ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2013 docx

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012

A.Lí Thuyết :
− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
.
.
u u
c
u u


uur uur
uur uur
os
trong đó
1 2
,
u u
uur uur
lần
lượt là hai VTCP của hai đường thẳng
− Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
.
sin
.
n u
u u

 
r r
r r
trong đó
,
n u
r r
lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng
− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
.
.
n n
c
n n


uur uur
uur uur
os
trong đó
1 2
,
n n
uur uur
lần
lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng
− Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
( ; ; ); ( ; ; )

A A A B B B
A x y z B x y z


     
2 2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z

− Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
;y
0
z
0
) đến mặt phẳng () có phương trình
Ax+by+Cz+D=0 là:
 
0 0 0
0
2 2 2
Ax +By +Cz +D
d M ,(α) =
A +B +C

− Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng  đi qua M

0
và có vectơ chỉ
phương
u
ur
là:
1
d(M ,Δ)=
M M ,u
0 1
u
 
 
 
uuuuuuuur
ur
ur

− Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm M
0
, có
vectơ chỉ phương
u
r
và đường thẳng ’ đi qua điểm
'
0
M
, có vectơ chỉ phương
u'

ur

là:
'
0 0
u,u' .M M
d( ,Δ')=
u,u'
 
 

 
 
uuuuuur
r ur
r ur

− Công thức tính diện tích hình bình hành :
ABCD
S = AB,AD
 
 
uuur uuur

− Công thức tính diện tích tam giác :
ABC
1
S = AB,AC
2
 

 
uuur uuur

− Công thức tính thể tích hình hộp :
ABCD.A'B'C'D'
V = AB,AD .AA'
 
 
uuur uuur uuur

− Công thức tính thể tích tứ diện :
ABCD
1
V = AB,AC .AD
6
 
 
uuur uuur uuur

Chú ý :
Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện :
0 ,
2


  

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

B.VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
 
:
1 1 1
x y z
d
 
và hai điểm


0;0;3
A
,


0;3;3
B
.
Tìm tọa độ điểm


M d

sao cho:
1)
MA MB


nhỏ nhất.
2)
2 2
2
MA MB

nhỏ nhất.
3)
3
MA MB

uuur uuur
nhỏ nhất.
4)
MA MB

lớn nhất.
Hướng dẫn:
1) Chuyển p/trình của


d
sang dạng tham số
 
:
x t
d y t
z t










Gọi tọa độ của


M d

có dạng


; ;
M t t t
,
t

¡
.
Ta có
           
2 2 2 2 2 2
0 0 3 0 3 3
P MA MB t t t t t t
             

2 2
3 6 9 3 12 18
P t t t t
     


2 2
3 2 3 4 6
t t t t
     

   
2 2
3 1 2 2 2
P t t
 
     
 
 

 
 
 
 
2 2
2 2
3 1 0 2 2 0 2P t t
 
       
 

 

Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm


;0
N t Ox

;




1; 2 ; 2; 2
H K

Gọi


1; 2
H


là điểm đối xứng của điểm


1; 2
H
qua trục Ox.
 Ta có



3
P NH NK
 
=


3
NH NK


3
H K


.
Dấu “=” xảy ra
, ,
H N K


thẳng hàng
N H K Ox

  
.
Đường thẳng
H K


có vecto chỉ phương


1;2 2
H K


uuuur
nên có vecto pháp
tuyến


2 2; 1
n
 
r
và đi qua


1; 2
H


nên có phương trình tổng quát




2 2 1 1 2 0 2 2 3 2 0
x y x y

       
.
Tọa độ giao điểm
N
của đường thẳng
H K

và trục Ox là nghiệm của hệ
3
2 2 3 2 0
2
0
0
x
x y
y
y



  
 

 







. Vậy
3
;0
2
N
 

 
 
.
Vậy
 
2
2
min 3 3. 1 2 2 3 3
P H K

   
.
Đạt được khi
 
3 3
;0 ;0
2 2
N t N t
 
  
 
 
.

