Báo cáo chuyên đề học phần Nhập môn trí tuệ nhân tạo: Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị

lOMoARcPSD|16911810

Nhóm07-Áp dụng thuật giải heuristic cho bài tốn tơ màu tối
ưu trên đồ thị
Công nghệ phần mềm (Trường Đại Học Điện Lực)

StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HỌC PHẦN
NHẬP MƠN TRÍ TUỆ NHÂN TẠO

ĐỀ TÀI:
Áp dụng thuật giải heuristic cho bài tốn tơ màu tối ưu trên đồ thị
Sinh viên thực hiện

: PHẠM VĂN TUẤN

Giảng viên hướng dẫn

NGUYỄN HOÀNG HIỆU
NGUYỄN DỨC THUẬN
: VŨ VĂN ĐỊNH

Ngành

: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Chuyên ngành

: HỆ THỐNG THƯƠNG MẠI ĐIỆN
TỬ

Lớp

: D14HTTMDT1

Khóa

: 2019
Hà Nội, tháng 10 năm 2021
Phiếu chấm điểm

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

STT

Họ tên sinh viên

Nội dung thực hiện

1

Phạm Văn Tuấn

Làm báo cáo
Làm chương trình

2

Nguyễn Hồng Hiệu

Làm báo cáo
Làm chương trình

3

Nguyễn Đức Thuận

Làm báo cáo
Làm chương trình

Họ tên giảng viên

Chữ ký

Downloaded by Dung Nguyen ()

Điểm

Chữ ký

Ghi chú


lOMoARcPSD|16911810

MỤC LỤC
I.

GIỚI THIỆU BÀI TOÁN..................................................................................................................4
1.

Tổng quan về heuristic..................................................................................................................4
1.1. Heuristic và các cách biểu diễn đồ thị.......................................................................................4
1.2. Các bài toán điển hình................................................................................................................6

2.

Bài tốn tơ mầu đồ thị...................................................................................................................6
2.1. Bài tốn tơ mầu cạnh..................................................................................................................6
2.2. Bài tốn tơ mầu đỉnh..................................................................................................................6
2.3. Các khái niệm liên quan.............................................................................................................7
2.4. Ứng dụng......................................................................................................................................8

II.
1.

2.

III.

GIẢI THUẬT.................................................................................................................................9
Bài tốn tơ mầu đỉnh.....................................................................................................................9
1.1.

Các định nghĩa sử dụng:........................................................................................................9

1.2.

Thuật tốn............................................................................................................................10

1.3.

Ví dụ......................................................................................................................................12

Bài tốn tơ mầu cạnh...................................................................................................................17
2.1.

Giải thuật..............................................................................................................................17

2.3.

Độ phức tạp:.........................................................................................................................23

CÀI ĐẶT THUẬT TỐN...........................................................................................................24

1. Bài tốn tơ mầu đỉnh.......................................................................................................................24
2. Bài tốn tơ mầu cạnh.......................................................................................................................30
2.1. Đọc dữ liệu từ fle..................................................................................................................30
2.2. Dữ liệu vào từ bàn phím........................................................................................................40
3.

IV.

Mã nguồn......................................................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................................52

PHỤ LỤC 1: DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH TRONG TÀI LIỆU...................................................53
PHỤ LỤC 2: PHÂN CHIA CÔNG VIỆC..............................................................................................53

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

I. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN
1. Thuật giải heuristic
1.1.khái niệm heuristic

Là mở rộng khái niệm thuật tốn.
o Thuờng
o Nhanh

tìm lời giải tốt nhưng khơng tốt nhất.

chóng tìm ra kết quả hơn so với giải thuật tối ưu, vì vậy chi phí thấp hơn.

o Thuờng

thể hiện khá tự nhiên, gần gũi với cách suy nghĩ và hành động của con

nguời.

Các nguyên lý của thuật giải heuristic
 Vét cạn thông minh


Nguyên lý thứ tự

Nguyên lý tham lam
Hàm heuristic
Kyỹ thuật heuristic:

Theo Từ điển tiêếng Anh Oxford: “Heuristics là nghệ thuật tm kiêếm chân lý. Nói riêng,
heuristics là đặc trưng của q trình học nhờ đó các học sinh học được cách tự tm ra cách
giải thích các hiện tượng tự nhiên”.




Từ “Heuristics” có cùng một gôếc tiêếng Hy Lạp như từ Eureka. Feigenbaum Feldman đã
đưa ra định nghĩa :



“Heuristics (Các quy tắếc heuristics, các phương pháp heuristics) là các quy tắếc, phương
pháp, chiêến lược, mẹo giải hay phương cách nào đó nhắằm làm giảm khơếi lượng tm kiêếm lời
giải trong khơng gian bài tóan cực lớn”.

