ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D MÔN TOÁN ĐỀ SỐ 4 potx

Trang 1


ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D
MÔN TOÁN
ĐỀ SỐ 4

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2x 3
y
x2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A,
B sao cho AB ngắn nhất .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2. Giải phương trình: x
2
– 4x - 3 =
x5

Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
1
2
1
dx
1 x 1 x

Câu IV (1 điểm)
Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất .
Câu V ( 1 điểm )
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
xyz
. CMR:
111
1
222x y z x y z x y z

PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a.( 2 điểm )
1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm
(3;1)
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :
(d)
x 1 3 y z 2
1 1 2
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t

Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường
thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Câu VIIa . ( 1 điểm )
Tính tổng :
0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0
5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
S C C C C C C C C C C C C

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b.( 2 điểm )

Trang 2

1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C
1
) : (x - 5)
2
+ (y + 12)
2
= 225 và (C
2
) : (x – 1)
2
+ ( y – 2)
2
= 25
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
(d)

xt
y 1 2t
z 4 5t
và (d’)
xt
y 1 2t
z 3t

a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Câu VIIb.( 1 điểm )
Giải phương trình :
5
log x 3
2x

Trang 3

P N S 4

Câu
Nội dung
im
I

2.
0
đ
1
1.
2
5
đ

Hàm số y =
2x 3
x2
có :
- TXĐ: D =

\ {2}
- Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn :
x
Lim y 2
. Do đó ĐTHS nhận đ-ờng thẳng y = 2 làm TCN
,
x 2 x 2
lim y ; lim y
. Do đó ĐTHS nhận đ-ờng thẳng x = 2 làm TCĐ
+) Bảng biến thiên:
Ta có : y =
2
1
x2

< 0
xD











Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
;2
và hàm số không có cực trị
- Đồ thị
+ Giao điểm với trục tung : (0 ;
3
2
)
+ Giao điểm với trục hoành :
A(3/2; 0)

- ĐTHS nhận điểm (2; 2)
làm tâm đối xứng

0,25





0,25






0,25







0,5
2
0,

7
5

Ly im
1
M m;2
m2
C
. Ta cú :
2
1
y' m
m2
.
Tip tuyn (d) ti M cú phng trỡnh :




0,25

8
6
4
2
-2
-4
-5
5
10

y
y
x


-


2
-
2 2
2

Trang 4


2
11
y x m 2
m2
m2

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là :
2
A 2;2
m2

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có :
2

2
2
1
AB 4 m 2 8
m2
. Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)
đ



0,25
đ






0,25
đ
II
2,
0
®
1
1,
0
®
Phương trình đã cho tương đương với :

2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0

sin x cosx
2 1 sinx 1 cosx 0
cosx sinx
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sinx cosx cosx.sin x
0
cosx sin x

23
cosx sinx cosx.sinx 0
cosx sinx

Xét
2 3 3
0 tan x tan x
cosx sin x 2


Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx
với
t 2; 2
. Khi đó phương trình trở thà nh:
2
2
t1
t 0 t 2t 1 0 t 1 2
2

Suy ra :

12
2cos x 1 2 cos x cos
44
2

x2
4




0,25



0,25


0,5


Trang 5

2
1,
0
®
x
2
- 4x + 3 =

x5
(1)
TX§ : D =
5; )

2
1 x 2 7 x 5

®Æt y - 2 =
x5
,
2
y 2 y 2 x 5

Ta cã hÖ :
2
2
2
x 2 y 5
x 2 y 5
y 2 x 5 x y x y 3 0
y 2 y 2

2
2
x 2 y 5
x y 0
5 29
x
2

x 2 y 5
x1
x y 3 0
y2


0,25






0,25







0,5

II
I
1.
0
®
1
®

Ta có :
1
2
1
dx
1 x 1 x
=
11
22
2
2
11
1 x 1 x 1 x 1 x
dx dx
2x
1 x 1 x

11
2
11
1 1 1 x
1 dx dx
2 x 2x


1
1
11
1
1 1 1

I 1 dx ln x x | 1
2 x 2


1
2
2
1
1x
I dx
2x
. Đặt
2 2 2
t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx

Đổi cận :
x 1 t 2
x1
t2

Vậy I
2
=
2
2
2
2
t dt
0
2 t 1

Nên I = 1

0,5




0,5
I
V
2
®

1.
0
®
Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) .
Ta có :

SCA
; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Vậy
3 2 3 2
SABC ABC
1 1 1 1
V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin
3 6 6 6

Xét hà m số : f(x) = x – x

3
trên khoảng ( 0; 1)

0,25







Trang 6

Ta có : f’(x) = 1 – 3x
2
.
1
f ' x 0 x
3

Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hà m số
f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm
cực đại, nên tại đó hà m số đạt GTLN
hay
x 0;1
12
Maxf x f
3 3 3

Vậy MaxV

SABC
=
3
a
93
, đạt được khi
sin =
1
3
hay
1
arcsin
3

( với 0 <
2
)

0,5


V
1.
0
®

+Ta có :
1 1 1 1
2 4 2
.( )

x y z x y z
;
1 1 1 1
2 4 2
()
x y z y x z
;
1 1 1 1
2 4 2
()
x y z z y x

+ Lại có :
1 1 1 1
( );
x y 4 x y


1 1 1 1
( );
y z 4 y z


1 1 1 1
( );
x z 4 x z

cộng các BĐT nà y ta được đpcm.