Suy ra
MA MB

nhỏ nhất bằng
3 3
khi
3 3 3
; ;
2 2 2
M
 
 
 

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Cách 2:
 Làm như cách 1, đến đoạn
   
2 2
3 1 2 2 2
P t t
 
     
 
 
.
Xét hàm số
     
2 2

1 2 2 2
f t t t
     

Ta có
 
   
2 2
1 2
1 2 2 2
t t
f t
t t
 

 
   

 
   
2 2
1 2
0
1 2 2 2
t t
f t
t t
 

   

   
 


 
2 2
2
1
1 2
2 2
t
t
t
t
 

 
 
   
 
(*)
 Xét hàm số
 
2
2
u
g u
u



,
Ta có
 
 
2
2
2 3
2
1 2
2 . . 0
2
2
2
u
g u u u
u
u
u
 

    
 
 


 

nên hàm số g đồng
biến trên
¡

.
 Do đó từ (*) ta có
   
3
1 2 1 2
2
g t g t t t t
           
 

Bảng biến thiên của hàm số f :
t



3
2






f t





0






f t




3




Từ bảng biến thiên suy ra
 
3
min 3
2
f t f
 
 
 
 
.
Vậy


min 3 3

MA MB 
đạt được tại
3
2
t

, tức là
3 3 3
; ;
2 2 2
M
 
 
 
.
Cách 3:
Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’
Bước 2 : Tính AH và BH’
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn
'
'
AH
MH MH
BH
 
uuuur uuuuur
=>ycbt

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

2). Làm tương tự câu 1), ta tính được


2 2 2 2
2 3 6 9 2 3 12 18
Q MA MB t t t t       
2
9 30 45
t t
  
.
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số
9 0
a
 
nên đạt giá trị nhỏ nhất
khi
30 5
2.9 3
t

  
. Tức là

5 5 5
; ;
2 2 2
M
 
 
 
.
Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số


2
9 30 45
f t t t
  
để tìm giá trị hỏ nhất.
3). Theo câu 1) , gọi


; ;
M t t t
.
Ta có


; ;3
MA t t t
   
uuur
,



;3 ;3
MB t t t
   
uuur
.
Suy ra








2 2 ; 2 3 ;3 2 3
MA MB t t t t t t
          
uuur uuur


; 6; 3
t t t
  
.
   
2 2
2 2
2 6 3 3 18 45

MA MB t t t t t
         
uuur uuur

 
2
2 3 3 18 18 3 2
MA MB t      
uuur uuur
.
Dấu “=” xảy ra
3 0 3
t t
    
hay


3;3;3
M
.
Vậy
min 2 3 2
MA MB 
uuur uuur
đạt được tại


3;3;3
M
.

Nhận xét: nếu không phân tích được
 
2
2 3 3 18
MA MB t
   
uuur uuur
thì có thể
khảo sát hàm số
 
2
3 18 45
f t t t
  
để tìm giá trị nhỏ nhất.
4). Tương tự câu 1), ta tính được


2 2
3 2 3 4 6
MA MB t t t t
      

   
2 2
3 1 2 2 2
MA MB t t
 
      
 

 

Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm


;0
N t Ox

;




1; 2 ; 2; 2
H K
.
Khi đó
3
MA MB NH NK
  

Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.
Suy ra
3 3
MA MB NH NK HK
   
.
Bài toán này vô nghiệm vì
||
KH Ox

.

Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1  Hàm số không có GTLN.


Ví dụ 2: Cho mặt phẳng


: 4 0
P x y z
   
. Tìm điểm


M P

sao cho:
1).
MA MB

nhỏ nhất, biết


1;0;0
A
,


1;2;0
B

.
2).
MA MB

lớn nhất, biết


1;2;1
A
,


0;1;2
B
.
3).
2 2
3
MA MB

nhỏ nhất, biết


1;2;1
A
,


0;1;2
B

.
4).
2 2 2
3 2
MA MB MC
 
nhỏ nhất, biết


1;2;1
A
,


0;1;2
B
,


0;0;3
C
.
5).
3 4
MA MB MC
 
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất, biết



1;2;1
A
,


0;1;2
B
,


0;0;3
C
.
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Hướng dẫn :
1). Cách giải
 Xét vị trí tương đối của A, B so với (P).
Đặt


; ; 4
f x y z x y z
   
.
Thay tọa độ của A, B vào và tính





; ; . ; ;
A A A B B B
f x y z f x y z
.
- Nếu




; ; . ; ; 0
A A A B B B
f x y z f x y z

thì A, B ở hai phần không gian khác nhau
ngăn cách bởi (P).
- Nếu




; ; . ; ; 0
A A A B B B
f x y z f x y z

thì A, B ở cùng phía so với (P).
 Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với


