KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1 pot

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2 2 2
2(2 1) (5 10 3) 10 4 6 (1)
y x m x m m x m m= − + + + − − − +
, ( với m là
tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với
1
m
=
.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị và các giá trị cực trị của hàm số (1) trái
dấu nhau.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:
(2sin 1)(cos2 sin ) 2sin3 6sin 1
2cos 3 0 ( )
2cos 3
x x x x x
x x
x
+ + − + +
+ + = ∈
−
ℝ

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
4 2 2
2 2
4 6 9 0
( , )
2 22 0
x x y y
x y
x y x y

− + − + =

∈

+ + − =


ℝ

Câu 4 (1,0 điểm)
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a m

để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình:

( )
2
4 4 5 2 0
x x m x x
− + − + + ≥
có nghi
ệ
m
2;2 3
x
 
∈ +
 
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp
.
S ABCD
, có
đ
áy ABCD là hình thang cân,
đ
áy l

ớ
n AD=2a,
,
AB BC a
= =
2
SB a
=
, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) trùng v
ớ
i trung
đ
i
ể
m O
c
ủ
a AD. Trên các c
ạ
nh SC, SD l
ấ
y các

đ
i
ể
m M, N sao cho
2 ,
SM MC SN DN
= =
. M
ặt phẳng
(
)
α
qua MN, song song với BC cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số dương
, ,
x y z
thoả mãn:
( 1) ( 1) ( 1) 6.
x x y y z z
− + − + − ≤
Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
.
1 1 1
A
x y y z z x
= + +
+ + + + + +

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3;1) và
cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I(2;-2).
Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình:
2 3
1 81 9
3
log 20log 40log 7 0
x x x
− + + =
.
Câu 9.a (1,0 điểm)
Có t
ấ
t c
ả
bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có 6 ch
ữ
s
ố
mà trong các s
ố

đ
ó, m

ỗ
i ch
ữ
s
ố

đứ
ng
tr
ướ
c
đề
u nh
ỏ
h
ơ
n ch
ữ
s
ố

đứ
ng sau nó (k
ể
t
ừ
trái qua ph
ả
i).
B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình thoi ABCD ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
(
)
2 2
:( 1) ( 1) 20
C x y
− + + =
. Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng
:2 5 0
d x y
− − =
. Viết phương trình cạnh AB của hình thoi.
Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn:
0
3 1

lim
x
x
I
x
→
−
= .
Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x
10
trong khai triển
2
( 3 )
n
x x
−
, (x >0, n nguyên d
ươ
ng) bi
ế
t t
ổ
ng
t
ấ
t c
ả
các h
ệ
s

ố
trong khai tri
ể
n b
ằ
ng
2048
−
.
Hết
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đáp án gồm: 07 trang

I. Hướng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi.
II. Đáp án – thang điểm

Câu Nội dung trình bày
Thang
điểm

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
7,0
điểm
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1
1,0
điểm
• Với m=1, hàm số (1) có dạng
3 2
6 12 8
y x x x
= − + −

• TXĐ:
D
=
ℝ

• Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2 2
' 3 12 12 3( 2) 0 , ' 0 2
y x x x x y x
= − + = − ≥ ∀ = ⇔ =

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế

n trên
ℝ



0,25

+ C
ự
c tr
ị
: Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị

+ Gi
ớ
i h
ạ
n:
lim ,lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞

0,25
+B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞
2
+∞

y’ + 0 +

+∞

y


−∞




0,25

Câu 1
•
Đồ
th
ị
:
'' 6( 2), '' 0 2, (2) 0
y x y x y
= − = ⇔ = =

Một số điểm thuộc đồ thị: (1;-1), (3;1), (2;0),
Đồ thị nhận I(2;0) là tâm đối xứng.
Đồ thị:

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
x
y
0
1
2 3-1
1
2
-1
-2












0,25
b) Tìm tất cả các giá trị của m để các giá trị cực trị của hàm số (1) trái dấu
1,0
điểm

Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu
⇔
đồ thị hàm số (1) cắt trục
Ox tại 3 điểm phân biệt. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3 2 2 2
2(2 1) (5 10 3) 10 4 6 0 (2)
x m x m m x m m− + + + − − − + =

2 2
( 2)( 4 5 2 3) 0
x x mx m m
⇔ − − + + − =



0,25
2 2
2
4 5 2 3 0 (3)
x
x mx m m
=

⇔

− + + − =



0,25

Ph
ươ
ng trình (2) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
ph
ươ
ng trình (3) có 2 nghi
ệ
m phân
bi
ệ
t khác 2
2 2
2
' 4 (5 2 3) 0
4 8 5 2 3 0
m m m
m m m

∆ = − + − >

⇔

− + + − ≠



0,25

3 1
1
5
m
m
− < <


⇔

≠



V
ậ
y v
ớ
i
( )
1
3;1 \
5
m
 

∈ −
 
 
thì các giá trị cực trị của hàm số trái dấu.



