) log x 3 ( x 2 x ) 1
k) log x (2 x 2 3x 4) 2
m) log x ( x 2 2) 1
o) log2 x
15
2
1 2x
4 (x
2
1) 1
q) log x2 (3 2 x ) 1
s) log x (2 x 2 5x 4) 2
r) log x2 3 x ( x 3) 1
Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
- 13 -
(7 x)
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
a) log32 x log32 x 1 5 0
c) log x 2 log4 x
2
e) log
2
b) log2 x 3log2 x log1/2 x 2
2
7
0
6
2
f) log x2 16 log2 x 64 3
x 3log2 x log1/2 x 0
1
2
5
g) log5 x log x
i) 2 log5 x 2 log x
x2
8
8
d) log21 4 x log2
h) log7 x log x
1
5
1
2
7
k) 3 log2 x log2 4 x 0
l) 3 log3 x log3 3x 1 0
m) log2 3 x 3 log2 x 4 / 3
n) log2 3 x 3 log2 x 2 / 3
o) log22 x 2 log4
p) log22 (2 x ) 8log1/4 (2 x) 5
q) log25 x 4 log25 5x 5 0
r) log x 5 log x 5 x
t)
9
log 2x 5
4
1
0
x
s) log x2 3 log9 x 1
1
2
1
4 lg x 2 lg x
u)
1
3
1
5 lg x 3 lg x
v) log2 x x 2 14 log16 x x 3 40 log4 x x 0
Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
log2 x
log2 6
a) log32 x ( x 12) log3 x 11 x 0
b) 6.9
c) x.log22 x 2( x 1).log2 x 4 0
d) log 22 x ( x 1) log 2 x 6 2 x
6.x2 13.x
e) ( x 2) log 23 ( x 1) 4( x 1) log3 ( x 1) 16 0 f) log x2 (2 x) log
g) log32 ( x 1) ( x 5)log3 ( x 1) 2 x 6 0
2 x
x2
h) 4 log3 x 1 log3 x 4
i) log2 ( x 2 3x 2) log2 ( x 2 7 x 12) 3 log2 3
Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
b) log2 ( x 3) log3 ( x 2) 2
a) log7 x log3 ( x 2)
d) log2 x 3
log6 x
c) log3 ( x 1) log5 (2 x 1) 2
e) 4
log7 x 3
g) x
log2 9
f) log2 1 x log3 x
x
log2 x
x 2 .3
x
log2 3
(sử dụng tính đơn điệu):
h) log3 x 7 (9 12 x 4 x 2 ) log2 x 3 (6 x 2 23x 21) 4
log6 x
i) log2 x x 2 1 .log3 x x 2 1 log6 x x 2 1
Baøi 8. Giải các phương trình sau
log 3
log x
log 5
log2 x
a) x x 2 x 2 ( x 0)
c) log5 ( x 3) 3 x
b) x 2 3 2 5
d) log2 (3 x) x
e) log2 ( x 2 x 6) x log2 ( x 2) 4
f) x 2.3
log2 x
3
g) 4( x 2) log2 ( x 3) log3 ( x 2) 15( x 1)
Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
b) log2 x.log3 x 3 3.log3 x log2 x
a) log2 x 2.log7 x 2 log2 x.log7 x
- 14 -
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
c) 2 log9 x log3 x.log3 2x 1 1
2
Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
a 1
0 a 1
a f ( x ) b
f ( x) log a b f ( x) log a b
a 1
0 a 1
* a f ( x) a f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
a 1
a 1
*log a f ( x) b
b
b
f ( x) a
0 f ( x ) a
a 1
0 a 1
*log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x) 0
f ( x) 0
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
*) a M a N (a 1)(M N ) 0
*) loga B 0 (a 1)(B 1) 0 ;
1: Bất Phương