M P


tùy ý ta có
MA MB AB
 
. Suy ra


min
MA MB AB
 
đạt được khi


M AB P
 
.
- Viết p/trình đường thẳng AB.
- Tìm giao điểm M của


AB P

. (Giải hệ p/trình của AB và (P))
- Kết luận.
 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm
A

đối xứng với A qua (P).
Khi đó
MA MA MA MB MA MB A B
  

     



min
MA MB A B

  
đạt được khi


M A B P

 

 Tính tọa độ
A

:
- Viết phương trình đường thẳng


d
qua
A
và





d P


- Giải hệ






;
d P
tìm được tọa độ của




H d P
 
là hình chiếu vuông góc
của A trên (P).
-
H
là trung điểm của
A A

. Biết tọa độ của
,
A H
suy ra tọa độ của

A

.
 Viết p/trình đường thẳng
A B

.
 Giải hệ




;
A B P

tìm được tọa độ của


M A B P

 
.


2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.
 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì
MA MB AB
 

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm

A

đối xứng với A qua (P).
Khi đó
MA MA MA MB MA MB A B
  
     

Cách làm mỗi trường hợp như câu 1.
3). Xét điểm I tùy ý, ta có


2
2 2 2
2
2 .
MA MA MI IA MI IA MI IA
     
uuur uuur uur uuur uur uuur uur



2
2 2 2
2
2 .
MB MB MI IB MI IB MI IB
     
uuur uuur uur uuur uur uuur uur

A

B

M


A’

B

M


A

H

Tr.Hợp 1

Tr.Hợp 2

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Suy ra


2 2 2 2
2 2
2 2 . 2 2 .

MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB
      
uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur



2 2 2
2 2
2 3 2 2 2
MA MB MI IA IB MI IA IB
      
uuur uur uur uuur uur uur



2 2 2 2 2
2 3 2 2 2
MA MB MI IA IB MI IA IB
      
uuur uur uur

Giả sử
2 0 2
IA IB IA IB
    
uur uur r uur uur
, ta có tọa độ của I là:
2 1 2.0 1
1 2 3 3
2 2 2.1 4

1 2 3 3
2 1 2.2 5
1 2 3 3
A B
A B
A B
x x
x
y y
I y
z z
z
 

  



 

  



 

  




. Hay
1 4 5
; ;
3 3 3
I
 
 
 

Vậy, với
1 4 5
; ;
3 3 3
I
 
 
 
, ta có
2 0
IA IB
 
uur uur r
nên
2 2 2 2 2
2 3 2
MA MB MI IA IB
   
.
Do I cố định nên
2 2

,
IA IB
không đổi. Vậy
2 2
2
MA MB

nhỏ nhất
2
MI

nhỏ
nhất
MI

nhỏ nhất
M

là hình chiếu của I trên (P).
 Đường thẳng


d
qua
1 4 5
; ;
3 3 3
I
 
 

 
và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến


1;1;1
n 
r
của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình
 
1
3
4
:
3
5
3
x t
d y t
z t

 


 


 



- Tọa độ giao điểm H của




d P

là:
5 14 17
; ;
9 9 9
H
 
 
 
.
- H là hình chiếu của I trên (P).
 Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên
M H


Kết luận:
2 2
2
MA MB

nhỏ nhất khi
5 14 17
; ;
9 9 9

M
 
 
 

4). Làm tương tự câu 3)
5). Cần rút gọn tổng
3 4
MA MB MC
 
uuur uuur uuuur
thành một vecto
MH
uuuur
.
Khi đó
3 4
MA MB MC MH MH
   
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất
M

là hình chiếu của H trên
(P).
Làm như câu 3).
Bằng cách phân tích





3 4 3 4
MA MB MC MI IA MI IB MI IC
       
uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur

8 3 4
MI IA IB IC
   
uuur uur uur uur

Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm
I
sao cho
3 4 0
IA IB IC
  
uur uur uur r
rồi làm tiếp theo
hướng dẫn trên.
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Chú ý:
 
1
3 4 0 3 4
8
IA IB IC OI OA OB OC
      
uur uur uur r uur uuur uuur uuur

Suy ra tọa độ của I là
 
 
 
1
3 4
8
1
3 4
8
1
3 4
8
I A B C
I A B C
I A B C
x x x x
y y y y
z z z z

  



  



  



.