2. Bài tốn tơ mầu đồ thị
Tơ màu đồ thị và sự tổng qt của nó là cơng cụ hữu dụng trong việc mơ hình hóa rất nhiều bài
tốn khác nhau trong vấn đề xếp lịch, xây dựng chương trình và vấn đề phân cơng cơng việc. Bài
tốn tơ màu đồ thị bao gồm nhiều loại: tô màu đỉnh đồ thị (vertex graph coloring) , tô màu cạnh

đồ thị (edge graph coloring) ...
2.1. Bài tốn tơ mầu cạnh
Bài tốn
Cho G=(V,E) là đơn đồ thị vô hướng ( G không là đồ thị khun) , hãy tìm cách gán (tơ màu) cho
mỗi cạnh của đồ thị một màu sao cho hai cạnh có cùng chung 1 đỉnh khơng bị tơ bởi cùng một
màu. Một phép gán màu cho các cạnh như vậy gọi là một phép tô màu cạnh đồ thị. Nói cách
khác, phép tơ cạnh đồ thị bởi k màu nói trên có thể được hiểu là một phân hoạch của tập cạnh E
của G thành k tập con (tương ứng với k màu) sao cho mỗi tập con ứng với một màu i nhất định.
Bài toán đặt ra là tìm cách tơ màu nào sử dụng số màu ít nhất có thể.
Ví dụ

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Đồ thị trong hình trên có thể tơ bởi 4 màu. Đồ thị G gọi là tô được bởi k màu-cạnh nếu G có một
phép tơ k màu-cạnh phù hợp.Thơng thường hầu hết các đồ thị không là đồ thị khun đều tơ
được.Và nếu G có tính chất như vậy thì G cũng có thể tơ bởi l màu với l>k.
2.2. Bài tốn tơ mầu đỉnh
Một phép tơ mầu sử dụng nhiều nhất k mầu gọi là một phép tô k mầu. Số lượng mầu nhỏ nhất
cần để tô các đỉnh của đồ thị G gọi là sắc số đỉnh của đồ thị G, sao cho khơng có hai đỉnh kề
nhau nào được tơ cùng mầu.
Một đồ thị có thể tơ được bằng k mầu, trong đó mỗi một tập các đỉnh cùng mầu gọi là một lớp
mầu.
Một đồ thị có thể được tơ bằng k mầu nghĩa là có có k tập độc lập trong đồ thị
2.3. Các nguyên lý của thuật giải heuristic
1.Vét cạn thông minh



Hạn chêế vùng khơng gian tm kiêếm và có sự định hướng để nhanh chóng tm đêến mục
tiêu.



Tạo miêằn D’ râết nhỏ so với D


Vét cạn trên D’
2.Nguyên lý tham lam (Greedy):


Lâếy tiêu chuẩn tơếi ưu (trên phạm vi tồn cục) của bài toán để làm tiêu
chuẩn chọn lựa hành động cho phạm vi cục bộ của từng bước.

 a)Thuật giải GTS1: (Greedy-Traveling Saleman)

Xây dựng một lịch trình du lịch có chi phí Cost tơếi thiểu cho bài tốn
trong trường hợp phải qua n thành phơế với ma trận chi phí C và bắết đâằu tại
một đỉnh U nào đó.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810





























W

Thuật giải:
Bước 1: {Khởi đâằu}
Đặt Tour := {};
Cost := 0;

V := U; {V là đỉnh hiện tại đang làm việc}
Bước 2: {Thắm tâết cả các thành phôế}
For k := 1 To n Do
qua bước 3;
Bước 3: {Chọn cung kêế tiêếp}
Đặt (V, W) là cung có chi phí nhỏ nhâết tnh từ V đêến các đỉnh W chưa dùng:
Tour := Tour + {(V,W)};
Cost := Cost + Cost(V,W);
Nhãn W được sử dụng
Đặt V := W; {Gán để xét bước kêế tiêếp}
Bước 4: {Chuyêến đi hoàn thành}
Đặt Tour := Tour + {(V,U)};
Cost := Cost + Cost(V,U);
Dừng.
U= A
Tour = {}
Cost = 0
V

=A

W

∈ {B, C, D, E}{Các đỉnh có thể đêến từ A}

→ W = B{Vì qua B có giá thành bé nhâết}
Tour = {(A, B)}
Cost = 1
V=B
∈ {C, D, E}→ W = EA

 Tour = {(A, B),(B, E)}
 Cost = 1 + 3 = 4
 V
=E
W ∈ {C, D} → W = C
b.Thuật giải GTS2:

Tạo ra lịch trình từ p thành phơế xết phát riêng biệt. Tìm chu trình của người bán
hàng qua n thành phơế (1chu trình được giữ lại mà thơi (thuật giải này địi hỏi phải nhập n, p và C)


Thuật giải:



Bước 1: {Khởi đâằu}

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810



k := 0; {Đêếm sôế thành phôế đi qua}

 Tour = {(A, B), (B, E), (E, C)}



Bước 2: {Bắết đâằu chu trình

2.4. Ứng dụng

mới}
 Chuyển qua bước 3 khi kngược lại dừng.
 Bước 3: {Tạo chu trình mới}
 k := k + 1;
 Call (GTS1(Vk)) : Trả vêằ một chu
trình T(k) ứng với chi phí C(k).
 Bước 4: {Cập nhật chu trình tơết
nhâết}
 Nêếu C(k)< Cost thì
 Best := T(k);
 Cost := C(k);
 Bước 2: {Bắết đâằu chu trình mới}
Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

 Chuyển qua bước 3 khi kngược lại dừng.
 Bước 3: {Tạo chu trình mới}
 k := k + 1;
 Call (GTS1(Vk)) : Trả vêằ một chu
trình T(k) ứng với chi phí C(k).

 Bước 4: {Cập nhật chu trình tơết
nhâết}
 Nêếu C(k)< Cost thì
 Best := T(k);
 Cost := C(k);

2.Bài tốn dồ thị

- Bài tốn lập lịch:
Ở đây nhóm xin đưa ra một ví dụ cụ thể là bài tốn lập lịch thi: hãy lập lịch thi trong một trường
đại học sao cho khơng có sinh viên nào thi hai môn cùng một lúc
Giải pháp:
Biểu diễn bằng đồ thị với:
 Mỗi môn học là một đỉnh


Nếu hai môn học nào được dự thi bởi cùng 1 sinh viên thì sẽ nối bằng 1 cạnh

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810



Các lập lịch sẽ tương ứng với bài tốn tơ mầu của đồ thị này: số các mầu được tô là số các
đợt thi, các đỉnh có cùng mầu sẽ thi cùng 1 đợt.

Ví dụ:
Có 7 mơn thi với thơng tin như sau:

 Mơn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi


Mơn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi



Mơn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi



Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi



Mơn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi



Mơn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi



Mơn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi

Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đều có thể dự thi tuần tự các mơn mình đăng
ký

Hình 02: Đồ thị G của bài toán lập lịch trên

-

Bài toán phân phối các thanh ghi chỉ số (register allocation)

Trong lập trình các thanh ghi thường được dung để lưu trữ giá trị các biến tạm thời. Bài tốn u
cầu tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình
Giải pháp:
Biểu diễn bằng đồ thị với:
 Mỗi biến tương ứng là 1 đỉnh


Hai đỉnh được nối với nhau nếu hai biến cùng được ghi xuống tại một thời điểm

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số mầu của đồ thị trên
II. GIẢI THUẬT
1. Bài toán tô mầu đỉnh
1.1.

Các định nghĩa sử dụng:

Để mô tả giải thuật nhóm bắt đầu với việc diễn giải các thuật ngữ, định nghĩa mà giải thuật đề
cập tới.
- ⌊x ⌋: biểu thị các chức năng sàn tức là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x
-

⌈ x⌉: biểu thị chức năng trần nghĩa là số nguyên bé nhất là không bé hơn x

-

Một đồ thị đơn giản G với n đỉnh bao gồm một tập các đỉnh V,với | V |= n, và một bộ các
cạnh E, sao cho mỗi cạnh là một cặp khơng có thứ tự của các đỉnh khác nhau. Lưu ý rằng
định nghĩa của G rõ ràng cấm các vịng lặp(cạnh nối một đỉnh với chính nó) và các cạnh
đa (nhiều cạnh tham gia một cặp đỉnh), khi thiết lập E cũng phải được giới hạn. Chúng tơi có
thể gán nhãn các đỉnh của G với 1 số ngun, 2, ..., n.

-

Nếu các cặp khơng có thứ tự của các đỉnh {u, v} là một cạnh trong G, chúng ta nói u đó là
một lân cận của v (hoặc u kề với v) và viết uv ∈ E. Lân cận đối xứng rõ ràng là một mối
quan hệ: uv ∈ E nếu và chỉ nếu vu ∈ E .

-

Bậc của một đỉnh v, ký hiệu là d (v), là số lân cận của v. Số bậc tối đa của tất cả các đỉnh
của G được ký hiệu là Δ.

-

Các ma trận kề của G là một ma trận n × n với các mục trong hàng u và cột v bằng 1
nếu uv ∈ E và bằng 0 nếu ngược lại.

-

Cho đồ thị G và H, tích đề các G × H được định nghĩa là các đồ thị mà tập các đỉnh là V
(G) × V (H)với một cạnh đang kết nối đỉnh (u 1, v 1) với đỉnh (u 2, v 2) nếu và chỉ nếu hoặc

u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong H hoặc v 1 = v 2 và {u 1, u 2} là một cạnh trong G.

-

Đồ thị đầy đủ với m đỉnh được ký hiệu là K m.

