KĨ THUẬT CASIO 580VNX CƠ BẢN

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

KĨ THUẬT CASIO 580VNX CƠ BẢN
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do.
Xu hướng thi trắc nghiệm Toán nên các yêu cầu về kỹ năng sử dụng máy tính là rất
quan trọng, giúp đẩy nhanh việc tính tốn đạt hiệu quả cao trong học tập.
2. u cầu.
Có một chiếc máy tính CASIO fx-580VN X
II. NỘI DUNG
1. Vai trị của máy tính.
Giúp ta làm chủ bài toán, định hướng cách làm nhanh hơn.
2. Tám tính năng cơ bản.
+ Lưu nghiệm STO: Lưu giá trị thành các ẩn để tiện sử dụng trong tính tốn.
+ Thử nghiệm CALC: Tính giá trị của hàm số tại một giá trị x bất kì.
+ Tìm nghiệm SOLVE: Tìm một nghiệm bất kì của phương trình (nếu có)
+ Lập bảng TABLE: Lập bảng giá trị hàm số tại nhiều giá trị x
(tối đa 30 giá trị).
+ Tính tích phân, đạo hàm: Sử dụng để kiểm tra giá trị tích phân, đạo hàm tại một
giá trị x.
+ Tính tốn vector: Chủ yếu là tính tích có hướng của 2 vector trong hệ Oxyz.
+ Tính tốn số phức: Cộng, trừ, nhân, chia số phức bình thường như với số thực.
+ Giải phương trình, hệ phương trình bậc 4: Tìm các nghiệm của phương trình, hệ
phương trình bậc 4 một cách nhanh chóng.
Chú ý:
- Sau nhiều lần tính tốn, ta nên đưa máy tính về chế độ mặc định để tránh việc sai kết
quả do nhầm hệ đơn vị.
- Để đưa máy tính về chế độ mặc định, bấm: q93=C
- Để cài đặt ngơn ngữ Tiếng Việt cho máy tính, bấm: qwRRR2

III. PHƯƠNG PHÁP
1. Tính năng STO: bấm J Ẩn muốn lưu (A _z,B _x,…)
Các ẩn: A ; B ; C ; D ; E ; F ; X ; Y ; Z ; M
VD: Để lưu kết quả 3 + 5 cho biến A ta bấm:
3+5Jz
lúc này biến A đã được lưu với giá trị bằng 8
Để gọi nội dung biến A, bấm: Qz=
Lưu giá trị 100 cho biến B, bấm:100Jx
Nhân A với B  8 x 100 = 800
Bấm: QzOQx=( Kết quả bằng 800)
| 1


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

ỨNG DỤNG: Tính năng này đặc biệt hữu ích khi trong q trình tính tốn ra các số lớn
hoặc số vơ tỷ chúng ta chỉ việc lưu vào các ẩn để sử dụng trong các phép tốn tiếp theo.
2. Thử nghiệm CALC
Ví dụ: Cho y = x 4 + 9 x 2 + 12 x + 17
Tính giá trị biểu thức tại x= 1; 2; 3; 4.
B1: Nhập biểu thức vào máy tính bấm
Q(^4$+9Q(^2$+12Q(+17
( Nhập x bấm Q( )
B2: Bấm r1==
Kết quả cho 39 tức là y(1) = 39
Bấm
r2==
Kết quả cho 93 tức là y(2) = 93

Tương tự tính tiếp y(3) ; y(4).
ỨNG DỤNG:
a, Thử đáp án.
Tính năng này đặc biệt hiệu quả trong tìm tọa độ điểm để vẽ đồ thị và thử đáp án đề thi
trắc nghiệm giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian khi làm bài thi.
b, Nhân chia nhanh đa thức khơng cần nháp.
Ví dụ 1: y=(x+1)(x+2) + (3x2+x+6)(x+7)
B1 : Nhập phương trình (x+1)(x+2)+(3x2+x+6)(x+7) vào máy tính
B2 : Bấm r1000==
Máy tính cho kết quả 3023016044 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ
phải sang trái
003 | 023 | 016 | 044
=>
3 | 23 | 16 | 44
Ta được các hệ số cần tìm lần lượt là 3 ; 23 ; 16 ; 44 tức là y=3x3+23x2+16x+44
Ví dụ 2 : y=(5x-3)(x2+6x-7)+10x-21
B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000==
Được kết quả là 5026957000 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải
sang trái
005 | 026 | 957| 000
B2 : + Xét từ phải sang trái nhóm 000 => hệ số là 0
+ Nhóm 957 > 500 => hệ số là -43 (vì 957-1000 = -43)
+ Tiếp nhóm 026 đứng sau nó là nhóm 957 có hệ số là -43<0
=> Hệ số của nhóm này là 26 + 1= 27
(Hiểu đơn giản như nhóm đứng trước nhóm có hệ số âm thì phải nhớ 1)
+Nhóm 005
=> hệ số là 5
Vậy các hệ số lần lượt là 5 ; 27 ; -43 ; 0 tức là y= 5x3+27x2-43x
(Có thể thử lại bằng cách nhập biểu thức 5x3+27x2-43x và bấm
r1000==được kết quả là 5026957000 tức là đã tách đúng)

2 | />

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Ví dụ 3 : y=(x2-3x+7)(x+2)
B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000==
Được kết quả là 999001014 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải
sang trái
000 | 999 | 001 | 014

Các hệ số lần lượt là 1 ; -1 ; 1 ; 14
Vậy y= x3-x2+x+14
Ví dụ 4 : y=(x+5)(x+3)(x-7) – (4x2-3x+7)(x-1)
B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000==
Được kết quả là -2992051098 ta bỏ dấu trừ và làm bình thường, cuối cùng đổi dấu tất
cả các hệ số tìm được ta được kết quả :
Tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải sang trái
002 | 992 | 051 | 098

Hệ số lần lượt là 3 ; -8 ; 51 ; 98

Đổi dấu hệ số -3 ; 8 ; -51 ; -98
Vậy y= -3x3+8x2-51x-98= -(3x3-8x2+51x+98)
(Coi dấu trừ trước kết quả là dấu trừ cho cả biểu thức)
Ví dụ 5 : Giải phương trình x3+4x2-3x-2=0
B1 : dùng các tính năng TABLE, CALC hoặc SOLVE để tìm được một nghiệm của
phương trình là x=1
X 3 + 4 X 2 − 3X − 2