Ví dụ 3:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
 
. Lập phương trình
mặt phẳng (

) chứa d sao cho khoảng cách từ
(2;5;3)
A
tới (

) là lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mặt phẳng (

) chứa d có VTPT :
2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
  
r

có
dạng :

( 1) ( 2) 0
A x By C z
    

Ta có :
( ) . 0 2 2
d
d u n B A C


      
uur uur

=>
2
2 2
2 2
9
( )
( ,( )) 9.
5 8 5
5 8 5
A C
A C
d A
A AB C
A AB C




 
 
 

− TH1: Nếu C = 0

9
( ,( ))
5
d A



− TH1: Nếu C
0

,Đặt
A
t
C



2
2
( 1)
( ,( )) 9. 9 ( )

5 8 5
t
d A f t
t t


 
 

Xét hàm số
2
2
( 1)
( )
5 8 5
t
f t
t t


 
=>
'( ) 0 1
f t t
   
;
2
( 1) 0; (1)
9
f f

  


1
lim ( )
5
t
f t



Lập bảng biến thiên =>
2
( )
5
M f t

ax
tại t =1 . Vậy
3 2
M

axd(A,( ))
khi
1
A
C


So sánh TH1 và TH2 : ycbt <=>A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần

tìm là : x - 4y + z – 3 = 0
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (

) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (

)
là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này


GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Ví dụ 4: Cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
 
 

và
'
2 1
:
2 1 2
x y z
d

 
 

,
(Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất
2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mặt phẳng (

) chứa d có VTPT :
2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
  
r
có
dạng :

( 1) ( 2) 0
A x B y Cz
    

Ta có :
( ) . 0 2
d
d u n C A B


     

uur uur

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là
,(0 )
2

 
 

=>
2
2 2
2 2
2
( 2 )
( ) 9.
2 4 5
2 4 5
A B
A B
c
A AB B
A AB B



 
 
 
os

− TH1: Nếu B = 0

2
( )
2
c

os
(1)
− TH2: Nếu B
0

,Đặt
A
t
B



2
2
( 2)
( )
2 4 5
t
c
t t




 
os

Xét hàm số
2
2
( 2)
( )
2 4 5
t
f t
t t


 

=>
5
( )
6
M f t

ax
tại t =1 hay
1
2
A
B


. Vậy
0;
2
30
6
M


 
 
 
ax cos
(2)
So sánh TH1 và TH2 =>
min
30
6
 
 cos
với
1
2
A
B


=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z + 3 = 0
2) Phương trình mặt phẳng (

) chứa d có VTPT :

2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
  
r
có
dạng :

( 1) ( 2) 0
A x B y Cz
    

Ta có :
( ) . 0 2
d
d u n C A B


     
uur uur

Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là :
,(0 )
2

   

=>
2
2 2

2 2
4 3
1 (4 3 )
sin( ) .
3
2 4 5
3. 2 4 5
A B
A B
A AB B
A AB B


  
 
 

− TH1: Nếu B = 0

2 2
( )
3
 sin
(1)
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

− TH2: Nếu B
0

,Đặt

A
t
B



2
2
1 (4 3)
( ) .
3
2 4 5
t
t t

 
 
sin

Xét hàm số
2
2
(4 3)
( )
2 4 5
t
f t
t t



 

=>
25
( )
7
M f t ax
tại t =-7 hay
7
A
B
 
. Vậy
0;
2
5 3
sin
9
M


 
 
 
ax

So sánh TH1 và TH2 =>
m
5 3
9

   
ax
sin
với
7
A
B
 

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (

) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng
hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 5: Cho mặt phẳng
( ) : 3 1 0
P x y z
   
. Và các điểm
(1;0;0)
A
;
(0; 2;3)
B

.
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng

lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thẳng d là:
2 2 2
( ; ; ), 0
u a b c a b c
  
r


( ) . 0 2
d P
d P u n c a b
     
uur uur


( 1;2; 3)
AB
 
uuur
;
, ( 2 7 ;2 2 ;2 )
d
u AB a b a b a b
 
    
 
uur uuur

=>
2 2
2 2
,
12 24 54
( , )
2 4 5
d
d
u AB
a ab b
d B d
a ab b
u
 
 
 