-

Tập độc lập S của đồ thị G là một tập các đỉnh như vậy mà khơng chứa cặp khơng có thứ tự
của các đỉnh trong S là một cạnh. Với một bộ độc lập S củaG và một đỉnh v bên
ngồi S, chúng ta nói v là có thể thêm vào nếu đặt S∪ {v} vẫn là một tập độc lập của G. Ký
hiệu ρ (S) là số đỉnh có thể thêm vào của một tập độc lập S của G. Một tập độc lập tối đa
khơng có đỉnh có thể thêm vào. Một tập độc lập tối đa là một tập độc lập với số lượng các
đỉnh lớn nhất. Lưu ý rằng một tập độc lập tối đa luôn luôn là tối đa, nhưng không nhất thiết
phải ngược lại.

-

Cho một tập m màu {1, 2, ..., m}, một tập m-màu của các đỉnh của đồ thị G là sự phân một
màu duy nhất cho mỗi đỉnh của G sao cho khơng có hai đỉnh kề nhau có cùng màu. Số màu
χ(G) của đồ thị G là giá trị nhỏ nhất của m mà tồn tại tương ứng một một m-màu của các đỉnh
củaG.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

-

Thuật toán là một phương pháp giải quyết vấn đề thích hợp để thực hiện như một chương
trình máy tính. Trong khi thiết kế thuật toán chúng ta thường phải đối mặt với một số phương
pháp tiếp cận khác nhau.

-

Thuật tốn thời gian - đa thức A có số lượng các bước tính tốn ln ln bị chặn bởi một
hàm đa thức của các kích thước của đầu vào. Do đó, một thuật tốn thời gian đa thức là một
vấn đề thực sự hữu ích trong thực tế. Các lớp của tất cả các vấn đề như vậy có thuật toán thời
gian đa thức được ký hiệu là P. Đối với một số vấn đề, khơng có thuật tốn thời gian đa thức
được biết đến, nhưng những vấn đề này có thuật tốn thời gian đa thức bất định: hãy thử tất
cả các ứng viên cho các giải pháp cùng một lúc và cho mỗi ứng viên nhất định, xác minh
xem đó là một giải pháp chính xác trong thời gian đa thức.

1.2.

Thuật tốn

Nhóm bắt đầu với tích Đề Các cho phép chúng ta chuyển đổi các vấn đề của việc tìm kiếm một
tập m-màu của các đỉnh n của một đồ thị tương đương như việc tìm kiếm một bộ độc lập kích
thước n trong tích đề các G × Km .
- Tích Đề Các
Một đơn đồ thị G với n đỉnh là tô được bằng m mầu khi và chỉ khi tích đề các G × K m có một tập
độc lập kích thước n.
Chứng minh.
Giả sử có một tập m-màu của các đỉnh của G. Xác định một tập con S của các đỉnh của tích đề
các G × K m như sau. Một đỉnh (u, v) của G × Km thuộc S nếu và chỉ nếu đỉnh u của G được giao
màu v đối với tập m màu thích hợp. Vì mỗi đỉnh của G được giao một màu duy nhất, | S | = n.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng S là một tập độc lập. Cho (u 1, v 1) và (u 2, v 2) thuộc S, giả sử có
một cạnh {(u 1, v 1), (u 2, v 2)} trong G × K m. Do đó, theo định nghĩa của tích đề các, có hai khả

năng:
u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong K m. Nhưng u 1 = u 2 với v 1 = v2, từ mỗi đỉnh
trong G đượcgiao một màu duy nhất. Nhưng sau đó {v 1, v1} khơng thể là một cạnh
trong K m khi K m là một đơn đồ thị (mâu thuẫn).
 {U 1, u 2} là một cạnh trong G, và v 1 = v 2. Nhưng điều này vi phạm các định nghĩa của
một tập m màu của G từ đỉnh kề phải được giao các màu khác nhau (mâu thuẫn).
Vì vậy khơng thể có một cạnh giữa hai đỉnh trong S và S phải là một tập độc lập.
Ngược lại, giả sử có một tập độc lập S kích thước n trong tích đề các G × K m. Chúng ta sẽ chỉ ra
rằng G có m màu riêng biệt. Nếu m lớn hơn hoặc bằng n thì G có thể được m màu một cách tầm
thường , do đó giả sử m nhỏ hơn n. Sự phân chia các đỉnh của S vào nhiều nhất là m lớp tương
đương C 1, C 2 ,..., C m, nơi một đỉnh (u, v) trong S thuộc về lớp tương đương C i khi và chỉ
khi v = v i. Rõ ràng , điều này đưa ra một định nghĩa phân chia tốt của các đỉnh trong S. Bây giờ
các đỉnh của G vào nhiều nhất là m lớp tương đương C '1, C' 2, ..., C'm, nơi một u đỉnh của G thuộc
lớp tương đương C 'i nếu và chỉ nếu (u, v i) thuộc về lớp tương đương C i. Để chứng tỏ điều đó ta
đưa ra một định nghĩa phân chia tốt của các đỉnh các đỉnh của G tuân theo:




Cho một đỉnh u của G, nếu u thuộc về cả hai C 'i và C' j thì (u, v i) thuộcC i và (u,
v j) thuộc C j. Khi K mđầy đủ, {v i, v k} là một cạnh trong K m, do đó, {(u, v i), (u, v j)} là một

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

cạnh trong tích đề các G ×K m. Điều này mâu thuẫn với thực tế là S là một tập độc lập .Vì
vậy, các bộ C '1, C' 2 ,..., C 'm là cặp phân chia.
 Danh sách các phần tử của S sắp xếp như sau:

o (U 1 1, v 1), (u 1 2, v 1), ..., (u 1 i (1), v 1)
o (U 2 1, v 2), (u 2 2, v 2), ..., (u 2 i (2), v 2)
o ...
o (U m 1, v m), (u m 2, v m), ..., (u m i (m), m v)
Nếu một số u i j = l k u trong danh sách, thì, khi K m đầy đủ, {v i, v l} là một cạnh
trong K m, do đó, {(u i j, v i), (u k l , v l)} là một cạnh trong tích đề các G × K m. Điều này mâu
thuẫn với thực tế S là một tập độc lập. Vì vậy, tất cả các u i j xuất hiện trong danh sách là
riêng biệt và từ | S | = n , có n u i j i phân biệt mọi đỉnh của G được chứa trong một số
lớp tương đương 'C Do đó,..
Chỉ định màu i đến đỉnh u của G nếu u thuộc về các lớp tương đương C i' . Điều này tạo ra một
tập m-màu của các đỉnh của G.
Bây giờ chúng ta định nghĩa hai thủ tục để thực hiện với tập độc lập trong tích đề các G × K m.
- Thủ tục 1
Với một tập độc lập S của tích đề các G×Km nếu S khơng có đỉnh có thể thêm, đầu ra S. Ngược
lại, cho mỗi đỉnh có thể thêm (u, v) của S, tìm số ρ (S∪ {(u, v)}) của đỉnh có thể thêm của tập độc
lập S ∪ {(u, v)}. Cho (u,v ) max biểu thị một đỉnh có thể thêm sao cho ρ (S ∪ {(u, v) max}) là lớn
nhất và chứa tập độc lập S ∪ {(u, v) max}. Lặp lại cho đến khi tập độc lập khơng có đỉnh có thể
thêm vào.
- Thủ tục 2
Cho một tập độc lập tối đa S của tích đề các G × K m, nếu khơng có đỉnh (u 1, v 1) bên ngoài S sao
cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2 ) trong S, đầu ra S.Ngược lại, tìm thấy một
đỉnh (u 1, v 1) ngoài S sao cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2) trong S 1. Xác định S(u1, v1), (u2, v2)
bằng cách thêm (u1, v1) vào S và bỏ (u 2, v 2) từ S. Thực hiện thủ tục 3.1 trên S (u 1, v 1), (u 2, v 2) và đầu
ra các tập độc lập kết quả.
Giải thuật
Với đầu vào là một đơn đồ thị G với n đỉnh, tìm kiếm một tập m-màu của các đỉnh của G. Để
{u 1, u 2, ..., u n} biểu thị các đỉnh của G và để {v1, v 2, ..., v m} biểu thị các đỉnh của K m.. Chúng ta
tạo các tập độc lập tối đa trong tích đề các G×Km. Ở mỗi giai đoạn, nếu tập độc lập thu được có
kích thước n nhỏ nhất, thì đi đến phần III.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810







Phần I. Đối với i = 1, 2, ..., n và j = 1, 2, ..., n lần lượt
o Khởi tạo tập độc lập S i, j = {(u i, v j)}.
o Thực hiện thủ tục 3.1 trên S i, j.
o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3.2 lặp lại r lần.
o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j.
Phần II. Với mỗi cặp tập độc lập tối đa S i, j, S k, l tìm thấy trong phần I
o Khởi tạo S đặt độc lập i, j, k, l = S i, j ∩ S k, l.
o Thực hiện thủ tục 3,1 trên S i, j, k, l.
o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3,2 lần r lặp đi lặp lại.
o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j, k, l.
Phần III. Nếu một tập độc lập S với kích thước n đã được tìm thấy tại bất kỳ giai
đoạn của phần I hoặc phần II, đầu ra S như là một tập m-màu của các đỉnh
của G theo Bổ đề Đề các. Ngược lại, kết luận thuật toán khơng thể tìm thấy bất kỳ
tương ứng m-màu của các đỉnh của G.