B2 : Nhập phương trình
và bấm r1000==
X −1
B3 : Kết quả là 1005002

Hệ số lần lượt là : 1 ; 5 ; 2
Vậy y=(x-1)(x2+5x+2)
( ví dụ trên chỉ là minh họa cho ứng dụng tính năng CALC phân tích đa thức thành nhân
tử và chia đa thức bậc cao, cịn phương trình bậc 3 đã có tính năng giải sẵn trên máy
tính)
c, Tính giới hạn của hàm số.
10 −10 = 0,00000000001 ≈ 0
1010 = 10000000000 ≈ +∞
;
− 10 −10 = −0,00000000001 ≈ 0
− 1010 = −10000000000 ≈ −∞
o Tính giới hạn tại x0+ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại x0 + 10 −10 .
o Tính giới hạn tại x0− ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại x0 − 10 −10 .
o Nếu lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = a thì lim f ( x ) = a .
x → x0

x → x0

o Nếu lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x )
x → x0

x → x0

x→ x0

thì khơng tồn tại lim f ( x) .
x→ x0

o Tính giới hạn tại +∞ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại 1010 .
o Tính giới hạn tại −∞ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại −1010 .
| 3


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Ví dụ 1: Tính
x −1
a , lim+ 3
x→1 x − 4 x 2 + 3
Giải.

b, lim−
x→1

x −1
x3 − 4 x2 + 3

c, lim
x→1

x −1
x3 − 4 x2 + 3

x −1
.
x − 4 x2 + 3
B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 1 + 10 −10 .
1
x −1
1
B3: KQ bằng − tức là lim+ 3
=− .
2
x →1 x − 4 x + 3
5
5
x −1
b, B1: nhập hàm số f ( x ) = 3
.
x − 4 x2 + 3
B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 1 − 10 −10 .
x −1
1
1
=− .
B3: KQ bằng − tức là lim− 3
2
x→1 x − 4 x + 3
5
5
x −1
x −1
x −1

1
= lim− 3
= lim 3
=−
c, lim+ 3
2
2
2
x→1 x − 4 x + 3
x→1 x − 4 x + 3
x→1 x − 4 x + 3
5
Ví dụ 2: Tính
x −1
x −1
x −1
a, lim+
b, lim−
c, lim
x→3 x − 3
x→3 x − 3
x→3 x − 3
Giải.
x −1
a, B1: Nhập hàm số f ( x) =
.
x−3
B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 3 + 10 −10 .
x −1
= +∞

B3: KQ bằng 2.1010 ≈ +∞ (rất lớn) tức là lim+
x→3 x − 3
x −1
b, B1: Nhập hàm số f ( x) =
.
x−3
B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 3 − 10 −10
x −1
= −∞
B3: KQ bằng -2.1010 ≈ −∞ (rất nhỏ) tức là lim−
x→3 x − 3
x −1
x −1
x −1
≠ lim−
c, lim+
nên không tồn tại lim
x→3 x − 3
x→3 x − 3
x→3 x − 3
Ví dụ 3: Tính
x −1
x −1
a, lim
,
b, lim
2
2
x→−∞
x→+∞

x − x−6
x − x−6
3
c lim ( x + 2 x + 4) ,
d, lim ( x3 + 2 x + 4)

a, B1: nhập hàm số f ( x ) =

3

x→−∞

Giải.
4 | />
x→+∞


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

x −1

a, B1: Nhập hàm số f ( x ) =

.

2

x − x−6

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = −1010 .
x −1
B3: KQ bằng −1 tức là lim
= −1 .
2
x →−∞
x − x−6
x −1
b, B1: Nhập hàm số f ( x ) =
.
2
x − x−6
B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 1010 .
x −1
B3: KQ bằng 1 tức là lim
= 1.
x →+∞
x2 − x − 6
c, B1: Nhập hàm số f ( x ) = x 3 + 2 x + 4 .

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = −1010 .
B3: KQ bằng −1.1030 ≈ −∞ tức là lim ( x 3 + 2 x + 4) = −∞ .
x→−∞

d, B1: Nhập hàm số f ( x ) = x + 2 x + 4 .
3

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của f ( x) khi x = 1010 .
B3: KQ bằng 1.1030 ≈ +∞ tức là lim ( x3 + 2 x + 4) .
x→+∞

3. Tìm nghiệm SOLVE : bấm qr
Ví dụ 1: Giải phương trình 5( x + 2) + 3(x + 4) + 7(x − 2) = 0
B1: Nhập phương trình 5( x + 2) + 3( x + 4) + 7( x − 2) = 0 vào máy tính
(Có thể nhập "=0" hoặc khơng cần nhập vì nếu khơng nhập máy tính sẽ tự mặc định là
vế phải bằng 0)
Nhập dấu "=" thì bấm Qr
B2: Bấmqr=
8
8
tức là −0,5333... = − .
Kết quả bằng −0,5333... bấm M=được kết quả −
15
15
8
Phương trình trên có nghiệm là x = −
15
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x + 1 − x + 3 = x − 1 .
B1: Nhập phương trình 3 x + 1 − x + 3 − ( x − 1) vào máy tính rồi bấm =để lưu
phương trình.
B2: Bấmqrrồi nhập giá trị khởi tạo là 5 bấm 5==
Kết quả bằng 1 tức là phương trình có 1 nghiệm x = 1 là nghiệm gần 5 nhất.