trình mũ
Bài 1: Giải các bất phương trình
a) 16x – 4 ≥ 8
d) 4
x 2 x 6
1
loga A
loga B
1
b)
3
2 x 5
1
e)
2
4 x 2 15x 4
0 ( A 1)(B 1) 0
6
c) 9 x 3 x 2
9
2 3 x 4 f) 52x +2 > 3. 5x
Bài 2: Giải các bất phương trình
1
a) 22x +6 - 2x +1 >17
d) 5.4x +.25x ≤ 7.10x
g) 9.4-1.x - 5.6-1.x < 4.9-1.x
Bài 3: Giải các bất phương trình
a) 3x -1 > 5
2: Bất Phương trình logarit
Bài 1: Giải các bất phương trình
a) log4(x - 7) > log4(1 – x)
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4
1
1
2
b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 4 x 2 x 3
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x -16x ≥ 2log48
c) 5x – 3x-1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)
b) (1.2) 2x - 3≤ 3
b) log2( x - 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
d) log 1 log3 x 0
2
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) >
2
3
f) log2x(x2 -5x - 6) < 1
Bài 2: Giải các bất phương trình
a) log22 x log2 x 0
1
1
1
c)
1 log x log x
Bài 3. Giải các bất phương trình
a) log3(x - 2) ≥ 2 – x
c) log2(5 – x) > x - 1
b) log2 x - log2x 8 ≤ 4
d*) log x 2.log x 2
16
1
log 2 x 6
b) log5(2x - 1) < 5 – 2x
d) log2(2x - 1) – log2(4x - 2) ≤ 2
CHỦ ĐỀ 3 :TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
- 15 -
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
I.Các họ nguyên hàm cơ bản
1. dx x C ; mdx mx C
I. Quy tắc đạo hàm:
* (u v t ) ' u'v't '
* (u.v)' u'.v + u.v'
(u.v.t )' u'.v.t u.v'.t u.v.t '
1 (mx n) 1
x 1
C ; (mx n) dx .
C
m 1
1
1
a
a
3. dx ln x C;
dx ln bx c C
x
bx c
b
1
4. e x dx e x C ; e mx n dx e mx n C;
m
x
a
1 a mx n
5. a x dx
C; a mx n dx .
C .
ln a
m ln a
6.
1
sin x.dx cos x C , sin(mx n).dx m cos(mx n) C
1
7. cosx.dx sin x C , cos(mx n)dx sin(mx n) C
m
8.
1
1
1
cos 2 x dx tgx C , cos 2 (mx n) dx m tg (mx n) C
2.
u u '.v u.v'
*
v2
v
* (m.u)' m.u'
* y x' yu' .u x'
II.Đạo hàm hàm số sơ cấp.
1. ( C )' O với C là hằng số
2. (mx)' m vối m là hằng số
1
1
3. ( x )'
.u '
; ( u )'
2 u
2 x
4. ( x )' .x 1 (u )' .u 1 .u'
5. (e x )' e x , (e u )' e u .u'
6. ( a x )' a x ln a, (a u )' a u .u' ln a
1
1
7. (ln x )' (ln u )' .u '
u
x
8.
1
1
, (log a u )'
(log a x )'
.u '
u. ln a
x ln a
9. (sin x)' cos x, (sin u)' u'.cos u
10.
(cos x)' sin x ;( cos u)' u'.sin u
11.
1
1
(tan x) '
.u '
; (tan u ) '
2
cos 2 u
cos x
1
1
12.( cot x) ' 2 ; (cot u )' 2 .u '
sin u
sin x
'
x dx
9.
1
dx cot gx C;
sin 2 x
1
1
dx cot g (mx n) C
m
sin (mx n)
dx
1
xa
10.
dx
ln
C
( x a)( x b)
a b xb
dx
1
xa
11. 2
ln
C
2
2a x a
x a
dx
1 1
12.
.