0,25
Giải phương trình:
(2sin 1)( os2 sin ) 2sin3 6sin 1
2cos 3 0 ( )
2cos 3
x c x x x x
x x
x
+ + − + +
+ + = ∈
−
ℝ


1,0
điểm
Điều kiện:
3
cos 2 ,
2 6
x x k k
≠ ⇔ ≠ ± + ∈
ℤ

π
π

Khi đó,
2
(2sin 1)( os2 sin ) 2sin3 6sin 4cos 2 0
PT x c x x x x x
⇔ + + − + + − =


0,25
2 3 2
(2sin 1)(1 2sin sin ) 2(3sin 4sin ) 6sin 4sin 2 0
x x x x x x x
⇔ + − + − − + − + =

3 2
4sin 4sin 3sin 3 0
x x x
⇔ − + + =

2
(2sin 1)(2sin 3sin 3) 0
x x x
⇔ + − + =


0,25

Câu 2
( )
2
1
6
sin
7
2
2
6
x k
x k
x k
−

= +

−
⇔ = ⇔ ∈


= +



ℤ
π
π
π
π

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Kết hợp điều kiện có
2
6
x k
−
= +
π
π
không thỏa mãn.
Vậy phương trình có một họ nghiệm là
7
2 ,
6
x k k
= + ∈
ℤ
π
π

0,25
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

4 2 2
2 2
4 6 9 0
( , )
2 22 0
x x y y
x y
x y x y

− + − + =

∈

+ + − =


ℝ

1,0
điểm
Hpt ⇔
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

− + − =


− + − + + − − =



0,25
Đặt
2
2
3
x u
y v

− =

− =


Khi đó ta được
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v

+ =

+ + =

⇔
2
0
u
v
=


=

hoặc
0
2
u
v
=



=





0,25


⇒
⇒⇒
⇒
2
3
x
y
=


=

;
2
3
x
y
= −


=


;
2
5
x
y

=


=


;
2
5
x
y

= −


=




0,25

Câu 3

KL: nghiệm của hpt đã cho là:
(
)
(
)
(
)
(
)
2;3 , 2;3 , 2;5 , 2;5
− −

0,25
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a
m

để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình:

( )
2
4 4 5 2 0
x x m x x
− + − + + ≥
có nghi
ệ
m
2;2 3
x
 
∈ +
 
.
1,0
điểm
ĐK:
x
∀ ∈
ℝ
. Đặt
( )
2
2
4 5 2 1 1
x x t t x
− + = ⇒ = − + ≥
.
Vì

2;2 3
x
 
∈ +
 
và
2
2 4
( ) 0, [2;2 3]
2 4 5
x
t x x
x x
−
′
= ≥ ∀ ∈ +
− +
nên
[
]
1;2
t ∈
.
0,25
Bất phương trình trở thành
2
7
t
m
t

−
≥
. Bpt đã cho có nghiệm
2;2 3
x
 
∈ +
 

⇔
Bpt
2
7
t
m
t
−
≥
có nghiệm
[
]
1;2
t
∈



0,25
Xét
2

7
( )
t
f t
t
−
=
với
[
]
1;2
t
∈

[ ]
2
2
7
( ) 0, 1;2
t
f t t
t
+
′
= > ∀ ∈
[1;2]
min ( ) (1) 6
f t f
⇒
= = −

0,25

Câu 4
⇒
Vậy
6
m
≥ −
là các giá trị cần tìm.
0,25
Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
,
AB BC a
= =
2
SB a
=
, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với trung điểm O của AD. Trên các cạnh SC, SD lấy điểm M, N sao cho
2 ,
SM MC SN DN
= =
. Mặt phẳng
(

)
α
qua MN và song song với BC cắt SA,
SB l
ần lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a.