| 5


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Chú ý:
- Đối với những phép tính tốn phức tạp (chứa căn) thì SOLVE và tính tích phân thường
mất thới gian tương đối lâu để tìm ra kết quả. Nên việc chọn giá trị khởi tạo hợp lý
trong SOLVE là rất quan trọng để máy tính cho ra kết quả nhanh.
- Bản chất khi em nhập giá trị khởi tạo bằng 5 máy tính sẽ thử tất cả các giá trị xung
quanh 5: 1<=1,1…<=1,2…<= 5 =>5,1….=>5,2… đến x = 1 làm cho phương trình
bằng 0 thì báo là nghiệm.
- Khi khơng nhập giá trị khởi tạo thì máy tính sẽ mặc định giá trị khởi tạo là giá trị của
biến nhớ Ans hiện tại.
- Giá trị khởi tạo càng gần nghiệm thì máy tính báo nghiệm càng nhanh.
B3: Bấmqrrồi nhập giá trị khởi tạo là -5 bấm z5==
- Kết quả bằng -0,2915… tức là phương trình có 1 nghiệm x = −0,2915... là nghiệm gần 5 nhất.
- Lưu nghiệm -0,2915… vào biến nhớ A bấm Jz
B4: Để tìm xem phương trình cịn nghiệm nào khác 2 nghiệm trên không chúng ta bấm
E!để sửa phương trình thành:
( 3 x + 1 − x + 3 − ( x − 1)) ÷ (( x − 1)( x − A))

Sau đó bấm qr= (lần này thì khơng cần nhập giá trị khởi tạo nữa) máy tính báo
vơ nghiệm tức là phương trình đã hết nghiệm.
4. Lập bảng TABLE: bấmw8
- Có 2 chế độ lập bảng là:
+ Lập bảng cho 2 hàm f(x) và g(x) bấm qwRR12 (với tối đa 30 giá trị x)
+ Lập bảng cho 1 hàm f(x) bấmqwRR11 (với tối đa 40 giá trị x)
- Chúng ta thường chọn chế độ lập bảng cho 1 hàm để tiện lợi hơn trong quá trình lập
bảng và tính được nhiều giá trị x hơn.
Ví dụ 1: y = x 4 + 9 x 2 + 12 x + 7
Tính giá trị biểu thức trên tại x=1,2,3,4,5,6,7,8,9
B1: Bấm w8 để vào chế độ TABLE
B2: Nhập hàm f ( x ) = x 4 + 9 x 2 + 12 x + 7 vào máy tính
B3: Bấm = màn hình hiện Bđầu: Bấm 1=

Con trỏ chuyển đến dịng Kthúc: Bấm 9=
màn hình hiện Bước: Bấm 1==
Màn hình sẽ hiện 3 cột
STT
x
f(x)
1
1
29
2
2
83
3
3
205
6 | />

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

4
4
455
5
5
917
6
6
1699

7
7
2933
8
8
4775
9
9
7405
Tức là các giá trị x và f(x) tương ứng: f(1)=29, f(2)=83,…
Chú ý: Dùng mũi tên R để xem hết bảng.
Bản chất: Bđầu: Là giá trị X bắt đầu trong ví dụ trên là 1
Kthúc: Là giá trị X kết thúc trong ví dụ trên là 9
Bước: Là khoảng cách giữa 2 giá trị X trong ví dụ trên là 1
Ví dụ: Khoảng cách giữa 1 và 2 là 1 (đơn vị)
Khoảng cách giữa 2 và 2,5 là 0,5 (đơn vị)
Chú ý:
- Tính năng này chỉ sử dụng khi các giá trị x có khoảng cách bằng nhau, khoảng cách
khác nhau ta nên sử dụng tính năng CALC.
- Một số lưu ý về cách chọn "Bước"
+ Khi x là các số nguyên chọn Bước=1
+ Khi x không nguyên chúng ta nên linh hoạt chọn Bước=0,1 hoặc 0,2 hoặc 0,25 hoặc
0,5 tùy vào đoạn khảo sát là dài hay ngắn sao cho tối đa chỉ 40 giá trị x. Nên chọn Bước
càng nhỏ càng tốt.
+ Đối với trường hợp đoạn khảo sát quá dài (>20 đơn vị) hoặc đầu mút là các số vô tỷ
chọn Bước=(Cuối-Đầu)/20
π
+ Đối với hàm lượng giác khi đơn vị góc là Radian thì Bước=
.
12

+ Đối với hàm lượng giác khi đơn vị góc là Độ thì Bước=15
5. Tính tích phân, đạo hàm
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I =  ( x 2 + 3 x + 4) dx
1

B1: Nhập giá trị tích phân vào máy tính.
Bấm phím y
B2: Nhập biểu thức ( x 2 + 3 x + 4)
B3: Bấm mũi tên sang phải $ để nhập cận dưới: bấm 1 vì ở đây cận dưới bằng 1
B4: Bấm mũi tên sang phải $ để nhập cận trên bấm 2 vì ở đây cận trên
bằng 2
65
65
B5: Bấm = được kết quả
tức là I =
6
6
Chú ý:
- Tùy từng bài toán mà ta cần chọn đơn vị của góc là Độ hay Radian để giải.
+ Chọn đơn vị Độ: qw21
+ Chọn đơn vị Radian: qw22
- Tích phân dạng lượng giác thì phải đổi đơn vị sang hệ Radian
| 7


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

π

Ví dụ 2: Tính tích phân I =  2 5sin 3 xdx
−π

B1: Chọn đơn vị Radian bấm qw22 (Nếu máy tính đang ở đơn vị Radian rồi
thì bỏ qua bước này)
B2:Nhập biểu thức tính tích phân, cận trên, cận dưới theo các bước như ví dụ trên ta
5
5
được kết quả là − tức là I = −
3
3
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + 3 x + 4 .
a, Tính y '(2) .
b, Tính y"(2) .
Giải.
a, B1: Nhập giá trị đạo hàm vào máy tính bấm qy
B2: Nhập biểu thức ( x 2 + 3 x + 4) .
B3: Bấm $ để nhập giá trị x: bấm 2= vì ở đây tính đạo hàm tại x=2.
B4: Bấm = được kết quả là 7 tức là y '(2) = 7 .

y '(2 +10−10 ) − y '(2)
b, B1: Công thức y "(2) =
.
10−10
B2: Tính giá trị y '(2 + 10 −10 ) và lưu vào ẩn A.
B3: Tính giá trị y '(2) và lưu kết quả vào ẩn B.

