ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN KHỐI A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ppt

WWW.VNMATH.COM
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Khối A
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
( )
Cxxy 43
23
+−=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao
cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
21 1

21 1
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Câu III. (1 điểm) Giải phương trình:
3 2
3
3 5 8 36 53 25x x x x− = − + −
Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30
0
. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Câu V. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
3xy yz zx+ + =
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 4 3
2xyz x y y z z x
+ ≥
+ + +
Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa.(2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD. Điểm
1
0;
3
M
 
 ÷
 
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có
hoành độ dương.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình chính tắc
( )
2 2
: 1
25 9
x y
E + =
.
Viết phương trình đường thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4.
CâuVIIa. (1 điểm) Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x= − + +
, biết
rằng

2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb.(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng
các đường thẳng AB, BD lần lượt có phương trình là
3 4 1 0x y+ + =
và
2 3 0x y− − =
. Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, C, D.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một
đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là
( )
12 2 3+
Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013
n n
n n n n n

C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
………………… Hết………………….
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI A
WWW.VNMATH.COM
Câu Nội dung Điểm
I.1
( )
Cxxy 43
23
+−=
+ Tập xác định: D =
¡
+ Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0.25
+ Đaọ hàm
2
0
' 3 6 ; ' 0
2

x
y x x y
x
=

= − = ⇔

=

BBT:
x -
∞
0 2 +
∞
y’ + - +
y
-
∞
4
0
+
∞
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
;0 , 2;−∞ +∞
, nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,

4
CD
y =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2,
0
CT
y =
0.25
+ Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) và nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng
0.25
I.2
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là:
( )
2−= xky
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
( )
432
23
+−=− xxxk
( )
( )
( )



=−−−=
==
⇔=−−−−⇔
02
2

022
2
2
kxxxg
xx
kxxx
A
0.25
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
( )
0=⇔ xgpt
có hai nghiệm phân biệt
khác 2
( )
(*)0
4
9
02
0
≠<−⇔



≠
>∆
⇔ k
g
0.25
+ Theo định lí viet ta có:




−−=
=+
2.
1
kxx
xx
NM
NM
+ Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau
( ) ( )
1'.' −=⇔
NM
xyxy
0.5
WWW.VNMATH.COM
( )( )
3
223
0118916363
222
±−
=⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx
NNMM
(thỏa(*))
II.1
( ) ( )
2 cos sin 2 cos sin
1 1

sin cos 2 cos cos cos sin
1
cos sin 2 sin cos .sin 2 sin
x x x x
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ =
−
+ −
0.25
Điều kiện:
sin 2 0
2
cos sin 0
4
k
x
x
x x
x k
π
π
π

≠

≠



⇔
 
− ≠


≠ +


0.25
Khi đó pt
( )
2
sin 2 2 sin cos 2
2 4
x x x x k k
π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈¢
0.25
Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈¢
0.25
II.2

( )
( )
2 2
2 2
21 1 1
21 1 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Điều kiện:
1
1
x
y
≥


≥

Trừ hai vế của pt (1) và (2) cho nhau ta được:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )

2 2 2 2
2 2
2 2
21 21 1 1
0
1 1
21 21
1
0
1 1
21 21
x y y x y x
x y x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
+ − + = − − − + −
− +
−
⇔ + + − + =
− + −
+ + +
 
+

 ÷
⇔ − + + + =
 ÷
− + −
+ + +
 
⇔ =
0.5
Thay x = y vào pt (1) ta được:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
2
21 1 21 5 1 1 4
4 2
2 2
1 1
21 5
1 1
2 2 1 0 2
1 1
21 5
x x x x x x
x x
x x
x
x
x x x

x
x
+ = − + ⇔ + − = − − + −
− −
⇔ = + + −
− +
+ +
 
 
⇔ − + + − = ⇔ =
 
 ÷
− +
+ +
 
 
 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
0.5
III
( ) ( )
3
3
3 5 2 3 2 *pt x x x⇔ − = − − +
Đặt
( )
3
3
2 3 3 5 2 3 3 5y x y x− = − ⇔ − = −
Ta có hệ phương trình:

( ) ( )
( )
3
3
2 3 2 5 **
2 3 3 5
x y x
y x

− = + −


− = −


0.5
Trừ vế với vế hai phương trình của hê ta đươc:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0
x y x x y y x y
x y x x y y
x y
 
− − + − − + − = − −
 
 

⇔ − − + − − + − + =
 
⇔ =
0.5
WWW.VNMATH.COM
Thay x=y vào (**) ta được:
( )
3
3 2
1 2 3
2 3 3 5 8 36 51 22 0
5 3 5 3
2, ,
4 4
x x x x x
x x x
− = − ⇔ − + − =
+ −
⇔ = = =
IV
Vì
( )
CB AB
CB SAB
CB SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒

⊥


SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)
( )
·
(
)
·
( )
·
0
, , 30SC SAB SC SB CSB⇒ = = =
0
.cot30 3 2SB BC a SA a⇒ = = ⇒ =
0.25
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
3
2
.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a dvtt= = =
0.25
+ Từ C dựng CI // DE
2
a
CE DI⇒ = =
và

( )
/ /DE SCI

( ) ( )
( )
, ,d DE SC d DE CSI⇒ =
Từ A kẻ
AK CI
⊥
cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có:
( ) ( ) ( )
SA CI
CI SAK SCI SAK
AK CI
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

theo giao tuyến SK
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ
( )
HT AK HT SCI⊥ ⇒ ⊥
( ) ( )
( )
, ,d DE SC d H SCI HT⇒ = =
0.25
+ Ta có:

2
2
3
.
1 1 . 3
2
. .
2 2
5
2
ACI
a a
CD AI a
S AK CI CD AI AK
CI
a
a
= = ⇒ = = =
 
+
 ÷
 
Kẻ KM//AD
1 1
( )
2 3
5
HK KM a
M ED HK AK
HA AD

∈ ⇒ = = ⇒ = =
Lại c ó:
·
2
2
2.
. 38
5
sin
19
9
2
5
a
a
SA HT SA HK
SKA HT
SK HK SK
a
a
= = ⇒ = = =
+
Vậy
( )
38
,
19
d ED SC =
0.25
V

Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương
( ) ( ) ( )
1 1 4
, ,
2 2xyz xyz x y y z z x+ + +
ta được:
0.25
WWW.VNMATH.COM
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
1 4 1 1 4
2 2
3
xyz x y y z z x xyz xyz x y y z z x
x y z x y y z z x
+ = + +
+ + + + + +
≥
+ + +
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy+ + + = + + +
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương xy, yz, zx:
( )
3
2 2 2
. . 1 1 1 1

3
xy yz zx
xy yz zx x y z xyz
+ +
 
≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤
 ÷
 
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương
, ,zx yz xy zx yz xy
+ + +
:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
8 2
3
zx yz xy zx yz xy
zx yz xy zx yz xy
 
+ + + + +
+ + + ≤ =
 
 
0.5
Từ (1) và (2) suy ra:
( ) ( ) ( )
2 2 2
8x y z x y y z z x+ + + ≤

Vậy
( ) ( ) ( )
3
1 4 3 3
2
8
xyz x y y z z x
+ ≥ =
+ + +
.
0.25
VIa1
Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I
( )
' 4; 5N⇒ −
0.25
Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến AB là:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ −
= =
+
0.25
Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có:
2 2 2
1 1 1

5 5
4
x BI
d x x
= + ⇒ = ⇒ =
0.25
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán
kính
5
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 4
1 4
3
4 3 1 0
1
1
3
1
2 1 5
25 20 5 0
1
5
1; 1
x
y

x
x y
y
x
x
y
x y
x x
x loai
B
−

=

−

+ − =


=
=

 
⇔ ⇔ ⇔
=

   
= −
− + − =




 

− − =



= −


⇒ −
0.25
Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với
0a
≠
). Tung độ giao điểm 0.25
WWW.VNMATH.COM
VIa.2
của (d) và (E) là:
( )
2 2 2
2 2
25 3
1 9. 25 5
25 9 25 5
a y a
y y a a
−
+ = ⇔ = ⇔ = ± − ≤