 
 
uur uuur
uur

− TH1: Nếu b = 0

( , ) 6
d B d 

− TH2: Nếu b
0


,Đặt
a
t
b



2
2
12 24 54
( , ) ( )
2 4 5
t t
d B d f t
t t
 
 
 
;Xét hàm số
2
2
12 24 54
( )
2 4 5
t t
f t
t t
 

 

=>
6 ( , ) 14
d B d 

So sánh TH1 và TH2 =>
6 ( , ) 14
d B d 

+)
( ( , )) 6 0
Min d B d b
  
chọn a =1 => c= 1
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
0
x t
y
z t
 








+)

( ( , )) 14
M d B d a b
   
ax
chọn b = -1 => a =1 , c =-1
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
x t
y t
z t
  








Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một
khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt
phẳng
( ) : 2 3 0
Q x y z

   
,đồng thời d tạo với đường thẳng
'
1 1
:
1 2 2
x y z
d
 
 


một góc lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thẳng d là:
2 2 2
( ; ; ), 0
u a b c a b c
  
r


/ /( ) . 0 2
d Q
d P u n c a b
    
uur uur
;
'
(1; 2;2)

d
u 
uur

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là
,(0 )
2

 
 

=>
2
2 2
2 2
5 4
1 (5 4 )
( ) .
3
5 4 2
3 5 4 2
a b
a b
c
a ab b
a ab b



 

 
 
os

− TH1: Nếu b = 0

1
( ) . 5
3
c

os

− TH2: Nếu b
0

,Đặt
a
t
b



2
2
1 (5 4) 1
( ) . . ( )
3 3
5 4 2
t

c f t
t t


 
 
os
;Xét hàm số
2
2
(5 4)
( )
5 4 2
t
f t
t t


 

=>
5 3
0 ( )
9
c

 os

So sánh TH1 và TH2 =>
5 3

0 ( )
9
c

 os

+)
( ( )) 0
Min c


os
=>
0
4
90
5
m
a
b

  
ax

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1 2
4 5 3
x y z
  
 

+)
5 3
( ( ))
9
M c

ax os
=>
min
1
5
a
b

  

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1 2
1 5 7
x y z
  
 


Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

+) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng

( )
Q
,đồng thời d tạo với đường thẳng
'
d
một góc thỏa mãn một điều kiện nào
đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua
(0; 1;2)
A

và cắt đường thẳng
'
1 2
:
2 1 1
x y z
d
 
 

sao cho
1) Khoảng cách từ
(2;1;1)
B
là lớn nhất , nhỏ nhất
2) Khoảng cách giữ d va
1 2
:

2 1 1
x y z
 
  

là lớn nhất
Hướng dẫn :
1)
' ( 1 2 ; ;2 ),
d d M M t t t t R
      

=> VTCP của d :
(2 1; 1; )
d
u AM t t t
   
uur uuuur


(2;2; 1)
AB

uuur
;
; (1 ;1;4 2 )
d
AB u t t
 
  

 
uuur uur

=>
2
2
,
12 18 18
( , ) ( )
6 2 2
d
d
AB u
t t
d B d f t
t t
u
 
 
 
  
 
uuur uur
uur

Xét hàm số
2
2
12 24 54
( )

2 4 5
t t
f t
t t
 

 
=>
1
( ) (0) 18; ( ) (2)
11
M t f Min t f
   
axf f

=>
1
( , ) 18
11
d B d 

+)
1
( ( , )) 2
11
Min d B d t
  

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
3

1 3
2 2
x t
y t
z t



  


 


+)
( ( , )) 18 0
M d B d t
  
ax

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
2
x t
y t
z t
 


  



 


2)
' ( 1 2 ; ;2 ),
d d M M t t t t R
      

=> VTCP của d :
(2 1; 1; )
d
u AM t t t
   
uur uuuur

Từ phương trình

=>
(2; 2;1)
u

 
uur
và
(5;0;0)N
  

(5;1; 2)
AN

uuur
;
; ( 1;4 1;6 )
d
u u t t t

 
  
 
uur uur

=>
2
2
, .
(2 )
( , ) 3. 3. ( )
53 10 2
,
d
d
u u AN
t
d d f t
t t
u u



 

 
   
