HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG ppt

QUAN HỆ SONG SONG
1. (ĐH-A11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với
BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
2. (DB1-D08) Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho
4,BC BM=

3,AC AP=

2.
BD BN=
Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số
AQ
AD
và tỉ số thế tích hai phần của khối tứ diện
ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
3. (DB2-D06) Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
và điểm K thuộc cạnh
'CC
sao cho
2
3
CK a=
Mặt phẳng
()α

đi qua A, K và song song với
BD
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể
tích của hai khối đa diện đó.
4. (ĐH-B03) Cho hình lăng trụ đứng
.
′′′′
ABCD A B C D
có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc

60 .=

BAD
Gọi
M là trung điểm cạnh
AA
′
và N là trung điểm cạnh

CC
′
. Chứng minh rằng bốn điểm
B
′
, M, D, N cùng thuộc một
mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh
AA
′
theo a để tứ giác
B MDN

′
là hình vuông.
5. (DB1-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

60 ,BAD =

SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), SA = a. Gọi
C
′
là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC
′
và song song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại
,.BD
′′
Tính thể tích khối chóp
S AB C D
′′′


QUAN HỆ VUÔNG GÓC
6. (ĐH-D10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
.
4
AC
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

7. (ĐH-A02) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với
mặt phẳng (SBC).
8. (ĐH-A07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông
góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
9. (ĐH-A08) Cho lăng trụ
.
′′′
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC
=
3,a
và hình chiếu vuông góc của
A
′
đỉnh trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối chóp
.
′
A ABC
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
,.
′ ′′
AA B C

10. (ĐH-A09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và

(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
11. (ĐH-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2,a
SA = a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng
minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
12. (ĐH-B07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính
(theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
13. (DB1-B07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chop. Cho AB
= a, SA =
2.a
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng
(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
14. (DB1-A06) Cho hình hộp đứng
.
′′′′
ABCD A B C D
có các cạnh AB = AD = a,
AA
′
=
3
2
a
và góc

60 .BAD =


Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cách cạnh
AD
′′
và
AB
′′
. Chứng minh
AC
′
vuông góc với mặt phẳng
(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
15. (DB1-A08) Chi hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
EC, SC. M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho

( 90 )ECM =α α<

và H là hình chiếu vuông góc của S
trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a,
α
và tìm
α
để thể tích đó nhỏ nhất.
16. (DB2-A08) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E là
trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt
phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
17. (DB2-A09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
18. (ĐH-B08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a

và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
19. (DB2-D10) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60 .BAD =
Mặt phẳng (SAC) vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, biết

0
90ASC =
và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBD) bằng a.
20. (DB1-D07)
Cho lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông
,AB AC a= =
1
2.AA a=
Gọi
,MN

lần lượt là trung điểm của đoạn
1
AA

và
1
.BC
Chứng minh
MN
là đường vuông góc chung của các đường thẳng
1
AA
và
1
.BC
Tính thể tích của tứ diện
11
.MA BC

21. (DB2-B10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
2 2,SA SB AB BC a= = = =


0
120 .ABC =

Gọi H là trung điểm của cạnh AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SCD), K nằm trong tam giác
SCD và
3
.
5
HK a=
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
22. (DB1-B10) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a,


60 ,ABC =

đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A và S là một điểm thay đổi trên
.∆
Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh rằng trực tâm
của tam giác SBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
23. (DB2-B08) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
BÀI TOÁN GÓC. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
24. (ĐH-D11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
3a
và

30 .SBC
=

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
25. (ĐH-D09) Cho hình chóp
.ABC A B C
′′′

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA
′

= 2a,
AC
′
= 3a. Gọi
M là trung điểm của đoạn thẳng
AC
′′
, I là giao điểm của AM và
AC
′
. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
26. (DB2-D07) Cho lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
.a

M
là trung điểm của
1
.AA
Chứng
minh
BM
vuông góc với
1
BC
và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó.
27. (DB1-D10) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC cân tại A, cạnh bên SB lần lượt

tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trục của BC các góc bằng 30
0
và 45
0
, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
28. (ĐH-A10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3.a

Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
29. (ĐH-B11) Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3.a
Hình chiếu
vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
(ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60

0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng
(A
1
BD) theo a.
30. (DB1-D06) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
31. (DB1-B08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
3a
và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S.ABCD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
32. (DB2-B06) Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có
.A ABC
′
là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên
AA
′
=
b. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
( ).A BC
′
Tính tan
α

và thể tích của hình chóp
A BB C C
′ ′′

33. (DB2-A06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc
với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
.
3
a
Mặt phẳng
(BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNMI.
34. (DB2-A07) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. ABC và SBC là các
tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC).
35. (DB1-A07) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
25a
và


120 .BAC =

Gọi M là trung
điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh rằng MB vuông góc MA
1
và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
36. (DB1-A09) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy A
1
B
1
C
1
là tam giác vuông tại B
1
. Gọi K là hình chiếu vuông
góc của A
1
lên AC
1
. Biết góc giữa đường thẳng A

1
K với mặt phẳng (C
1
AB
1
) bằng 30
0
và A
1
B
1
= a, A
1
C
1
=
5.a

Tính thể tích lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
theo a.
37. (DB2-B07) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
bằng 60
0
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh

AHK∆
vuông và tính thể tích tứ diện
SABC.
38. (ĐH-A06) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và
O
′
, bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O
′
lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối
tứ diện O
O
′
AB.
39. (ĐH-B04) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
ϕ
(0
0
<
ϕ

< 90
0
). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
.ϕ
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
ϕ
.
40. (ĐH-B09) Cho hình lăng trụ tam giác

.ABC A B C
′′′
có
BB
′
= a, góc giữa đường thẳng
BB
′

và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
0
, tam giác ABC vuông tại C và

60 .BAC =

Hình chiếu vuông góc của điểm
B
′
lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện
A ABC
′
theo a.
41. (ĐH-B10) Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′

có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
()A BC

′
và (ABC)
bằng 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác
.A BC
′
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện GABC theo a.
42. (ĐH-D02) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm,
BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
43. (ĐH-D03) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
.∆
Trên
∆
lấy hai
điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng
vuông góc với
∆
và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (BCD) theo a.
44. (ĐH-D06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM.
45. (ĐH-D07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,


90 ,ABC BAD= =

BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên

SA vuông góc với đáy và SA =
2.a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
46. (ĐH-D08) Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′

có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA
′
=
2.a
). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′

và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và
BC
′
.