A− B
B4: y "(2) = −10 = 2
10

y '( x0 +10−10 ) − y '( x0 )
Chú ý: Cơng thức chung tính y "( x0 ) =
.
10−10
6.Tính tốn vectơ:
Ví dụ 1: Cho hai vectơ A = (3;5;7) và B = ( −2;4; −1)
a, Tính tích có hướng của 2 vectơ A và B .
b, Tính tích vơ hướng của 2 vectơ A và B .
c, Tính độ dài A + B
d, Tính góc giữa 2 vectơ A và B .
Giải.
B1: Nhập tọa độ vectơ A
+ Bấm w513
+ Sau đó nhập tọa độ vectơ A bấm 3=5=7= sau đó bấm C (Tương tự nhập
tọa độ phương trình bậc 2)
B2: Nhập tọa độ vectơ B
+ Bấm w523
+ Sau đó nhập tọa độ vectơ B bấm z2=4=z1= sau đó bấm C
8 | />

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

a, Bấm T3OT4= Tức VctA x VctB được kết quả [A;B] = ( −33; −11;22)
b, Bấm T3TR2T4=

Tức VctA • VctB được kết quả A.B = 7
c, Bấm q(T3+T4)=
Tức Abs(VtcA+VtcB) được kết quả A + B = 10,8627... = 118
d, Bấm TR3T3q)T4)=

(

)

Tức Angle(VtcA,VtcB) được kết quả ∠ A, B = 1,402… (Radian) = 80,34… (Độ)
7. Tính tốn số phức.
Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 + 4i .
1 + 2i z
+ +z
Tính P =
5
z
B1: Chuyển sang chế độ số phức bấm w2
1 + 2i z
+ + z vào máy tính.
B2: Nhập phương trình
5
z
+ Để nhập i bấm b
+ Để nhập số phức liên hợp của z là z bấm T2Qn tức Conjg(z)
+ Để nhập modun của z là z bấm q(Qn.
B3: Bấm r3+4b== được kết quả P =

27 6
+ i.

5 5

8. Giải phương trình và hệ phươg trình bậc 4
Ví dụ 1: Giải phương trình x 4 − 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x − 6 = 0
B1: Bấm w924 để vào chế độ giải phương trình bậc 4.
B2: Nhập hệ số của phương trình bấm 1=z5=5=5=z6==
Kết quả phương trình có 4 nghiệm là : x1 = 3; x2 = 2; x3 = 1; x4 = −1 .
x + y + z + t = 5
 2 x − y + 3z − t = 0

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
.
−
x
+
2
y
−
z
−
t
=
−
2

3 x + y + 5 z − 4t = −4
B1: Bấm w914 để vào chế độ giải hệ phương trình bậc 4.
B2: Nhập lần lượt hệ số của 4 phương trình:
- Nhập hệ số phương trình 1 bấm 1=1=1=1=5=
- Nhập hệ số phương trình 2 bấm 2=z1=3=z1=0=

- Nhập hệ số phương trình 3 bấm z1=2=z1=z1=z2=
- Nhập hệ số phương trình 4 bấm 3=1=5=z4=z4==
Kết quả nghiệm của hệ phương trình là x = −1; y = 1; z = 2; t = 3
| 9


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

9. Ứng dụng trong các bài toán lượng giác
* Kiến thức cơ bản
cos( x ± y ) = cos x.cos y ∓ sin x.sin y
sin( x ± y ) = sin x.cos y ± cos x.sin y
tan( x ± y ) =

(cosin cùng loài, khác dấu)
(sine cùng dấu, khác loài)

tan x + tan y
1 ∓ tan x. tan y

x+ y
x− y

cos
x
cos
y
2cos

.cos
+
=

2
2

 => cos x.cos y = 1 [cos( x + y ) + cos( x − y )

2
x+ y
x− y

cos
−
cos
=
−
2sin
.sin
x
y

2
2

 => sin x.sin y = − 1 [cos(x + y) − cos(x − y)]

2
x+ y

x− y

sin
+
sin
=
2sin
.cos
x
y

2
2

 => sin x.cos y = 1 [sin( x + y ) + sin(x − y)]

2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2cos
.sin
2
2

sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x

1 = sin 2 x + cos 2 x

3

cos3 x = 4cos x − 3cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
= (cos x - sin x)(cos x + sin x )
2

*Chú ý:
+Chỉ cần nhớ công thức
cộng, công thức nhân sẽ
suy ra được từ công thức
cộng
+Nếu đặt
x
tan = t
2
2t

x
sin
=

1+ t2

1− t2

=> 
cos x =
1+ t2

sin x
2t


tan
x
=
=

cos x 1 + t 2


2

=2cos x − 1 = 1 − 2sin x
sin 2 x = 2sin x.cos x

10 | />
π

cos x ± sin x = 2 sin( x ± )
4

π

= 2 cos( x ∓ )
4


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

*Dùng đường tròn lượng giác nhớ các trường hợp đặc biệt

+1 vòng tròn <=>2 , nửa vòng tròn <=> , …
+Trục Ox  cosx, trục Oy  sinx
π

sin
x
1
x
=
⇔
=
+ k2 π (®iĨm B)

2

π

 sin x = −1 ⇔ x = − + k2 π (®iĨm D) , (k ∈ Z)
2

(điểm A và C)
sin x = 0 x = kπ



 cosx = 1 ⇔ x = k2π
(®iĨm A)


(®iĨm C) , (k ∈ Z)
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π

π
 cosx = 0 ⇔ x = + kπ (điểm B và D)

2

| 11


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

* Dùng đường trịn lượng giác để loại nghiệm
Ví dụ 1: Phương trình lượng giác f ( x ) = 0 có
Điều kiện xác định sinx.cos2x ≠ 0 và cần kiểm tra các họ nghiệm
π

=
x
k

2 có thỏa mãn điều kiện trên khơng ?

 x = π + kπ

8
Giải.

B1 :

+Họ nghiệm x = k

π
được biểu diễn bởi 4
2

π
+ kπ được biểu diển bởi
8
2 điểm đại diện M(x= /8), N(x=9 /8)
ứng với lần lượt k=0,1
π

x
=
+ k2 π

π
8
x = + kπ ⇔ 
8
 x = 9 π + k2 π

8

+Họ nghiệm x =

điểm đại diện A(x=0), B(x= /2), D(x=/2), C(x= )

ứng với lần lượt k=0, ±1, 2
 x = k2 π

π
 x = + k2 π
π
2
x=k ⇔
 x = π + k2 π
2

 x = − π + k2 π

2
B2 : Sử dụng tính năng CALC thay 6 giá trị x đại diện vừa tìm dc vào hàm sinx.cos2x thấy
x=0 và x= làm cho hàm số bằng 0 nên loại 2 họ nghiệm x = k2 π; x=π+k2π
B3 : Kết luận
Phương trình f(x)=0 có các nghiệm là
π

x
=
+ k2 π

π
π
π
2
x = + kπ; x= + kπ vì x = + kπ ⇔ 
2

8
2
 x = − π + k2 π

2
12 | />

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠

π
2

+ kπ (k ∈ Z ).