C
2
a ax b
(ax b)
2
Dạng 1 : Tìm họ nguyên hàm- Ngun hàm có điều kiện
Bài 1: Tìm ngun hàm F ( x) của các hàm số sau:
1
4e x biết rằng F (0) 1
x
2
b. f ( x) sin 2 x.cos3x 3tan x biết rằng F ( ) 0
a. f ( x) 3x
2
x 3 3x 2 3x 1
1
biết F (1)
2
2
x 2x 1
Bài 2: Tính các nguyên hàm sau(Hệ số bất định, đổi biến và từng phần)
c.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: f ( x)
a. 1 2 x dx
3
d.
x 1
x2 2 x 2 dx
2
g. sin x.cos x.dx
3
b.
x 2 4x 1
x 2 dx
1
c.
x
dx
4
2
1
2x
3 2x
f. (e 5) e dx
3x 1dx
h. 1 x .cos x.dx
i. x sin 2 x dx
e.
- 16 -
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
j.
1 2x x .e
2
3x
dx
k.
2x 1.ln x.dx
Dạng 2 : Tính tích phân
Phương pháp giải :
1. Nếu f(x) lấy được nguyên hàm là F(x) thì dùng định nghĩa :
b
f (x )dx = F(x)
b
a
F(b) F(a)
a
2 Nếu f(x) là hàm hữu tỷ
- Bậc tử lớn hơn hay bằng bậc mẫu : Chia đa thức để phân tích
- Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu và mẫu số là một đa tức có nghiệm thì dùng PP hệ số bất
định
- Mẫu số bậc 2 vơ nghiệm pt Dạng X2 + m2 Thì đặt X = m.tant
R(x) th ì đặt t = R(x)
Nếu f(x) là
một trong các h/s : a 2 x 2 …, Đặt x = a sint,…
4. Nếu trong f(x)dx = (x).’(x)dx. Đặt u = (x). du = ’(x)dx
5. Luợng giác theo dạng 4, biến đổi tích thành tổng, hạ bậc...
6. Chứa dấu trị tuyệt đối : xét dấu BT trong chia đoạn tính
7. Nếu f(x) = P(x).Q(x) (Khơng biến đổi được thành tổng ) thì dùng pp TPTP
+. Trong đó P(x) là đa thức, Q(x) là : sinax, cosax, eax thì đặt : u = P(x) ; v’= Q(x)
+. Trong đó P(x) là đa thức , Q(x) là ln(ax+b) thì đặt : u = Q(x) ; v’= P(x)
3. Nếu f(x) có chứa
b
Cụ thể dùng cơng thức :
u.v'dx
b
(u.v) u'.v.dx hoặc
b
a
a
a
b
u. dv
(u.v)
b
a
a
dx
2x 3
0
2.
1
7. 2
dx
x 2x 2
1
13.
1
x x 1
1
3
0
1
16.
0
2
6.
8.
x2 1
x 2 dx
2
.
x 2dx
9.
.
1
17.
x 2dx
1
2x 1
1
14.
x 1
dx
2x 2
2
11.
2
1
1
dx
x
x x 1
2
1
dx
12.
3
2
x . x 1.dx
x
1
15.
0
2
18.
x 2 dx
0
1 x dx
1 xdx
3
0
1
x dx
4 x
x 2 4x 1
x 2 dx
1
0
2
0
10.
3.
(2x 1)
5. 2
x 3x 2
3
dx
4. 2
x 3x 2
1
2x 1
2x 3
x 1 dx
2
4
0
1
3
4
1
x2 1
4
1
.
cos x e
t anx
2
0
0
ln 2
19.
0
e 1
dx
ex
1
3x
20.
e
x2
2
2 x.dx
0
21.
x sin x.dx
0
19
v.du
a
Bài tập: Tính các tích phân
1.
b
dx
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
22.
2
2
(2 x 1)cosx.dx
23.
0
25.
2
e
x
(2 x 1)e .dx
x
24.
0
e
e
27.
28.
2
2x ln( x 1).dx
2
sin x cos3x dx
0
4
32. cos 2 xdx
ln x.dx
4
cos 3x. cos 5 xdx
30.
2
31.
