Tìm hiểu về thứ tứ và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC
MÔN HỌC: CƠ SỞ TỐN HỌC TRONG TIN
GiẢNG VIÊN: PGS.TS TRƯƠNG CƠNG TUẤN

TÌM HIỂU VỀ QUAN HỆ THỨ TỰ
VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Bài tập tiểu luận nhóm 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

TRƯƠNG MINH HỒ
VÕ THỊ THU HÀ
PHẠM THỊ NGỌC HÀ
NGUYỄN THỊ HỒNG
NGUYỄN THỊ DIỆU HƯƠNG
NGUYỄN THỊ NHÀN
HỒ THỊ NỮ


Quan hệ thứ tự

Ví dụ: Xét quan hệ chia hết “|” trên N* = N \ {0}:
∀ a, b ∈ N*,
a | b ⇔ a là ước số của b.
Quan hệ “|” là quan hệ thứ tự trên N* không?
Chứng minh: Ta kiểm tra 3 tính chất của quan hệ thứ tự
+) Phản xạ:

∀ a ∈ N*, a là ước số của a nên a | a. Vậy quan hệ
phản xạ.
+) Phản đối xứng:

∀ a, b ∈ N*, giả sử a | b và b | a. Lúc đó a = b
+) Bắc cầu:

∀ a, b, c ∈ N*, giả sử a | b và b | c. Lúc đó a | c
Vậy | là quan hệ thứ tự trên N*

| có tính


Ví dụ: Xét quan hệ bao hàm ⊆ trên P(X). Quan hệ ⊆ là quan
hệ thứ tự trên P(X).
Chứng minh: Ta kiểm tra 3 tính chất của quan hệ thứ tự
+) Phản xạ:

∀ A ∈ P(X), A ⊆ A.
+) Phản đối xứng:

∀ A, B ∈ P(X), giả sử A ⊆ B và B ⊆ A. Lúc đó A = B.
+) Bắc cầu:

∀ A, B, C ∈ P(X), giả sử A ⊆ B và B ⊆ C. Lúc đó A ⊆ C
Vậy ⊆ là quan hệ thứ tự trên P(X).


Các phần tử đặc biệt của tập được sắp thứ tự
1. Phần tử nhỏ nhất, lớn nhất
Cho tập A khác rỗng,
X là tập con của A.
Phần tử a ∈ X là phần tử nhỏ nhất của X nếu ∀x ∈ X, a ≤ x
Phần tử a ∈ X là phần tử lớn nhất của X nếu ∀x ∈ X, x ≤ a

2. Phần tử chặn trên, chặn dưới
Cho tập A khác rỗng,
X là tập con của A.
Phần tử c ∈ A là phần tử chặn trên của X nếu ∀x ∈ X, x ≤ c
Phần tử c ∈ A là phần tử chặn dưới của X nếu ∀x ∈ X, c ≤ x
Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường
Pt nhỏ nhất của X là 2, pt lớn nhất là 4
Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …
Pt chặn dưới: 0, 1, 2


3.

Phần tử cận trên, cận dưới
Cho tập A khác rỗng,
X là tập con của A.
Phần tử cận trên của X là phần tử nhỏ nhất của tập các chặn trên của X. Ký
hiệu sup X

Phần tử cận dưới của X là phần tử lớn nhất của tập các chặn dưới của X. Ký
hiệu inf X
Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường
Pt nhỏ nhất của X là 2, pt lớn nhất là 4
Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …Pt chặn dưới: 0, 1, 2
Sup X = 4, inf X = 2
Vi du: Trên tập số thực R, xét X = (1,2) ⊆ R
Pt nhỏ nhất của X: khơng có, pt lớn nhất: khơng có
Pt chặn chặn trên của X: gồm các pt ≥ 2
Pt chặn chặn dưới của X: gồm các pt ≤ 1
Sup X = 2, inf X = 1


Ví dụ: Trên tập số thực R, xét X = (1,2] ⊆ R
Pt nhỏ nhất của X: khơng có, pt lớn nhất: 2
Pt chặn chặn trên xủa X: gồm các pt ≥ 2
Pt chặn chặn dưới xủa X: gồm các pt ≤ 1
Sup X = 2, inf X = 1

Trang 9


4. Phần tử tối đại, tối tiểu
Cho tập A khác rỗng,
X là tập con của A.
Phần tử m ∈ X là phần tử tối đại của tập X nếu:
∀ x ∈ X, nếu m ≤ x thì m = x
Phần tử m ∈ X là phần tử tối tiểu của tập X nếu:
∀ x ∈ X, nếu x ≤ m thì x = m
Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường Pt nhỏ nhất

của X là 2, pt lớn nhất là 4
Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …Pt chặn dưới: 0, 1, 2
Sup X = 4, inf X = 2
Phần tử tối đại của X: 4, Phần tử tối tiểu X: 2


Ví dụ: Trên tập số thực R, xét X = (1,2) ⊆ R
Pt nhỏ nhất của X: khơng có, pt lớn nhất: khơng có
Pt chặn chặn trên xủa X: gồm các pt ≥ 2
Pt chặn chặn dưới xủa X: gồm các pt ≤ 1
Sup X = 2, inf X = 1
Pt tối đại: khơng có, Pt
tối tiểu : khơng có,


Ví dụ:
Trên N*, xét tập X = {2,3,5,6,9} theo quan hệ chia hết “|” Tìm các pt đặc
biệt của X:
Pt nhỏ nhất của X: khơng có, Pt lớn nhất: khơng có
Pt chặn trên của X: bội số của BCNN {2,3,5,6,9} = 90, 180,…
Pt chặn dưới : 1
Sup X = 90, inf X = 1 Tối
đại: 5, 6, 9
Tối tiểu: 2, 3, 5


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS.TS TRƯƠNG CÔNG TUẤN. CƠ SỞ TỐN CHO TIN HỌC
2. PHẠM PHÚC THỊNH. GIÁO TRÌNH TỐN ỨNG DỤNG TIN HỌC