1®

V
Ia
2
®


1
1
®
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình :
a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a
2
+ b
2
0) . Góc của nó tạo với BC bằng góc
của AB tạo với BC nên :

2 2 2 2 2 2 2 2
2a 5b 2.12 5.1
2 5 . a b 2 5 . 12 1


22
2a 5b
29
5
ab

2
22

5 2a 5b 29 a b

9a
2
+ 100ab – 96b
2
= 0
a 12b
8
ab
9

Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1)
không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác .
Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9
Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0

0,25


0,25





0,25

0,25
A
B
C
S



Trang 7

2
1
®
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ;
6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

x 9 t
y 6 8t
z 5 15t

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP
u 1;1;2


+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP
u ' 2;1;1


Ta có :

MM' 2; 1;3



1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
MM' u,u' 2; 1;3 ; ; 8 0
  

Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó :

MM' u,u'
8
d d , d'
11
u,u'
  
 

0,25



0,25

0,25





0,25
V
II
a

1
đ

Chọn khai triển :
5
0 1 2 2 5 5
5 5 5 5
x 1 C C x C x C x

7
0 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 5
7 7 7 7 7 7 7 7
x 1 C C x C x C x C C x C x C x  

Hệ số của x

5
trong khai triển của (x + 1)
5
.(x + 1)
7
là :

0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0
5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
C C C C C C C C C C C C

Mặt khác : (x + 1)
5
.(x + 1)
7
= (x + 1)
12
và hệ số của x
5
trong khai triển
của
(x + 1)
12
là :
5
12
C

Từ đó ta có :
0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
C C C C C C C C C C C C
=
5
12
C
= 792

.0,25



0,25

0,25


0,25

Trang 8

VIb
2
đ
1
1
đ

Đường tròn (C
1

) có tâm I
1
(5 ; -12) bán kính R
1
= 15 , Đường tròn (C
2
)
có tâm I
2
(1 ; 2) bán kính R
1
= 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0
(A
2
+ B
2
0) là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
) thì khoảng cách từ I
1

và I
2
đến đường thẳng đó lần lượt bằng R
1
và R
2
, tức là :

22
22
5A 12B C
15 1
AB
A 2B C
52
AB

Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C |
Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)
TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay và o (2) :
|2A – 7B | = 5
22
AB

22
21A 28AB 24B 0

14 10 7
AB
21

Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14
10 7
, C =
203 10 7

Vậy có hai tiếp tuyến :

(- 14
10 7
)x + 21y
203 10 7
= 0
TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C)
4A 3B
C
2
, thay và o
(2) ta được : 96A
2
+ 28AB + 51B
2
= 0 . Phương trình nà y vô nghiệm .

0,25




0,25





0,25

0,25
2
1
®
a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP
u 1;2;5


+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP
u' 1; 2; 3


Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là
13
I ;0;
22
hay (d) và
(d’) cắt nhau . (ĐPCM)
b) Ta lấy
u
15 15 15
v .u' ; 2 ; 3

7 7 7
u'

 

.
Ta đặt :
15 15 15
a u v 1 ;2 2 ;5 3
7 7 7
  


15 15 15
b u v 1 ;2 2 ;5 3
7 7 7
  

Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần
lượt nhận hai véctơ
a,b

là m VTCP và chúng có phương trình là :



Trang 9

1 15
x 1 t
27
15
y 2 2 t
7
3 15
z 5 3 t
27
và
1 15
x 1 t
27
15
y 2 2 t
7
3 15
z 5 3 t
27

V
II
b
1
®
ĐK : x > 0
PT đã cho tương đương với : log
5
( x + 3) = log

2
x (1)
Đặt t = log
2
x, suy ra x = 2
t

t t t
5
2 log 2 3 t 2 3 5

tt
21
31
35
(2)
Xét hà m số : f(t) =
tt
21
3
35

f'(t) =
tt
21
ln0,4 3 ln0,2 0, t
35


Suy ra f(t) nghịch biến trên R

Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log
2
x = 1 hay x
=2
Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2

0,25


0,25




0,25



0,25