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z )
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k

π
2

(k ∈ Z )

* Phương trình có mẫu số:

• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z )
• cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π

+ kπ (k ∈ Z )

2

• tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
• cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

π
2

π
2

(k ∈ Z )
(k ∈ Z )

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1.
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2.
Dùng đường tròn lượng giác.
* Casio hàm số lượng giác, phương trình lượng giác
1
Câu 1. Tập xác định của hàm số y =

là? (Skill CALC)
2cos x − 1
5π
π

π

A. D = R \  + k 2π ,
+ k 2π | k ∈ Z  .
B. D = R \  + k 2π | k ∈ Z  .
3
3

3

5π
π

 5π

C. D =  + k 2π , + k 2π | k ∈ R  .
D. D = R \  + k 2π | k ∈ Z  .
3
3

 3

2
Câu 2. Hàm số y = 1 − sin x là? (Skill CALC)
A. Hàm số lẻ

B. Hàm số khơng tuần hồn.
C. Hàm số chẵn.
D. Hàm số chẵn khơng lẻ.
sin 2 x
Câu 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y =
thì y = f ( x ) là? (Skill CALC)
2cos x − 3
A. Hàm số chẵn
B. Hàm số lẻ
C. Hàm không chẵn không lẻ
D. Hàm vừa chẵn vừa lẻ
π

Câu 4. Hàm số y = cos 2 x.sin  x −  là? (Skill CALC)
4

A. Hàm lẻ.
B. Hàm khơng tuần hồn.
C. Hàm chẵn.
D. Hàm khơng chẵn khơng lẻ.
| 13


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

 π
Câu 5. Trong khoảng  0;  , hàm số y = sin x − cos x là hàm số? (Skill TABLE)
 2

A. Đồng biến.
B. Nghịch biến.
C. Không đổi.
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
Câu 6. Hàm số y = sin2 x nghịch biến trên các khoảng nào sau đây ( k ∈ Z ) ?
(Skill TABLE)
3π
π

A. ( k 2π ;π + k 2π ) .
B.  + kπ ; + kπ  .
4
4

3π
π
π

 π

D.  − + kπ ; + kπ  .
C.  + k 2π ; + k 2π  .
4
2
2

 4

sin x + 2cos x + 3
.

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y =
2 + cos x
(Skill TABLE)
2
2
A. min y = − ;max y = 2.
B. min y = ;max y = 2.
3
3
1
3
1
3
C. min y = ;max y = .
D. min y = − ;max y = .
2
2
2
2
Câu 8. Phương trình 2 ( sin x − 2 cos x ) = 2 − sin 2 x có tập nghiệm là? (Skill CALC)
 π

A. S =  ± + k 2π , k ∈ Z  .
 4

 3π

C. S =  ±
+ kπ , k ∈ Z  .
 4



 3π

B. S =  ±
+ k 2π , k ∈ Z  .
 4

 5π

D. S =  + k 2π , k ∈ Z  .
 4


Câu 9. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
A. −

π
2

.

B. −

5π
.
6

3
sin 2 x

= 3cot x + 3 là? (Skill CALC)

π
C. − .
6

D. −

2π
.
3

Câu 10. Phương trình sin x + cos x + 2 sin 2 x = 0 có số điểm biểu diễn trên đường trịn
lượng giác là? (Skill TABLE)
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
1
Câu 11. Phương trình 3sin x + cos x =
có bao nhiêu nghiệm trên ( 0;2π ) ?
cos x
(Skill TABLE)
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình sin x.cos x + cos x + sin x = 1 trên ( 0;2π ) là?
(Skill TABLE)

A. π .
B. 2π .
C. 3π .
D. 4π .
14 | />

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

CƠNG THỨC NHANH TỐN 12
A. Phần đại số
Chương Hàm số
Đồ Thị Hàm Bậc Ba (y=ax3+bx2+cx+d)
Hai Cực Trị ∆ = b 2 − 3ac > 0

Khơng có cực trị ∆ = b 2 − 3ac ≤ 0

a>0

a<0

a>0

a<0

y

y

y

y

O
x

x

O

x

O

x

O

Đồ Thị Hàm Trùng Phương (y=ax4+bx2+c)
Ba Cực Trị ab < 0

y

Một Cực Trị ab ≥ 0

c>0

 a > 0


 b < 0

y

x

O

y

a > 0

b ≥ 0

y

c>0

A ( 0; c )

A( 0; c)

x

O

A ( 0; c )

x

x

a < 0

b > 0

c<0

O

O

a < 0

b ≤ 0

A( 0;c)

c< 0

Trường Hợp Đặc Biệt
1 Cực Đại – 2 Cực Tiểu

y
O

2 Cực Đại – 1 Cực Tiểu

y

a > 0

b < 0

x

O

x

1 Cực Đại

1 Cực Tiểu
y
a = 0

y


b > 0
a > 0

b ≥ 0

O

A( 0; c )

O

x a = 0

b < 0
a < 0

b ≤ 0

x
a < 0

b > 0

Đồ Thị Hàm Phân Thức
Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

y′ > 0 ⇔ ad − bc > 0

y′ < 0 ⇔ ad − bc < 0
y

y
y=

a
c

y=
I

I

O
d
x=−
c

a
c

x

O

x

d
x=−
c

| 15


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Cơng Thức Giải Nhanh
Hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A, B, C

Dữ kiện

Công thức
thỏa mãn ab < 0; c ≠ 0

Tam giác ABC vuông cân tại A

b 3 = −8 a

Tam giác ABC đều

b 3 = −24a

Tam giác ABC có diện tích S ∆ABC = S 0
Tam giác ABC có bán kính đường trịn
nội tiếp r∆ABC = r0