2
xdx
29. sin x dx
4
0
5
x
2
1
1
0
x sin
0
26. ln xdx.
sin x dx
2
33.
cos
2
x sin 3 xdx
0
0
2
2
34. sin t.dt
35. I (sin x x) cos xdx 36.
2
0
e
2
4
0
Dạng 3 : : ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN
cos x
x sin xdx
0
b
D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (OX) : y = 0:
SD f (x) dx
D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : S
D
a
b
f (x) g(x) dx
a
Cách phá dấu : Giải PT f(x) =0 hoặc f(x) – g(x) =0 x1, x2,…(a; b),
Khi đó
SD
x1
x2
b
a
x1
x2
f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x)dx
Bài tập: Tính diện tích hình phẳng
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ln x
1
, y 0, x , x e
a) y x 2 4 x 6, y 0, x 2, x 4
b) y
x
e
c) y
1 ln x
, y 0, x 1, x e
x
d) y
ln x
2 x
, y 0, x e, x 1
1
e) y ln x, y 0, x , x e
f) y x 3 , y 0, x 2, x 1
e
1
x
1
, y 0, x 0, x
g) y
h) y lg x , y 0, x , x 10
10
2
1 x4
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
3x 1
, y 0, x 0
a) y
b) y x , y 2 x, y 0
x 1
c) y e x , y 2, x 1
d) y x , x y 2 0, y 0
e) y 2 x 2 , y x 2 2 x 1, y 2
f) y x 2 4 x 5, y 2 x 4, y 4 x 11
20
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
g) y x 2 , y
x2
27
,y
27
x
h) y 2 x 2 , y x 2 4 x 4, y 8
i) y2 2 x, 2 x 2 y 1 0, y 0
k) y x 2 6 x 5, y x 2 4 x 3, y 3x 15
3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) y x, y , y 0, x e
b) y sin x 2 cos x, y 3, x 0, x
x
c) y 5x 2 , y 0, y 3 x, x 0
d) y 2 x 2 2 x, y x 2 3x 6, x 0, x 4
e) y x, y 0, y 4 x
f) y x 2 2 x 2, y x 2 4 x 5, y 1
g) y x , y 2 x, y 0
h) y
a) y 4 x 2 , y x 2 2 x
b) y x 2 4 x 3 , y x 3
1
2 x
e
4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
c) y
1 2
1
x , y x2 3
4
2
e) y x , y 2 x 2
g) y
x2
1
,y
2
1 x2
d) y
, y e x , x 1
1
1 x2
,y
x2
2
f) y x 2 2 x, y x 2 4 x
2
h) y x 3 , y 0
x
i) y x 2 2 x, y x 2
k) y x 2 2, y 4 x
5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 2 , x y2
b) y2 x 5 0, x y 3 0
c) y2 2 y x 0, x y 0
d) y2 2 x 1, y x 1
e) y2 2 x, y x, y 0, y 3
f) y ( x 1)2 , x sin y
g) y2 6 x, x 2 y2 16
h) y2 (4 x )3 , y2 4 x
i) x y3 1 0, x y 1 0
k) x 2 y2 8, y2 2 x
6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x.e x ; y 0; x 1; x 2.
b) y x.ln2 x; y 0; x 1; x e.
c) y e x ; y e x ; x 1.
d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y 3 x.
e) y ( x 1)5; y e x ; x 1.
1
f) y ln x , y 0, x , x e
e
g) y sin x cos2 x, y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x 2.
i) y x sin2 x; y ; x 0; x .
k) y sin2 x sin x 1, y 0, x 0, x
2
7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) (C ) : y x
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2x2
x2 2x 1
, y 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
b) (C ) : y
x2
c) (C) : y x 3 2 x 2 4 x 3, y 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x = 2.
d) (C) : y x 3 3x 2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hồnh độ x = –2.
e) (C ) : y x 2 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).