 
 
 
uur uur uuur
uur uur

Xét hàm số
2
2
(2 )
( )
53 10 2
t
f t
t t


 
=>
4 26
( ) ( )
37 9
M t f axf

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

=>
( ( , )) 26
m d d ax

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
29
1 41
2 4
x t
y t
z t



  


 



Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng
'
1 2 2
:

2 1 1
x y z
d
  
 

sao cho góc giữa đường thẳng d và

3 2 3
:
1 2 2
x y z
  
  

là lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :

' (1 2 ;2 ; 2 ),
d d M M t t t t R
       

=> VTCP của d :
(2 2; 2; 1 )
d
u AM t t t
    
uur uuuur

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là

,(0 )
2

 
 

=>
2
2
2 2
( ) . . ( )
3 3
6 14 9
t
c f t
t t


 
os

Xét hàm số
2
2
( )
6 14 9
t
f t
t t


 

=>
9 9
( ) ( )
7 5
M t f
  
axf
;
( ) (0) 0
Min t f
 
f

+)
( ( )) 0
Min c


os
=>
0
90 0
m
t

  
ax

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1
2 2 1
x y z
 
 


+)
2 5
( ( ))
5
M c

ax os
=>
min
9
7
t

  

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1
4 5 2
x y z
 
 

Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho
trước
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này





GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

C.Bài Tập
Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và
các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt
phẳng (α) sao cho MA
2

+ MB
2

− MC
2

nhỏ nhất
ĐS : M (
2
3
;
1

3
;
2
3
)
Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0
và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α)
sao cho

| |
MA−MB
lớn nhất
ĐS : M ( −
31
7
; −
5
7
;
31
7
)
Bài 3 : Cho đường thẳng

:



x+y−z−1=0
2x−y−1=0

và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng

để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ
nhất
ĐS : M (
1
6
; −
2
3
; −
3
2
)
Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) . Viết
phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất
ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0
Bài 5 : Cho đường thăng

:



x+y+z−1=0
x−y+z−1=0
và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0)
Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng

, viết phương trình

đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ?
ĐS : Lớn nhất :



x+1=0
y+z−2=0
; nhỏ nhất :



x+2y−3=0
y−z−2=0

Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại
M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất
ĐS :
x
3
+
y
6
+
z
12
=1
Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho

1
OA
2

+
1
OB
2

+
1
OC
2

nhỏ nhất
ĐS : x + 2y + 3z − 14 = 0
Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại
A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất
ĐS :
x
2+
6+ 10
+
y
5+ 10+ 15
+
z
3+ 6+ 15
= 1

Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x-y+2z = 0 và các điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2),
C(1;-2;1)
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Tìm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho
a) MA+MB nhỏ nhất
b)
| |
MA-MC
lớn nhất
c) MA
2

- MB
2

- MC
2

lớn nhất
d)




MA+


MB+


MC


nhỏ nhất
ĐS : a) M(
13
5
; 1 ; −
4
5
)
b) M(
7
2
;
11
2
; 1)
c) M(2 ; −2 ;−2)
d) M(
5
3
;
1
3
; −
2
3
)

Bài 10 : Cho các đường thẳng



1
:
x−1
2
=
y+1
1
=
z−1
1




2
:



x+2y−z+1=0
x−y+z+1=0

Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng


1

, viết
phương trình đường thẳng

sao cho khoảng cách giữa

và


2
là lớn nhất
ĐS :
x−2
41
=
y+1
68
=
z−2
−27

Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;−1 ; 0) và song song với đường thẳng
d :
x+1
1
=
y−2
1
=
z+1
−1

Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất
ĐS : x+y+2z−1=0
Bài 12 : Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; 1 ; −1) và vuông góc với mặt phẳng
(β) : 2x−y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thẳng Oy một góc lớn nhất
ĐS : x +
5
2
y +
1
2
z −3 = 0
Bài 13 : Cho mặt phẳng (α) : x+y−z+1=0 và đường thẳng
d :



x+y+z−3=0
2x−y+z−2=0

Trong các đường thẳng đi qua A(1; −1 ; 2) và song song với mặt phẳng (α) viết
phương trình đường thẳng

sao cho khoảng cách giữa

và d là lớn nhất
ĐS :
1
1
2

x
y t
z t



  


 


Bài 14 : Cho đường thẳng d :
x−1
1
=
y+1
2
=
z−1
−1
và hai điểm A (2 ; 1 ; −1) và
B(3 ; −2 ; 1) . Trong các đường thẳng đi qua B và cắt d , viết phương trình các
đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất
GV: Ngụ Quang Nghip BT3