Tam giác ABC có bán kính đường trịn
ngoại tiếp R∆ABC = R
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m 0
Tam
giác
ABC có
AB = AC = n 0

độ

dài

S0 = −

y

b5
32a 3

b2

r=


b3 
4 a 1 + 1 − 

8a 


b3 − 8a
R=
8ab

am02 + 2b = 0
16a 2 n02 − b4 + 8ab = 0

Tam giác ABC có cực trị B,C ∈ Ox

b 2 = 4ac

Tam giác ABC có trọng tâm O

b 2 = 6ac

Tam giác ABC có trực tâm O
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành
hình thoi
Tam giác ABC có O là tâm đường trịn
nội tiếp
Tam giác ABC có O là tâm đường trịn
ngoại tiếp
Tam
giác
cạnh
ABC có
BC = kAB = kAC
Trục hồnh chia tam giác ABC thành
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều
trục hoành

b 3 + 8a − 4ac = 0
b 2 = 2ac
b 3 − 8a − 4abc = 0
b 3 − 8a − 8abc = 0
b 3 .k 2 − 8a ( k 2 − 4) = 0

b 2 = 4 2 ac
b 2 = 8ac

( )

Đồ thị hàm số C : y = ax 4 + bx 2 + c
b2 =

cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng
Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC là:
2 ∆

2 ∆ 
x2 + y 2 −  − + c  y + c  −  = 0
 b 4a

 b 4a 

A

100
ac
9

.

16 | />
x

O

B

C

Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Biến Đổi Đồ Thị Hàm Số
Đồ thị (C ′) : y = f ( x) + a

Đồ thị (C ′) : y = f ( x + a)

Tịnh tiến lên phía trên a đơn vị nếu a > 0.

Tịnh tiến sang phải a đơn vị nếu a < 0 .

Tịnh tiến xuống dưới a đơn vị nếu a < 0.

Tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu a > 0.

(C ′) : y = f ( x) +1

(C ′) : y = f ( x) − 2

(C ′) : y = f ( x +1)

y

y

(C ′) : y = f ( x −1)

y

(C)

(C')

y

1

1

1

O

1

(C)

1

-1

1

-1

O

1

O

-2

x

-1

2

O

x

x

(C')
x

-1

-2

-3

-2

Đồ thị (C ′) : y = f (−x)

Đồ thị (C ′) : y = − f ( x) .

Lấy đối xứng đồ thị (C ) qua trục Oy.

Lấy đối xứng đồ thị (C ) qua trục Ox.
y

y

2
1

2

1

O

x

1
O

1

-2

x

Đồ thị (C ′) : y = f ( x )

Đồ thị (C ′) : y = f ( x + m)

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C )

(C')

Bước 1: Tịnh tiến

y

v = (m;0)

1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Ta được đồ thị (C1 ) : y = f ( x + m).
O

1

x

+) Với m > 0, tịnh tiến (C ) sang trái m đơn vị.
+) Với m < 0, tịnh tiến (C ) sang phải m đơn vị.

(C)

Bước 2: Biến đổi từ (C1 ) : y = f ( x + m) thành đồ thị

Đồ thị (C ′) : y = f ( x ) .
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

(C ) : y = f ( x) theo vectơ

(C ′) : y = f ( x + m)

y

(C')

bằng cách:

+ Giữ phần đồ thị (C1 ) bên phải trục Oy
1

+ Bỏ phần đồ thị (C1 ) bên trái Oy.

O

1

x

(C ) : y = f ( x + 1)

(C)

y

1

Đồ thị (C ′) : y = u ( x ) .v ( x ) .

O

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u ( x ) ≥ 0
+ Bỏ phần đồ thị trên miền u ( x ) < 0 của (C ) .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

(C')

1

x

y

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

1

y

( C ′ ) : y = f ( x + 1)
O

1

x

O

1

x

(C)

| 17


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Chương Mũ - Logarit
Lũy Thừa
a .a = a
m

n

Logarit

m+n

m

a
1
= a m−n ⇒ n = a −n
an
a

(a m )

n

n

log a 1 = 0

log a a = 1.

log a a b = b

∗ loga (bc) = loga b + loga c

= a m .n

a =a
m

(a, b > 0, a ≠1) .

α = log a b ⇔ a α = b

∗ log a b =

b
∗ log a   = log a b − log a c
 c 

m
n

n
(a.b) = a n . b n

∗ log a b α = α log a b

n
 
 a  = a
 b 
bn

∗ log aα c =

n

a loga b = b

log c b
log c a

∗ log c a.log a b = log c b
∗ log a b =

1
log a c
α

1
log b a

∗ a logb c = clogb a

Đồ Thị Hàm Số Lũy Thừa y = x a

Khi a < 0 hàm số luôn nghịch biến và
nhận Ox làm TCĐ, Oy làm TCN

Khi a > 0 hàm số luôn đồng biến.

Đồ thị luôn đi qua điểm A(1;1).

Đồ Thị Hàm Số Mũ y = a x
a >1

0 < a <1
y

y

1

A
O

A

O

x

1

x

Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
Khi a >1 hàm số luôn đồng biến.

Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị luôn đi qua điểm A(0;1).

Đồ Thị Hàm Số Logarit y = log a x
a >1

0 < a <1

y

y
A

O

1

x

1
O A

x

Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Khi a >1 hàm số đồng biến.

Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

18 | />
Đồ thị luôn đi qua điểm A(1;0).


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Bài Tốn Lãi Suất Ngân Hàng
Cơng Thức Giải Nhanh

Bài Toán Lãi Kép: Sn = A (1 + r )

A: Số Tiền Gửi ; r: Lãi kép; S n là số tiền nhận được

Bài Toán Tiền Gửi Hàng Tháng:
A
n
S n = (1 + r ) −1 (1 + r )

r 

A: Số Tiền Gửi Hàng Tháng ; r: Lãi kép; S n là số tiền nhận
được

n

A(1 + r ) .r
n

Bài Tốn Trả Góp: X =

A: Số Tiền Vay; r: Lãi kép; X: Số Tiền Trả Hàng Tháng.