20
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
Bài tập: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
1
a) y sin x, y 0, x 0, x
b) y x 3 x 2 , y 0, x 0, x 3
4
3
c) y sin6 x cos6 x , y 0, x 0, x
d) y x , x 4
2
e) y x 3 1, y 0, x 1, x 1
g) y
f) y x 2 , y x
x2
x3
,y
4
8
i) y sin x, y cos x, x
h) y x 2 4 x, y x 2
4
,x
k) ( x 2)2 y2 9, y 0
2
l) y x 2 4 x 6, y x 2 2 x 6
m) y ln x, y 0, x 2
Bài 2. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
2
a) x , y 1, y 4
b) y x 2 , y 4
y
c) y e x , x 0, y e
d) y x 2 , y 1, y 2
Bài 3. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox
ii) trục Oy
b) y x 2 , y 4 x 2 , y 4
a) y ( x 2)2 , y 4
c) y
1
2
x 1
d) y 2 x x 2 , y 0
, y 0, x 0, x 1
e) y x.ln x, y 0, x 1, x e
f) y x 2 ( x 0), y 3x 10, y 1
g) y x 2 , y x
h) x – 4 y2 1
i)
2
x2 y2
1
9
4
k) y x 1, y 2, y 0, x 0
m) y2 x 3 , y 0, x 1
l) x y2 0, y 2, x 0
Chủ đề 4 SỐ PHỨC
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a, b R, i2 1 đgl một số phức, a: phần thực, b: phần
ảo.
Tập số phức: C.
Chú ý: Phần thực và phần ảo của một số phức đều là những số thực.
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a c
a bi c di
b d
Chú ý:
Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0:
a = a + 0i
Như vậy, a R a C
Số phức 0 + bi đgl số thuần ảo và viết đơn giản là bi:
bi = 0 + bi
21
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
Đặc biệt, i = 0 + 1i.
Số i : đơn vị ảo
VD1: Tìm các số thực x, y để z = z':
z (1 2 x) i 3
z 5 (1 3 y )i
z (2 x 1) (3 y 2)i
b)
a)
z ( x 2) ( y 4)i
z (3x 9) 3i
z 12 (5 y 7)i
c)
Giải
2 x 1 x 2
x 1
a)
3
y
2
y
4
y 3
1 5
x
1 2 x 5
2
b)
3 1 3 y
y 1 3
3
3x 9 12
x 7
3 5 y 7
y 2
c)
VD2: Cho số phức
z (2a 1) (3b 5)i
Tìm a, b để:
a) z là số thực
Giải
b) z là số ảo
a) 3b 5 0 b
5
3
b) 2a 1 0 a
1
2
3. Môđun của số phức
Độ dài của OM đgl Modul của số phức z kí hiệu z
z a bi a 2 b2
VD2: Tính mơđun của các số phức sau:
a) z 3 2i b) z 2 3i c) z 3 2i d) z 3i
e) z 4
Giải:
4. Số phức liên hợp
Cho số phức z a bi . Ta gọi a bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z a bi .
Chú ý:
Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox.
z z
z z
5. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo qui tắc cộng, trừ đa thức.
* (a bi) (c di) (a c) (b d )i
* (a bi) (c di) (a c) (b d )i
VD1: Thực hiện phép tính:
a) (3 2i) (5 8i) b) (7 5i) (4 3i) c) (5 2i) (3 7i)
d) (1 6i) (4 3i)
Giải: a) A = 8 10i b) B = 3 2i c) C = 8 9i d) D = 3 3i
6. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo qui tắc nhân đa thức rồi thay i2 1 trong kết quả
nhận được.
(a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i
Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân
các số thực.
VD2: Thực hiện phép tính:
22
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
a) (5 2i)(4 3i)
b) (2 3i)(6 4i)
c) (2 3i)(5 4i)
d) (3 2i)(3 2i)
Giải: a) A 14 23i
b) B 24 10i
c) C 22 7i
d) D 13
7. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó:
z z 2a
Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mơđun của số phức đó.
z.z a2 b2 z
2
Nhận xét: Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực
8. Phép chia hai số phức
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho:
c + di = (a + bi)z
Số phức z đgl thương trong phép chia c + di cho a + bi.
c di
Kí hiệu: z
a bi
VD1: Thực hiện phép chia 4 2i cho 1 i .