S : Ln nht :
x3
19
=

y+2
3
=
z1
5
; Nh nht :
x3
5
=
y+2
20
=
z1
7

Bi 15 : Cho ng thng

:



x+yz1=0
2xyz=0
v hai im A(2 ;1 ; 1) v B(1;2;0)
Tỡm M thuc

sao cho MA
2

+ MB

2

nh nht
S : M(
5
7
;
6
7
;
4
7
)
Bi 17: (THTT 2009)
Cho ng thng

1 2
:
1 1 2
x y z
d



;

1
1 1 1
:
2 1 1

x y z
d



v hai im A(1 ; 4 ; 2) B(1 ; 2 ; 4)
a) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d sao cho khong
cỏch t A ti (P) l ln nht
b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d v to vi mt
phng
(xOy) mt gúc nh nht
c) Vit phng trỡnh mt phng (R) cha ng thng d v to vi trc Oy
gúc
ln nht
d) Trong cỏc ng thng i qua A v ct ng thng d , vit phng trỡnh
cỏc ng thng sao cho khong cỏch t B ti nú l ln nht , nh nht
e) Trong cỏc ng thng i qua A(2 ; 1 ; 2) v ct ng thng d , vit
phng trỡnh ng thng sao cho khong cỏch gia nú v d

1
l ln nht
S :
a) 5x + 13y 4z + 21 = 0
b) x y + z 3 = 0
c) x + 5y z + 9 = 0
d) Ln nht :
1 4 2
1 4 3
x y z

Nh nht :
1 4 2
15 18 19
x y z



Bi 18: (THTT 2009)
Cho ng thng

3 0
:
2 4 0
x y z
d
x y z





Vit phng trỡnh mt phng (P) cha
ng thng d v to vi mt phng (xOy) mt gúc bng 60
0


S :
a)

2 2 2 0
x y z

v
2 2 2 0
x y z


Bi 19: (THTT 2009)
Cho ng thng

: 1 2
2
x t
d y t
z t








Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua
ng thng d v to vi mt phng (P) :
2 2 0
x y z

mt gúc nh nht

S :
3 0
x y z


Bi 20: (H - B2009)
Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho mt phng
(P): x 2y + 2z - 5 = 0 v hai im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng
GV: Ngơ Quang Nghiệp BT3

thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
ĐS :
3 1
26 11 2
x y z
 
 


Bài 21: (ĐH - B2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
Δ:
2
1
1
2
zyx




. Xác định tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho khoảng cách từ
M đến Δ bằng OM.
ĐS :
( 1;0;0); (2;0;0)
M M


Bài 22: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
1 2
1 1 2
x y z
 
 

và hai
điểm
(1;4;2); ( 1;2;4)
A B

. Xác định tọa độ điểm M thuộc

sao cho
a) MA
2

+ MB
2

nhỏ nhất
b)

3 2 4
OM AM BM
 
uuuur uuuur
nhỏ nhất
c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất
ĐS : a)
( 1;0;4)
M


b)
5 7
( ; ;3)
2 2
M 

c)
12 5 38
( ; ; )
7 7 7
M


Bài 23: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
2 1
1 1 1
x y z
 
 


và
các điểm
(1;0;0); (0;1;1); (0;0;2)
A B C
. Xác định tọa độ điểm M thuộc

sao cho
Góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng
0
30

ĐS :
(0; 2;1)
M


Bài 24: (ĐH - A2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P): x – 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
    
     

. Xác định toạ độ điểmM thuộc 
1

sao
cho khoảng cách từ M đến 
2
và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau.
ĐS :
18 53 3
(0;1; 3); ( ; ; )
35 35 35
M M

Bài 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
(0;0;0); (3;0;0)
O A

(1;2;1); (2; 1;2)
B C


a) Lập phương trình mặt thẳng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện tích
tam giác ABM bằng
9
2

b) Lập phương trình mặt thẳng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể tích
hối tứ diện ABCN bằng 12
ĐS : a)
2 2 3 0
x y z
   

b)
19 3 18 57 0
x y z
   

(file word tải tại đây : nghiepbt3.violet.vn)
Ngày : 20-03-2012 _________nghiepbt3________