1,0
điểm


Câu 5




Hình v
ẽ: Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
P
Q
N
D
A
B
C
O
S

M

2 3
( ), 3
2
a
Do SO ABCD OA OB OC OD a SO a
⊥ = = = = ⇒ = =

1
2 2
3
ABD BCD BCD ABCD
Do AD BC S S S S= ⇒ = ⇒ =
. . . .
1 2
,
3 3
S BCD S ABCD S ABD S ABCD
V V V V⇒ = =

2 2 3
.
3 3 1 1 3 3 3
3 . . 3.
4 3 3 4 4
ABCD AOB S ABCD ABCD
a a a
S S V SO S a= = ⇒ = = =
(đvtt)

0,25
Có MQ // BC, NP // BC nên
1 2
,
2 3
SP SN SQ SM
SA SD SB SC
= = = =

•
.
. . .
.
2 1 2 2 2 2
. . . .
3 2 3 9 9 27
S MNQ
S MNQ S BCD S ABCD
S BCD
V
SM SN SQ
V V V
V SC SD SB
= = = ⇒ = =

0,25
•

.
. . .
.
1 1 2 1 1 1
. . . .
2 2 3 6 6 9
S PNQ
S PNQ S ABD S ABCD
S ABD
V
SP SN SQ
V V V
V SA SD SB
= = = ⇒ = =
0,25








Suy ra
3 3
. . . .
5 5 3 5

.
27 27 4 36
S MNPQ S MNQ S PNQ S ABCD
a a
V V V V= + = = = (đvtt)

0,25
Cho các số dương
, ,
x y z
thoả mãn:
( 1) ( 1) ( 1) 6.
x x y y z z
− + − + − ≤
Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
.
1 1 1
A
x y y z z x
= + +
+ + + + + +


1,0
điểm
( 1) ( 1) ( 1) 6
x x y y z z
− + − + − ≤

2 2 2
( ) 6
x y z x y z
⇔ + + − + + ≤

2
18 ( ) 3( ) 3 6
x y z x y z x y z
⇒ ≥ + + − + + ⇔ − ≤ + + ≤
0 6
x y x
⇒ < + + ≤



0,25
Ta có:
1 1 2
1 25 5
y z
y z
+ +
+ ≥
+ +
;
1 1 2
1 25 5
z x
z x
+ +

+ ≥
+ +
;
1 1 2
1 25 5
x y
x y
+ +
+ ≥
+ +



0,25

Câu 6








2( ) 3 6
25 5
x y z
A
+ + +
⇒ + ≥

6 2( ) 3 3
5 25 5
x y z
A
+ + +
⇔ ≥ − ≥


0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
x y z
= = =
. Vậy
min
3
2
5
A x y z
= ⇔ = = =
.
Cách khác: Đặt
, 0
t x y z t
= + + >
.
Sử dụng BĐT

2 2
2 2 2
( )
6 (0;6]
3 3
x y z t
x y z t t
+ +
+ + ≥ ⇒ − ≤ ⇒ ∈
.
Chứng minh
1 1 1 9
, , , 0
a b c
a b c a b c
+ + ≥ ∀ >
+ +
và áp dụng kết quả này ta được
9
2 3
A
t
≥
+
. Xét
9
( )
2 3
f t
t

=
+
trên (0;6], suy ra kết quả bài toán.

0,25
II. PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 3,0
điểm
PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3;1) và
cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I(2;-2).

1,0
điểm
Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b),
( , 0)
a b
≠

Phương trình đường thẳng d có dạng:
1
x y
a b
+ =

Do d qua M(3;1) nên
3 1
1 (1)
a b
+ =

0,25
Đồng thời,
IAB
∆
cân tại I nên
2 2 2 2
( 2) (0 2) (0 2) ( 2)
IA IB a b= ⇔ − + + = − + +
2 2
4
a b
a b
a b
= −

⇔ − = + ⇔

= +


0,25
•
V
ớ
i
a b
= −
, thay vào (1) ta

đượ
c
2; 2
a b
= = −
nên ph
ươ
ng trình
đườ
ng
th
ẳ
ng
d
là
2 0
x y
− − =

0,25

Câu
7.a
•
V
ớ
i
4,
a b
= +
thay vào (1) ta
đượ
c
(
)
; (6;2)
a b = ho
ặ
c
( ; ) (2; 2)
a b
= −

T
ừ

đ
ó, ph
ươ
ng trình
đườ

ng th
ằ
ng d là
3 6 0
x y
+ − =
ho
ặ
c
2 0
x y
− − =

V
ậ
y có hai
đườ
ng th
ẳ
ng th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán là
: 3 6 0
d x y
+ − =

ho
ặ

c
: 2 0
d x y
− − =


0,25
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 3
1 81 9
3
log 20log 40log 7 0
x x x
− + + =

1,0
điểm

Câu
8.a
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:

(0; )
x
∈ +∞

Khi
đ
ó,
1 81 9
3
2log 60log 20log 7 0
PT x x x
⇔ − + + =

0,25
3 3 3
2log 15log 10log 7 0
x x x
⇔ − − + + =

0,25
3
7log 7 3
x x
⇔ = ⇔ =

0,25

Vậy x =3 là nghiệm của phương trình. 0,25
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn
ch

