BAI TAP BPT VOTI

I)

-

-

Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :
 f ( x) ≥ 0

f ( x) < g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 0
 f ( x) < [g ( x)]2

Dạng 1 :
  f ( x) ≥ 0

 g ( x) < 0
f ( x) > g ( x) ⇔ 
 g ( x) ≥ 0

  f ( x) > [g ( x)]2
Dạng 2 :

- Dạng 3 : A + B < C
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)

x 2 − 2 x − 15 ≤ x − 3

b)

− x2 + 6x − 5 ≥ 8 − 2 x

c)

x2 − 2x − 8 < x − 3

Kết quả : x ∈ [5;6]
Kết quả : x ∈ [3;5]

2
d) x − 3x − 10 ≥ x − 2
Bài 2 Giải bất phương trình :
2
2
a) ( x − 3) x + 4 ≤ x − 9
b) 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 ( A − 2005)

c)

7 x − 13 − 3x − 9 ≤ 5 x − 27

d)

x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5 x + 1 (CD − 2009)
2( x 2 − 16)

e)

x −3

+ x−3 >

7−x
x −3

( A − 2004)

⇒ x ∈ [2;10)


Bài 3 Giải bất phương trình :
a)

b)
c)

51 − 2 x − x 2
<1
1− x

8 + 2x − x2
≥1
6 − 3x
1
1
>
2 x 2 + 3x − 5 2 x − 1

Bài 4 Giải bất phương trình :

II)

T = (−∞;

−5
3
) ∪ (1; ) ∪ (2; +∞)
2
2

x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1

Phương pháp đặt ẩn phụ.

Bài 1 Giải bất phương trình :
a)

5 x 2 + 10 x + 1 > 7 − 2 x − x 2

T = (−∞; −3) ∪ (1; +∞ )

2
2
b) 2 x + x − 5 x − 6 > 10 x + 15
2
c) ( x − 3)(8 − x ) + x − 11x < 0

Bài 2 Giải bất phương trình :
5
1
5 x+

< 2x +
+4
2
x
2
x
a)
x
x +1
−2
>3
x
b) x + 1
2
Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình x + 1 + x − 4 x + 1 ≥ 3 x
1
5
1
t= x+
⇒ t ≥ ⇒ x ∈ [0; ] ∪ [4; +∞)
2
4
x
- Chia 2 vế cho x và đặt


Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT :
- Điều kiện : x ≥ 2 .

x2 − x − 2 + 3 x ≤ 5x2 − 4 x − 6

Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3 x( x − 2)( x + 1) ≤ 2 x( x − 2) − 2( x + 1)
x( x − 2)
t=
x + 1 . Nghiệm x ∈ [3 + 13; +∞)
- Chia 2 vế cho ( x + 1) và đặt
Bài 5 Giải bất phương trình
-

2
2
a) 5 x + 14 x + 9 − x − x − 20 ≤ 5 x + 1
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được

2 x 2 − 5 x + 2 ≤ 5 ( x 2 − x − 20)( x + 1)
⇔ 2( x 2 − 4 x − 5) + 3( x + 4) ≤ 5 ( x + 4)( x 2 − 4 x − 5)
⇔2

x2 − 4x − 5
x2 − 4x − 5
+3≤5
x+4
x+4

⇔ x ∈[

5 + 61
;8]
2

2
2
b) 7 x + 25 x + 19 − x − 2 x − 35 < 7 x + 2
- Chuyển vế, bình phương ta được :

-

3( x 2 − 5 x − 14) + 4( x + 5) < 7 ( x 2 − 5 x − 14)( x + 5)
Nghiệm x ∈

3
2
Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x + (3 x − 4 x − 4) x + 1 ≤ 0

y ≥ 0
y = x +1 ⇔  2
 y = x +1
- Điều kiện : x ≥ −1 . Đặt
3
2
2
- Bpt trở thành x + (3x − 4 y ) y ≤ 0

-

TH 1. y = 0 ⇔ x = −1 . Thỏa mãn BPT

-

3

TH 2. y > 0 ⇔ x > −1 . Chia hai vế cho y ta được
3

2

-

x
x
x
t=
 ÷ + 3 ÷ − 4 ≤ 0
y
y
y và giải BPT ta được t ≤ 1
 
 
. Đặt
 −1 ≤ x < 0
x

t ≤ 1 ⇒ ≤ 1 ⇔ x ≤ x + 1 ⇔  x ≥ 0
y
  x 2 − x − 1 ≤ 0


-

 −1 ≤ x < 0


1+ 5
  x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤
 1 − 5
2
1+ 5

≤x≤
2
 2
. Kết hợp x > −1 ta được
 1+ 5 
1+ 5
 −1;

−1 < x ≤
2 
2 . Vậy tập nghiệm của BPT là S = 

• Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích

0,25

0,25

0,25

0,25

x 3 + (3x 2 − 4 x − 4) x + 1 ≤ 0 ⇔ x3 + 3 x 2 x + 1 − 4( x + 1) x + 1 ≤ 0
⇔ [x 3 − ( x + 1) x + 1] + [3 x 2 x + 1 − 3( x + 1) x + 1] ≤ 0

-

⇔ ( x − x + 1)( x + x + 1) 2 ≤ 0

3
2
3
• Bài tập tương tự : x − 3x + 2 ( x + 2) − 6 x ≤ 0


II. Phương pháp nhân liên hợp.
Bài 1 Giải bất phương trình :
a) 1 + x − 1 − x ≥ x
1 − 1 − 8x2
<1
2x
b)

Nghiệm

T =[

−1
1
;0) ∪ (0; )
3
2 2

Bài 2 Giải bất phương trình :
2
a) Giải phương trình : 3x + 1 − 6 − x + 3x − 14 x − 8 < 0 . Nhẩm nghiệm x = 5
3
1
⇔ ( x − 5)(
+
+ 3 x + 1) < 0
3
x
+
1
+
4
6
−
x
+
1
- BPT
. Trong ngoặc > 0 ⇒
−1
x ∈ [ ;5)
3
Nghiệm
3
b) Giải phương trình : 2 3 x − 2 − 3 6 − 5 x + 16 ≥ 0 Nhẩm nghiệm x = −2
6
15

6
⇔ ( x + 2)[ 3
+
]
≥
0
⇔
x
∈
[
−
2;
]
2
3
5
(
3
x
−
2)
−
2
3
x
−
2
+
4
6

−
5
x
+
4
- BPT