sobolev nghiem yeu cua phuong trinh elliptic

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC

HOÀNG KIM CHI

KHƠNG GIAN SOBOLEV
NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC

LU N VĂN THẠC SĨ TỐN HOC

Thái Ngun - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




HỒNG KIM CHI

KHƠNG GIAN SOBOLEV
NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC
Chun ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã so : 60.46.36

LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC

NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC

PGS.TS. HÀ TIEN NGOẠN

Thái Nguyên - Năm 2012


i

Mnc lnc
L I CẢM ƠN

1

M ĐAU

3

1 KHƠNG GIAN SOBOLEV

4

1.1 M®t so kien thác chuȁn bị...........................................................4
1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; Wk,p
0 (Ω)....................................................6
1.2.1

Khơng gian Wk,p (Ω)........................................................8

1.2.2

Ví dụ.............................................................................13

1.2.3

Khơng gian W0k,p (Ω)......................................................14

1.3 Định lý nhúng..........................................................................20
1.4 Đánh giá the vị và các định lý nhúng........................................24
2

NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

31

2.1 Khái ni m nghi m yeu..............................................................31
2.1.1

Cơng thác tích phân tàng phan......................................31

2.1.2

Định nghĩa....................................................................... 31

2.1.3

Sự ton tại và duy nhat của nghi m yeu.........................33

2.2 Đ® trơn của nghi m yeu............................................................. 36
2.2.1

Đ® trơn bên trong mien......................................................36

2.2.2

Đ® trơn trên tồn mien...................................................... 40

2.2.3

Nghi m yeu của phương trình elliptic tőng quát...........42

KET LU N

44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




TÀI LI U THAM KHẢO

45


5

L I CẢM ƠN
Lu n văn này được hoàn thành dưới sự hướng dan t n tình và sự chỉ
bảo nghiêm khac của PGS.TS Hà Tien Ngoạn. Tôi xin gải lời cảm ơn chân
thành và sâu sac đen thay giáo.
Tôi cũng xin kính gải lời cảm ơn chân thành đen đen các thay giáo, cô

giáo trong trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên cũng như các
thay cô giáo tham gia giảng dạy khóa hoc cao hoc 2010-2012, nhǎng
người đã đem het tâm huyet và sự nhi t tình đe giảng dạy và trang bị cho
chúng tơi nhieu kien thác cơ sở.
Tôi xin cảm ơn t p the giáo viên trường Đại hoc Hàng Hải nơi tôi
công tác đã giúp đơ, tạo đieu ki n thu n lợi cho tơi trong suot khóa hoc
cũng như q trình làm lu n văn. Cuoi cùng tôi xin chân thành cảm ơn
gia đình, bạn bè thân thiet nhǎng người ln đ®ng viên chia sẻ, giúp tơi
trong suot q trình hoc t p và làm lu n văn.

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012.
Tác giả
Hồng Kim
Chi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Bảng kí hi u.
N: t p so tự nhiên.
Rn: khơng gian n chieu.
H: khơng gian Hilbert.
L: tốn tả tuyen tính.
I: ánh xạ đong nhat.
Dα: đạo hàm b c α.


M ĐAU

M®t so phương trình elliptic cap hai thường được suy ra tà các định
lu t bảo tồn. Do đó, nghi m của phương trình này có the được mở r®ng,
khơng nhat thiet thu®c lớp C2 , mà chỉ can thu®c lớp W

1,2

và thỏa mãn

m®t đȁng thác tích phân với moi hàm thả v thu®c lớp W 1,2
0.
Dựa trên các tài li u [1], [2], lu n văn đã trình bày m®t cách h thong
lý thuyet lớp nghi m suy r®ng cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai
dạng bảo toàn.
Lu n văn gom hai chương I và II. Trong chương I, lu n văn trình bày
các khơng gian Sobolev W k,p (Ω) và W k,p
0 (Ω) cùng các định lý nhúng.
Chương II là n®i dung chính của lu n văn, trong đó trình bày khái ni
m nghi m yeu của phương trình, nghi m yeu của bài tốn Dirichlet và
định lý ve sự ton tại và duy nhat nghi m yeu. Lu n văn cũng trình bày
đ® trơn của nghi m yeu trong đó khȁng định: khi các h so ve phải của
phương trình cho trước trên biên thu®c lớp C ∞ (∂Ω) thì nghi m yeu
u(x) sě khả
vi vô hạn trong Ω.