Giải:
4 2i
Giả sử z
(1 i)z 4 2i (1 i)(1 i)z (1 i)(4 2i)
1 i
z 3i
2z 6 2i
Tổng quát:
Để tìm thương z
– Đưa về dạng:
c di
ta thực hiện các bước sau:
a bi
(a bi)z c di
– Nhân cả 2 vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:
1
(a2 b2 )z (ac bd ) (ad bc)i
1
(ac bd ) (ad bc)i
a b2
c di
Chú ý: Trong thực hành, để tính thương
, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của
a bi
a bi .
– Nhân cả 2 vế với
2
a b
2
:
z
VD2: Thực hiện các phép chia sau:
3 2i
1 i
a)
b)
2 3i
2 3i
Giải:
3 2i (3 2i)(2 3i) 12 5
i
a)
2 3i (2 3i)(2 3i) 13 13
6 3i (6 3i)(5i) 15 30
i
c)
5i
5i(5i)
25 25
9. Căn bậc hai của số thực âm
Căn bậc hai của –1 là i và –i.
2
c)
b)
6 3i
5i
1 i
(1 i)(2 3i) 1 5
i
2 3i (2 3i)(2 3i) 13 13
Căn bậc hai của số thực a < 0 là i a .
VD1: Tìm các căn bậc hai của các số sau: –2, –3, –4.
10. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Xét phương trình bậc hai:
23
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
ax 2 bx c 0
(với a, b, c R, a 0)
Tính = b2 4ac .
Trong trường hợp < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có 2 căn bậc hai thuần ảo của là
i . Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức được xác định bởi cơng thức:
b i
2a
VD2: Giải phương trình sau trên tập số phức:
x1,2
x2 x 1 0
Nhận xét: Trên tập số phức:
Mọi PT bậc hai đều có 2 nghiệm (có thể trùng nhau).
Tổng quát, mọi PT bậc n (n 1): a0 x n a1x n1 ... an 0 với a0, a1, …, an C, a0 0 đều
có n nghiệm phức (có thể trùng nhau
VD3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x 2 3 0
b) x 2 2 x 3 0
Ví dụ 1: Cho số phức z =
Vì z =
c) 5x 2 3x 1 0
d) x 2 2 x 3 0
3 1
i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2
2 2
3 1
3 1
i z =
i
2 2
2 2
2
3 1 3 1
1
3
3
z = i = i 2 i = i
2 2
2
2 2 4 4
2
2
3 1
3 1
3
1
3
( z ) = i i 2 i i
4 4
2
2 2
2 2
2
1
3 3
1
3
1
3
3
( z )3 =( z )2 . z = i
i
i i
i
4
2 2 2 2 4 2 4
3 1 1
3
3 3 1 3
i
i
i
2 2 2 2
2
2
1 + z + z2 = 1
Trong bài tốn này, để tính z ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.
3
Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z (1 i)(3 2i)
Ta có : z 5 i
1
3i
3i
3i
53 9
5i
. Suy ra z i
(3 i)(3 i )
10
10 10
Ví dụ 3: Tìm mơ đun của số phức z
Giải: Ta có : z
5i
1
1 i .Vậy,
5
5
(1 i)(2 i)
1 2i
2
mô đun của z bằng: z 1
5
5
1
26
Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
24
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
3x y 2 y 1
Giải hệ này ta được:
5 x x y
1
x 7
.
y 4
7
Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
Bài 65:
1.Tìm các số thực m để số phức: z = ( m3 +2m2 – m – 2) +mi là số thuần ảo.
2.Cho số phức z = m3 – 8m + ( m2 – 4)i. Định m để z là một số thực khác 0.
a. CMR: Nếu u
z 1
là một số thực thì z là một số thực.
z 1
b. CMR: Nếu các số phức z1 và z2 cùng có mơđun bằng 1 thì z
z1 z 2
là một số
1 z1 .z 2
thuần ảo.