Vậy
2 2 2
3 3 6
; 25 , ; 25 25
5 5 5
A a a B a a AB a
   
− − − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
0.25
Do đó
2 2
6 100 5 5
4 25 4 25
5 9 3
AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ±
(thỏa mãn đk) 0.25
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
5 5 5 5
,
3 3
x x= = −
0.25
VIIa
Điều kiện
2,n n≥ ∈ ¥
Ta có:
( )
( )

2 1
1
2
1
5 1 5
2
2( )
3 10 0
5
n
n n
n n
A C n n
n loai
n n
n
−
+
+
− = ⇔ − − =
= −

⇔ − − = ⇔

=

0.5
Với n = 5 ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
5 10

5 10
2 2
5 10
0 0
1 2 1 3 2 3
k l
k l
k l
P x x x x x C x x C x
= =
= − + + = − +
∑ ∑
⇒
số hạng chứa x
5
là
( ) ( ) ( )
4 3
1 2 7 5 5
5 10
. . 2 . 3 16.5 27.120 3320x C x x C x x x− + = + =
Vậy hệ số của x
5
trong biểu thức P đã cho là 3320
0.5
VIb1
+ Tọa độ
B AB BD= ∩
là nghiệm của
hệ phương trình:

( )
3 4 1 0 1
1; 1
2 3 0 1
x y x
B
x y y
+ + = =
 
⇔ ⇒ −
 
− − = = −
 
+
( )
. 22 1
ABCD
S AB AD= =
+ Ta có:
·
( )
·
( )
2
2 2 2
3.2 4.1
2 11
cos tan 2
2
5 5

3 4 2 1
AD
ABD ABD
AB
−
= = ⇒ = =
+ + −
Từ (1) và (2) ta có: AD =11; AB = 2 (3)
0.25
+ Vì
( )
; 2 3D BD D x x∈ ⇒ − +
. Ta có:
( ) ( )
11 11
; 4
5
x
AD d D AB
−
= =
Từ (3) và (4) suy ra
6
11 11 55
4
x
x
x
=


− = ⇔

= −

0.25
+ Với x = 6
( )
6;9D⇒ ⇒
phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc
với AB là
: 4 3 3 0x y− + =
3 1 38 39
; ;
5 5 5 5
A AD AB C
   
⇒ = ∩ = − ⇒
 ÷  ÷
   
0.25
+ Với x = -4
( )
4; 11D⇒ − − ⇒
phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông
góc với AB là
: 4 3 17 0x y− − =
13 11 28 49
; ;
5 5 5 5
A AD AB C

   
⇒ = ∩ = − ⇒ − −
 ÷  ÷
   
0.25
Gọi pt Elip cần tìm là:
( )
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b
+ = > >
với hai tiêu điểm là
( )
1
;0 ,F c−

( )
2
;0F c
( )
2 2 2
, 0c a b c= − >
và hai đinh trên trục nhỏ là:
( ) ( )
1 2
0; , 0;B b B b−
0.25

WWW.VNMATH.COM
Theo giả thiết ta có hệ:
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
3
6
4
3
2 3 3 3
2
3
3 2 3
4 12 2 3
c a b
b a
a
b c b c b
c
a b
a b


= −
=

=







= ⇔ = ⇔ =
  
  
=
+ = +

 
+ = +



0.5
Vậy (E):
2 2
1
36 27
x y
+ =
0.25
VII
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013

n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
(*)
Xét khai triên:
( )
2 1
1
n
x
+
+ =
0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n n
C xC x C x C x C x C
+ +
+ + + + + +
+ + + + + +
Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được:
( ) ( )
2
2 1 1
n
n x+ + =

( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 3 4 2 1
n n
n n n n n
C xC x C x C n x C
+
+ + + + +
+ + + + + +
0.5
Thay x=-2 vào ta được:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 .
n n
n n n n n
n C C C C n C
+
+ + + + +
+ = − + − + + +
Do đó (2)
2 1 2013 1006n n⇔ + = ⇔ =
0.5
………………… Hết………………….
WWW.VNMATH.COM