(1 + r ) −1
n

r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

Bài toán tăng trưởng dân số:

(

Xm = Xn 1 + r

m −n

)

(

, m, n ∈ ℤ + , m ≥ n

X m dân số năm m ; Xn dân số năm n

)

Chương Nguyên Hàm – Tích Phân
Nguyên Hàm

∫ dx = x + C

∫
∫

∫
∫
∫

α

Diện Tích Giới Hạn Đường Cong Với Trục
Hoành

∫ du = u + C

x α +1
+C
α +1
1
1
dx = − + C
x2
x
1
1
dx = −
+C
xα
(α −1) x α−1

∫x

Ứng Dụng Tích Phân

Hàm Hợp

∫u

dx =

α

du =

u α +1
+C
α +1

b

S = ∫ f ( x ) dx

α +1

∫ (ax + b)

α

1

∫u

2

1 (ax + b)
du = .
a
α +1

a

+C y

∫ e du = e

∫
∫

1
∫ cos (ax + b) dx = a sin (ax + b) + C
1
∫ sin (ax + b) dx = − a cos (ax + b) + C
1
∫ cos2 x dx = tan x + C
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C

u

b x

S = ∫ f ( x) dx

+C

2

u

a

a

au
a du =
+C
ln a
1
1
du = −
+C
α
u
(α −1)u α−1

1

b

S = −∫ f ( x) dx

b

∫ cos udu = sin u + C
∫ sin udu = − cos u + C

∫

a

Diện Tích Giới Hạn Hai Đường Cong Khép Kín

u

∫ cos

b x

a

y = f ( x)

O

∫ u du = ln u + C
u

y
O

1
du = − + C
u

1

1
dx = ln x + C
x
1

eax+b dx = eax +b + C
a
x
a
a x dx =
+C
ln a

y = f ( x)

b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

y = f ( x) y

y

y = g (x)

y = f ( x)

y = g ( x)

O

a

b

x

O

b

b

x

b

S = ∫  f ( x) − g ( x) dx

du = tan u + C

a

S = ∫  g ( x) − f ( x) dx

a

a

Thể Tích Vật Thể

1
du = − cot u + C
sin 2 u

b

V = ∫ S ( x )dx
a

∫

Lý thuyết nguyên hàm:
f ( x ) dx = F ( x ) F ′ ( x ) = f ( x )
Công thức tính tích phân:

b

∫
a

b

f ( x) dx = F ( x) = F (b) − F (a)
a

b

∫
a

b
f ′ ( x) dx = f ( x) = f (b) − f (a)
a

O

a

b

x

x
S ( x)

| 19


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Thể Tích Khối Trịn Xoay
y

Nguyên hàm, tích phân từng phần:

 udv = uv −  vdu

a

O

b b
a udv = uv a − a vdu

b

y = f ( x)

y

y = f ( x)

x

O

y = g ( x)

a

b

x

b

b

V = π ∫  f ( x) dx
2

b

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx

a

a

Phương Pháp Đổi Biến Số

Mẹo Đặt Phương Pháp Từng Phần

Mẹo Đổi Biến
Dạng 6:
Dạng 1:  u ( x ) ⇒ t = u ( x )
f (sin x ).cos x ⇒ t = sin x
Dạng 2: m u ( x ) ⇒ t = u ( x )
Dạng 7:

Dạng 1:

α

1
Dạng 3: f (ln x ). ⇒ t = ln x
x

Dạng 4: e

u( x )

f (cos x ).sin x ⇒ t = cos x

f ( tan x ).

1
⇒ t = tan x
cos 2 x

Dạng 9: f (cot x ).

f ( x)

u = P ( x )
dx ⇒ 
dv = e f ( x)dx


u = P ( x )

sin f ( x )


sin f ( x )
P ( x ). 
dx ⇒ 
dv = 

cos f ( x )


 cos f ( x )


Dạng 2:

∫

Dạng 3:

∫ P ( x). f ′ ( x) dx ⇒ dv = f ′ ( x) dx

Dạng 8:

⇒ t = u ( x)

Dạng 5: f (e x ) ⇒ t = e x

∫ P ( x).e

u = P ( x)



1
⇒ t = cot
sin 2 x

u = ln f ( x )


Dạng 4:

∫ P ( x ).ln f ( x ) dx ⇒ dv = P ( x) dx


Dạng 10: f u ( x ) ⇒ t = u ( x )
Một số dấu hiệu đổi biến đặc biệt

Cách chọn

a2 − x 2

Đặt x = a sint ; với

x 2 − a2

Đặt

a2 + x2

Đặt x = a tant ; với

a +x
. hoặc
a −x

a −x
.
a +x

(x − a )(b − x )

Hàm

()

f x =

 π π
t ∈  − ; .
 2 2

2

( ))

f x; ϕ x

Hàm f ( x ) =

{}

Đặt x = acos 2t

Đặt

(

 π π
. ; với t ∈  − ;  \ 0

sint
 2 2

a

Đặt x = a + (b – a )sin t

1
2
a + x2
Hàm số :

x =

 π π
t ∈ − ;  .
 2 2

a.s inx+b.cosx
c.s inx+d.cosx+e

1

(x + a )(x + b )

 π π
x = atant ; với t ∈  − ;  .
 2 2

( )

t = ϕ x


x 
x
t = tan ;  cos ≠ 0 
2 
2

Với :

x + a > 0 và x + b > 0 .