3. Cho hai số phức z1 và z2 có mơđun bằng 1 thoả điều kiện z1z 2 1 0 .
CMR: z
z1 z 2
là một số thực.
1 z1 z 2
4. Tìm mơđun của các số phức Z trong các trường hợp sau:
a) z = 3 +4i
b) z = 3 – 4i
c) z = 4 + 3i
d) z = 4 – 3i
5. Tìm mơđun của z với:
a) z = 12 +9i
b) z = 5 -12i
c) z = -5
d) z = 4i
6. Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng nhau: z1 = (x + 2y) + 4i;
z2 = 5 + (2x +y)i.
7. Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng nhau:
z1 = (x – 10) + 2(y + 10)i; z2 = y + ( x + 17)i.
8. Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng:
z1 = (2x +3y) + (3x +2y)i; z2 = (5x +6) + ( 4y +1) i.
9. Viết các số sau dưới dạng đại số:
a) z
c) z
2 i 3 i
4i
5 3i
4 i 1 3i
10. Cho hai số phức: z1
5 2i 2 3i
i 3 3i 4
8 3i i 4
d) z
2i 5 3 7i
b) z
z
1 i 3
i
;z 2
.Tính: z1 + z2; z1.z2; 1 .
z2
1 i 3
2i 3 2
8
1 i 3
1
6
12 z 1
;z 2
. Tính: z1 .z2 ; 3
11. Cho hai số phức: z1
z2
1 i 3
2i 3 2
12.Cho số phức z = 3 + 4i. Có hay khơng một số phức Z = x + yi sao cho Z2 = z.
13.Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) – 1;
b) 2i
c) 1 + i d) 4 – 3i.
14Giải các pt sau trên C:
a) x2 – x + 2 = 0
b) x2 – ( 5 -14i)x – 2(5i +12) = 0
15.Giải các pt sau trên C:
a) ( 1- i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0
b) ( 1+i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
16.Giải trên C các pt:
a) z4 + 6z2 + 25 = 0
b) z4 + 4z – 77 = 0
17.Trong mp phức, cho M và M’ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z’:
25
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591
z = x + yi, z '
z 1 i
.
z 1
Tìm tập hợp (E) các điểm M sao cho:
a) Điểm M’ nằm trên trục và M’ khác 0
b) Điểm M’ nằm trên trục hoành và M’ khác 0.
18. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số pức thoả điều kiện:
1. z 1
2. z 2
3. 1 z 2 4. z 2 và phần thực của z bằng 1.
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN , MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY
S
A'
B'
C'
A
a.khối đa diện
Thể tích của khối lăng trụ : V = B. h
( B : diện tích đáy , h là chiều cao )
B
Thể tích của khối hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c là ba kích thước )
Thể tích của khối lập phương : V = a3
(a: cạnh )
1
Thể tích của khối chóp : V = B. h
( B : diện tích đáy , h là chiều cao )
3
V ' SA' SB' SC '
Tỉ số thể tích
.
.
V SA SB SC
Cần nhớ :
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vng tại A, có đường cao AH.
1
1
1
AB2 AC 2 BC 2 AB2 BC.BH , AC 2 BC.CH
2
2
AH
AB
AC 2
AB BC.sin C BC.cos B AC.tan C AC.cot B
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p.
Định lí hàm số cosin:
a2 =b2 c2 – 2bc.cosA; b2 c2 a2 2ca.cos B; c2 a2 b2 2ab.cos C
a
b
c
Định lí hàm số sin:
2R
sin A sin B sin C
Công thức độ dài trung tuyến:
b2 c 2 a2
c 2 a2 b2
a2 b2 c 2
; mb2
; mc2
2
4
2
4
2
4
2. Các cơng thức tính diện tích
a) Tam giác:
1
1
1
1
1
1
S a.ha b.hb c.hc
S bc sin A ca. sin B ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc
S
S pr
S p p a p b p c
4R
2S AB.AC BC.AH
ABC vuông tại A:
ma2
ABC đều, cạnh a:
a2 3
S
4
26
C