ữ số đằng sau nó.
1,0
điểm




Giả sử số cần tìm có dạng
abcdef

(
)
a b c d e f
< < < < <

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Số được chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số 0 thì số đó phải có dạng
{
}
(
)
0 , , , , , 1;2; ;9
bcdef b c d e f ∈
(không th
ỏ
a mãn)
V
ớ

i m
ỗ
i cách ch
ọ
n ra 6 ch
ữ
s
ố
, có duy nh
ấ
t m
ộ
t cách t
ạ
o thành s
ố
có 6 ch
ữ
s
ố

sao cho m
ỗ
i ch
ữ
s
ố

đứ
ng tr

ướ
c
đề
u nh
ỏ
h
ơ
n ch
ữ
s
ố

đằ
ng sau nó.
0,25
S
ố
các s
ố
có 6 ch
ữ
s
ố
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán là s
ố
cách ch

ọ
n 6 trong 9 ch
ữ

s
ố
thu
ộ
c t
ậ
p
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8;9
A =
0,25
Câu
9.a
V
ậ
y có
6
9
84
C
=
s
ố
th
ỏ

a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
0,25
PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao

Câu
7.b
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho hình thoi
ABCD
ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
(
)
2 2

:( 1) ( 1) 20
C x y
− + + =
. Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và
thuộc đường thẳng
: 2 5 0
d x y
− − =
. Viết phương trình cạnh AB.
1,0
điểm
Đường tròn (C) có tâm
(1; 1),
I
−
bán
kính
2 5
R =

Đặt
,( 0)
BI x x
= >

Do
2 2 2
AC BD AI BI x
= ⇒ = =

Kẻ
2 5
IH AB IH R⊥ ⇒ = =


d
H
B
D
A
I
C





0,25
• Trong
AIB
∆
có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
5 ( 0)
4 20
x Do x
IA IB IH x x
+ = ⇔ + = ⇔ = >

Suy ra
5
IB
=
. Gọi
( ;2 5), ( 0)
B t t t
− >

2 2
4 ( )
5 ( 1) (2 4) 25
2
( )
5
t tm
Do IB t t
t ktm
=


= ⇔ − + − = ⇔
−

=


0,25
•

V
ớ
i
4 (4;3)
t B
=
⇒
. Ph
ươ
ng trình c
ạ
nh AB có d
ạ
ng:
2 2
( 4) ( 3) 0 ( 0)
a x b y a b
− + − = + ≠

2 2
3 4
ó : ( ; ) 2 5
a b
C d I AB IH R
a b
− −
= = ⇔ =

+

2 2
2
11 24 4 0
2
11
a b
a ab b
a b
=


⇔ − + = ⇔

=






0,25

•

V
ớ
i
2 ,

a b
=
ch
ọ
n
2, 1
a b
= =
, ph
ươ
ng trình AB là:
2 11 0
x y
+ − =

•

V
ớ
i
2
,
11
a b
=
ch
ọ
n
2, 11
a b

= =
, ph
ươ
ng trình AB là:
2 11 41 0
x y
+ − =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình c
ạ
nh AB là
2 11 0
x y
+ − =
ho
ặ
c
2 11 41 0
x y
+ − =



0,25
Tìm gi
ớ

i h
ạ
n:
0
3 1
lim
x
x
I
x
→
−
=

1,0
điểm

Câu
8.b
Ta có
ln3
0
1
lim
x
x
e
I
x
→

−
=

0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
ln3
0
1
lim
x
x
e
I
x
→
−
⇔ =

0,25
ln3
0
1
lim .ln3
.ln3
x
x
e
I
x

→
−
⇔ =

0,25
1.ln3 ln3.
I
⇔ = =

0,25
Tìm hệ số của x
10
trong khai triển
2
( 3 )
n
x x
−
, (x >0, n nguyên d
ươ
ng) bi
ế
t
t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
trong khai tri

ể
n b
ằ
ng

2048
−
.

1,0
điểm
Câu
9.b
Do t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
trong khai tri
ể
n là –2048 nên ta có:
0 1 2 2
3 3 ( 1) .3 2048
n n n
n n n n
C C C C− + − + − = −
(1 3) 2048 11
n
n

⇔ − = − ⇔ =



0,25
Ta có khai triển:
1 3
11 11
22
2 11 2 11 11 11
2 2
11 11
0 0
( 3 ) .( 3 ) .( 1) .3 .
k k
k k k k k
k k
x x C x x C x
−
− − −
= =
− = − = −
∑ ∑

0,25
H
ệ
s
ố
c

ủ
a x
10
trong khai tri
ể
n t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
3
22 10 8
2
k k
− = ⇔ =

0,25

Vậy hệ số cần tìm là
3 3 8
11
( 1) .3 . 4455
C− = −
0,25

Hết
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com