Với

Đặt :

t = x +a + x +b

Đặt :

20 | />
x + a < 0 và x + b < 0
t = −x − a + −x − b


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Chương Số Phức
 Khái niệm số phức
+ Số phức (dạng đại số): z = a + bi; (a, b ∈ ℝ ) .
Trong đó: a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = −1.
+ Tập hợp số phức kí hiệu: ℂ .
+ z là số thực z = a ⇔ Phần ảo của z bằng 0 (b = 0) .
+ z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) z = bi ⇔ Phần thực bằng 0 (a = 0) .
 Phép cộng và phép trừ số phức
Hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ ℝ ) và z2 = c + di (c, d ∈ ℝ ) . Khi đó: z1 ± z2 = ( a ± c ) + (b ± d ) i
 Phép nhân số phức
+ Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ ℝ ) và z2 = c + di (c, d ∈ ℝ ) .
Khi đó: z1 z2 = ( a + bi )(c + di ) =(ac – bd ) + ( ad + bc) i .
+ Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Ta có: k .z = k .(a + bi ) = ka + kbi.
 Số phức liên hợp
+ Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là z = a − bi . + z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z =−z .
 Chia hai số phức
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z−1 =

1
z
z ′ z ′.z
=
=
. Phép chia hai số phức z ′ và z ≠ 0 là
.
z z.z
z
z. z

 Biểu diễn hình học số phức
Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) được biểu diễn bởi điểm M (a; b)
hay bởi u = (a; b ) trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .

y
b

M (a; b )

O

a

y
b

M (a; b )

x

 Môđun của số phức
Độ dài của vectơ OM được gọi là mơđun của số phức z và kí hiệu là z .
Vậy z = a + bi = OM = a 2 + b2 = zz và z = z

a

x

O
 Hai số phức bằng nhau.

Hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ ℝ ) và z2 = c + di (c, d ∈ ℝ ) bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương

bằng nhau.
a = c
Khi đó ta viết z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔ 
.
b = d

a = 0
Lưu ý: Với z1 = 0 ⇔ 
.
b = 0
 Giải phương trình số phức.
Cho phương trình bậc hai az 2 + bz + c = 0, ∀a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 .

b
 z1 + z2 = −

a ; Lưu ý: z 2 + z 2 = z + z 2 − 2 z z

Định lý Viet: 
( 1 2)
1
2
1 2

c
 z1 z2 =
a


Xét hệ số: ∆ = b2 − 4ac của phương trình.
+ Khi ∆ = 0 phương trình có một nghiệm thực z = −

b
.
2a

+ Khi ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1,2 =

−b ± ∆
.
2a

| 21


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

+ Khi ∆ < 0 phương trình có hai nghiệm phức z1,2 =

−b ± i ∆
.
2a

 Min – max modun số phức.

• Cho số phức

z thỏa mãn z1 .z + z2 = r , ( r > 0 )

(


z
r
max z = 2 +
z1
z1

.

min z = z 2 − r

z1
z1


)

• Cho số phức z thỏa mãn z1 .z − z2 = r1 , r1 > 0 .

max P =
• Cho số phức z thỏa mãn

z2
z1

− z3 +

r1
z1

và min P =

(

z2

− z3 −

z1

)

z1 .z + z 2 + z 1.z − z 2 = k, k > 0 .
k
và min z =
max z =
2 z1

22 | />
k 2 − 4 z2
2 z1

2

r1

z1


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

B. Phần hình học
Thể Tích
Khối Chóp

Khối Lăng Trụ

S

Khối Hộp Chữ Nhật

A'

C'

A'

B

C'

C
S

H

C'
a

A

b

A

C

D'

a

B'

a

B'

A

A'

D'

B'

h

h

Khối Lập Phương

D

D

a

c

H
S

C

B

C

B
A

B

1
V = .h.S

3

V = abc
..

V = h.S

AC ' = a + b + c
2

2

AC ' = a 3

V = a3

2

Cơng Thức Giải Nhanh Thể Tích
Hình Chóp Tam Giác Đều S. ABC
S

S

S

b

b

b
a

α

a

C

A

a

α

H

a

I
a

H

a

VS . ABC =

a 2 3b 2 − a 2
12

Đặc biệt b = a ⇒ VS . ABC =

I
a

B

VS . ABC =

a3 2
12

H

a

I
a

B

B

C

A

C

A

a3 tan α
24

VS . ABC =

a3 tan α
12

Hình Chóp Tứ Giác Đều S. ABCD
S

S

S

b
b
b

b

a

A
a

a

VS . ABCD =

B

a 2 4b 2 − 2 a 2
6

Đặc biệt b = a ⇒ VS . ABCD =

a3 2
6

B

a

VS . ABCD =

C

a 3 tan α
6

a

O

a

O

C

D

a

α

a

O
B

D

a

a

A α

a

A
D

a

VS . ABCD =

C

a 3 2 tan α
6

| 23


Nguyễn Văn Thế

Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài tốn khó!

Nội dung

Cho

hình

chóp

SABC

(SAB ) , (SBC ) , (SAC )

với

Hình vẽ

các

mặt

phẳng

A

vng góc với nhau từng đơi một, diện

tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S 1, S2 , S3 .
Khi đó: VS .ABC =

S
C

2S1.S2 .S3
3

B

(

)

góc

với

Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt
phẳng

(SAB )

(SBC ) vng

và

S

nhau,

BSC = α, ASB = β .

C

A
3

Khi đó: VS .ABC =

SB . sin 2α . tan β
12

B

Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, cạnh bên bằng b .
Khi đó: VS .ABC

a 2 3b 2 − a 2

=
12

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α .
Khi đó: VS .ABC =

a 3 tan α
24

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh bên bằng b
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β .
Khi đó: VS .ABC =

3b 3 .sin β cos2 β
4

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β .
Khi đó: VS .ABC =

a 3 . tan β
12

S

C

A
G
B

24 | />
M


Nguyễn Văn Thế

Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = b .
Khi đó: VS .ABC =

S

a 2 4b 2 − 2a 2
6

D

A
M

O
C

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a,

S

góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α .
Khi đó: VS .ABCD =

a 3 . tan α
6

A

D
M

O
B

C

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a,

S

π π 
SAB = α với α ∈  ; 
4 2

D

3

tan α − 1
6
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên bằng a,

Khi đó: VS .ABCD =

a

A

2

M

O
C

B

S

 π
góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α với α ∈  0;  .
 2

A

D

3

4a . tan α

Khi đó: VS .ABCD =
3

(2 + tan α )
2

O
3

B

C

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi

(P ) là mặt phẳng đi qua A song song với BC
(

)

M

S

F

và vng góc
N
A

( )

với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là α .

E

C

x
G
M

3

a cot α
Khi đó: VS .ABCD =
24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương
cạnh a.

B

A'

B'
O'

D'
O1

a3
Khi đó: V =
6

C'
O2

O4
A

O3

B
O

D

C

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được
khối lập phương.

S

G2

2a 2
Khi đó: V =
27

D

A G1

3

N

M
C

B

S'

| 25