1.3.
Ví dụ
Chúng ta thể hiện các bước của thuật tốn bằng một ví dụ nhỏ. Đồ thị đầu vào được thể hiện
dưới đây trong hình 3.1 với n = 4 đỉnh có nhãn V = {1, 2, 3, 4}. Các thuật tốn tìm kiếm cho một

tương ứng 3- màu của các đỉnh bằng cách sử dụng các thiết lập của các màu {1, 2, 3} đại diện
bởi màu xanh lá cây, đỏ và màu xanh tương ứng.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Hình 03.Các đồ thị đầu vào G với 3- màu tương ứng của các đỉnh của nó được tìm thấy bởi
thuật tốn
Thuật tốn đầu tiên xây dựng tích đề các G × K 3 hiển thị dưới đây trong các con số 3,2 với 12
đỉnh {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}. Chúng ta tách
các đỉnh {1, 2, 3} của thành phần thứ hai K 3 như các màu sắc xanh, đỏ và màu xanh tương ứng.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Hình 04: tích đề các G×K3với một tập độc lập với kích thước 4 được tìm thấy bằng thuật tốn
Thuật tốn bây giờ tìm kiếm một tập độc lập với kích thước 4 trong tích đề các G × K 3. Phần I
cho i = 1 và j = 1 khởi tạo tập độc lập như S 1,1 = {(1, 1)}.
Bây giờ chúng ta thực hiện các thủ tục 1. Sau đây là các kết quả dưới dạng bảng:
Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1)}. Kích thước: 1.

Đỉnh có thể
v) củaS 1,1

thêm

thể
(u, Đỉnh có
của S 1,1 ∪{(u, v)}

thêm

ρ (1,1 S ∪ {(u, v)})

(2, 2)

(3, 3), (4, 2), (4, 3)

3

(2, 3)

(3, 2), (4,
2), (4, 3)

3

(3, 2)

(2, 3), (4, 3)

2

(3, 3)

(2, 2), (4, 2)

2

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

(4,
)

(2, 2), (2, 3), (3, 3)

3

(4, 3)

(2, 2), (2, 3), (3, 2)

3

Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 3 cho (v, u) = (2, 2). Thêm đỉnh (2, 2) vào S 1,1.
Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2)}. Kích thước: 2.
Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1

Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)}

ρ (1,1 S ∪ {(u, v)})

(3, 3)

(4, 2)

1

(4, 2)

(3, 3)

1

(4, 3)

Không ai

0

Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 1 cho (v, u) = (3, 3). Thêm đỉnh (3, 3) vào S 1,1.
Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}:. Kích thước 3.
Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1

Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)}

ρ (1,1 S ∪ {(u, v)})

(4, 2)

Không ai

0

Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 0 với (v, u) = (4, 2). Thêm đỉnh (4, 2) để S 1,1.
Chúng ta có được một tập độc lập tối đa
S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2)}
của kích thước yêu cầu n = 4. Bây giờ đầu ra phần III S 1,1 được yêu cầu đúng 3-màu của
đầu vào đồ thị G và thuật toán kết thúc. Lưu ý rằng chúng ta giải thích kết quả như sau: đỉnh
1 được tô với màu 1 (màu xanh), đỉnh 2 được tô với màu 2 (màu đỏ), đỉnh 3 được tô với màu
3 (màu xanh) và đỉnh 4 được tô với màu 2 ( màu đỏ).
1.4.

Độ phức tạp:

Tiếp theo để đánh giá độ phức tạp của giải thuật, nhóm sẽ chỉ ra rằng thuật tốn kết thúc trong
thời gian đa thức, trong khi tìm kiếm một tập m-màu cho một đồ thị với n đỉnh, bằng cách xác
định một đa thức của N=nm đó là một cận trên trên tổng số bước tính tốn thực hiện bởi thuật
tốn.Lưu ý rằng chúng ta xem xét
kiểm tra xem một cặp của các đỉnh được kết nối bởi một cạnh trong G, và
so sánh xem một số nguyên cho trước nhỏ hơn một số ngun cho trước được tính tốn
các bước cơ bản.
Mệnh Đề 1
Cho một đồ thị đơn giản G với n đỉnh và một tập độc lập S của G×Km , thủ tục 1 mất ít
nhất (nm) 5 bước.



Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Chứng minh
Kiểm tra việc một đỉnh riêng có thể thêm thì mất tối đa (nm) 2 bước, từ đỉnh có ít hơn các lân
cận nm và cho mỗi lân cận phải mất ít hơn nm bước để kiểm tra xem nó là ở ngồi tập độc
lập. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm số ρ của các đỉnh có thể thêm mất ít
nhất (nm) 3 = (nm) (nm) 2 bước, khi nhiều nhất nm đỉnh bên ngoài tập độc lập chúng ta phải kiểm
tra xem nó có thể thêm hay không. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm một đỉnh sao
cho ρ là tối đa thì mất ít nhất (nm) 4 = (nm) (nm) 3 bước, khi có hầu hết nm đỉnh bên ngồi. Thủ
tục 1 kết thúc khi hầu hết nm đỉnh được thêm, do đó phải mất một tổng của hầu hết (nm) 5 = (nm)
(nm) 4bước.
Mệnh Đề 2
Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và một tập độc lập tối đa S của G×Km , thủ tục 2 mất ít nhất
(nm) 5 +(nm) 2 +1 bước.
Chứng minh
Để tìm một đỉnh (u 1, v 1) bên ngồi S mà có đúng một lân cận (u 2, v 2) bên trong S có tối đa
(nm) 2 bước, khi có ít hơn nm đỉnh ngồi S và chúng ta phải tìm ra nếu ít nhất một trong các lân
cận bé hơn nm của bất kỳ đỉnh nào ở trong S. Nếu như một đỉnh (u 1, v 1) đã được tìm thấy, phải
mất một bước để hoán đổi (u 1, v 1) và (u 2, v 2). Sau đó, bằng mệnh đề 4.1, phải mất ít
nhất (nm) 5 bước để thực hiện các thủ tục 1 vào tập độc lập kết quả. Như vậy, thủ tục 2 mất ít
nhất (nm) 2 +1 + (nm) 5 bước.
Mệnh Đề 3
Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, phần I của thuật tốn có tối đa
(nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 4+ (nm) 2 bước.
Chứng minh
Tại mỗi lượt, thủ tục 1 mất ít nhất (nm) 5 bước bằng mệnh đề 1. Sau đó, thủ tục 2 được thực hiện
tối đa nm lần mà theo mệnh đề 2, mất tối đa nm((nm) 5 + (nm) 2+1)
= (nm) 6 + (nm)3 + nm bước .Vì vậy, tại mỗi lượt, tối đa (nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 + nm bước được
thực hiện. Có nm lượt cho i = 1, 2, ..., n, và j = 1, 2, ..., m, do đó, một phần I thực hiện tổng cộng
tối đa là nm((nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 +nm) = (nm) 6 + (nm) 7 + (nm) 4 + (nm) 2 bước.
Mệnh Đề 4
Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, thuật tốn mất ít

hơn (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5 +(nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để kết thúc.
Chứng minh
Có ít hơn (nm) 2 cặp riêng biệt của tập độc lập tối đa được tìm thấy bởi phần I, mà được thực
hiện lần lượt. Tương tự như các thực nghiệm về mệnh đề 3, phần II có ít hơn(nm) 2 nm (() 5 nm (+
) 6 + (nm) 3 + nm) = (nm) 7 + (nm) 8 +(nm) 5 + (nm) 3). Do đó, phần I và phần II cùng nhau mất ít
hơn tổng cộng của ((nm 7 + (nm) 6 + (nm) 4 + (nm) 2) + ((nm) 8 +
(nm) 7 + (nm) 5 + (nm) 3) = (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5+ (nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để
kết thúc.
2. Bài tốn tơ mầu cạnh
2.1.

Giải thuật

Về thuật tốn giải quyết bài tốn tơ màu cạnh đồ thị hiện nay trên thế giới có nhiều thuật tốn
được đề suất như
 Thuật toán thu gọn (Contraction algorthms) được đề xuất bởi Zykov
 Thuật tốn tơ màu theo dãy (sequential coloring).

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Trong đó thuật tốn tơ màu theo dãy lại được ứng dụng theo nhiều cách khác nhau.
Ý tưởng của thuật toán này xoay quanh việc sắp xếp thứ tự các cạnh của đồ thị theo một thứ
tự nhất định. Đánh trọng số cho các màu được dung để tô. Sau đó duyệt các cạnh theo thứ tự nêu
trên. Trong quá trình duyệt sẽ tơ màu cho cạnh bằng màu có trọng số nhỏ nhất mà chưa được sử
dụng để tô cho các cạnh kề. Đây là một vận dụng của sử dụng thuật toán tham lam. Kết quả của
bài toán khác nhau nếu chúng ta chọn được thứ tự của các cạnh khác nhau. Do đó các cải tiến
hay các thuật toán khác nhau dựa trên thuật toán này hầu hết đều là cải tiến việc lựa chọn thứ tự

cho các cạnh ban đầu.
Trong chương trình ứng dụng của nhóm, giải thuật đưa ra ở mức minh hoạ một cách tơ màu
cạnh của đồ thị vơ hướng. Trong đó, việc xếp thứ tự của đỉnh được đồng nghĩa với thứ tự các
đỉnh được sắp xếp của đầu vào. Do đó thuật toán được thu gọn như sau :
 Thứ tự các cạnh được sắp xếp trong quá trình nhập dữ liệu về đồ thị. Các cạnh được đánh
số theo thứ tự E1, E2, ...,En.
 Tìm bậc lớn nhất của đồ thị (Δ)
 Chuẩn bị (Δ+1) màu để tô
 Bước i: Tơ màu cạnh Ei bởi màu có chỉ số nhỏ nhất trong số các màu chưa được sử dụng
để tô màu cạnh kề của nó. Trong đó ở bước i tùy theo cách cài đặt sẽ có những cách đánh
màu khác nhau.
Với thuật tốn trên chúng ta có thể tìm được 1 cách tô màu cho các cạnh của đồ thị với số
màu không quá Δ+1 màu ( vấn đề này sẽ thấy rõ hơn khi đi sâu vào phần cài dặt). Vậy đó đã là
số màu nhỏ nhất hay chưa. Theo định lý Vizing chúng ta phát biểu ở trên, ta có Δ(G)≤ χ′(G) ≤
Δ(G) + 1. Vậy sắc số cạnh chỉ có thể nằm ở 1 trong hai giá trị là Δ(G) và Δ(G) + 1. Với việc
chọn số màu lớn nhất có thể tơ là Δ(G)+1, thuật toán đã kẹp được cận trên của sắc số cạnh. Với
việc lựa chọn màu có chỉ số nhỏ nhất chưa được sử dụng để tô các cạnh kề cho một cạnh, số màu
được sử dụng là số màu nhỏ nhất.
2.2. Ví dụ
Ta có đồ thị sau:

Ta sắp xếp các cạnh theo thứ tự như sau:

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Bước 1: tô màu cạnh thứ 1

Cạnh này tô màu đỏ trước tiên
Bước 2: tô màu cạnh 2.

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Cạnh 2 kề với cạnh 1 (tô màu đỏ) do đó cạnh 2 sẽ tơ màu xanh lá cây
Bước 3: tô màu cạnh 3

Cạnh 3 kề với cạnh 1 (tô màu đỏ), cạnh 2 (tô màu xanh lá cây) do đó cạnh 3 phải tơ màu xanh da
trời

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Bước 4: tô màu cạnh 4

Cạnh 4 kề với cạnh 1 (tô màu đỏ) nên sẽ tô màu xanh lá cây
Bước 5: tô màu cạnh 5

Cạnh 5 kề với cạnh 3 (tô màu xanh da trời), cạnh 4 (tô màu xanh lá cây) nên cạnh 5 tô màu đỏ

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Bước 6: tô màu cạnh 6

Cạnh 6 kề với cạnh 1,5 (tô màu đỏ), cạnh 3 (tô màu xanh da trời), cạnh 4 (tô màu xanh lá cây)
nên cạnh 6 phải tơ màu tím
Bước 7: tơ màu cạnh 7

Cạnh 7 kề với cạnh 2 (tô màu xanh lá cây), cạnh 3 (tô màu xanh da trời), cạnh 5 (tô màu đỏ),
cạnh 6 (tơ màu tím) do đó cạnh này tơ màu vàng

Downloaded by Dung Nguyen ()


lOMoARcPSD|16911810

Bước 8: tô màu cho cạnh thứ 8

Cạnh 8 kề với cạnh 5 (tô màu đỏ), cạnh 7 (tô màu vàng) nên sẽ tô màu xanh lá cây
Bước 9: tô màu cạnh 9

Cạnh 9 kề với cạnh 4 (tô màu xanh lá cây), cạnh 5 (tô màu đỏ) nên sẽ tơ màu xanh da trời
Kết luận: Đồ thị này có thể tô được với 5 màu. Mặt khác Δ = 5 nên đây chính là số màu nhỏ nhất
có thể dùng để tô cạnh của đồ thị trong trường hợp này.
2.3.
Độ phức tạp:
Độ phức tạp của giải thuật là: O (E+V2)

Downloaded by Dung Nguyen ()

lOMoARcPSD|16911810

III.CÀI ĐẶT THUẬT TỐN
Trong phần cài đặt này bài tốn tơ mầu cạnh có 2 cách nhập dữ liệu (bằng file và nhập từ bàn
phím), bài tốn tơ mầu đỉnh cho phép nhập dữ liệu từ file.
Menu chương trình hiển thị các lựa chọn nhập dữ liệu:

1. Bài tốn tơ mầu đỉnh
- Cài đặt:
Đọc dữ liệu từ file: graph.txt
Kết quả sẽ trả ra ở file: coloring.txt
-

Mã nguồn chương trình

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <fstream>
using namespace std;
int n, a[7][7],sm=0,m[7];
void docfile(){ //Dung de doc file, sau do gan vao mang a[][]
int q,p;
ifstream dothi ("C:/data/dothi.txt");
if (dothi.is_open())
{
dothi >> n;
while (!dothi.eof()) //Doc file cho den cuoi file

Downloaded by Dung Nguyen ()