Chương 1
KHƠNG GIAN SOBOLEV
1.1

M t so kien thfíc chuan bị.

Trong phan này ta sě li t kê m®t so định lý và định nghĩa can thiet:
Định lý 1.1. (Định lý Riesz)Với moi phiem hàm tuyen tính b ch¾n
F trong khơng gian Hilbert H ln ton tại m®t phan tủ xác đ nh duy
nhat f ∈ H sao cho F (x) = (x, f ) với mői x ∈ H và ǁF ǁ = ǁf ǁ và
đong thời ta cũng có:
F (x)
2
(x, f ) =
ǁf
F (f )
ǁ
|(x, f )|
ǁF ǁ = sup
x=0 ǁxǁ
ǁf ǁ

2

=

(f, f )

= F (f ) .

Định lý 1.2. Giả sủ T là ánh xạ tuyen tính compact của khơng gian tuyen
tính đ nh chuȁn V vào chính nó. Khi đó ho¾c:
i) phương trình thuan nhat x− Tx = 0 có nghi m khơng tam thường x ∈ V
ho¾c:
ii) với moi y ∈ V phương trình x − Tx = y có nghi m được xác đ nh duy

nhat x ∈ V .
Hơn nũa, trong trường hợp ii) toán tủ (I − T )−1 mà sự ton tại của nó đã
được khȁng đ nh là b ch¾n.
Định lý 1.3. (Định lý Lax-Milgram) Giả sủ B là dạng song tuyen tính


búc, b ch¾n trên khơng gian Hilbert, túc là
i)∃M > 0 : |B (x, y)| ≤ M ǁxǁ ǁyǁ , ∀x, y ∈ H
ii)∃λ > 0 : B (x, x) ≥ λx2 , ∀x ∈ H.
Khi đó, với moi phiem hàm tuyen tính b ch¾n F ∈ H∗, ton tại duy nhat
m®t phan tủ f ∈ H sao cho:
B (x, f ) = F (x) với moi x ∈ H.
Định lý 1.4. Giả sủ H là không gian Hilbert và T là ánh xạ compact tù
H vào chính nó. Khi ú, ton ti mđt tắp em c R khơng có điem
giới hạn trù ra có the λ = 0 sao cho: neu λ 0, λ ∈/ Λ phương trình
λx − Tx = y, λx − T ∗x = y

(1.1)

có nghi m xác đ nh duy nhat x ∈ H với moi y ∈ H và các ánh xạ
ngược (λI − T )−1, (λI − T ∗)−1 b ch¾n. Neu λ ∈ Λ, các không gian con
không của ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có so chieu dương và hũu hạn, cịn
phương trình (1.1) giải được neu và chí neu y trực giao với khơng gian
con không của λI − T ∗ trong trường hợp thú nhat và của λI − T trong
trường hợp còn lại.
Định lý 1.5. Mđt dóy b chắn trong khụng gian Hilbert chúa m®t dãy con
h®i tự yeu.
Định nghĩa 1.1. Tốn tả vi phân đạo hàm riêng cap hai dạng khơng
bảo tồn có dạng:
Lu = aij (x) Diju + bi (x) Diu + c (x) u; aij = aji

trong đó x = (x1, ..., xn) nam trong mien Ω của Rn, n ≥ 2.
L là elliptic tại điem x ∈ Ω neu thỏa mãn ma tr n aij (x) là xác định
dương. V y neu λ (x) , ∆ (x) lan lượt là giá trị cực tieu và cực đại của các
giá trị riêng của aij (x) khi đó:
2

0 < λ (x) |ξ| ≤ aij (x) ξiξj ≤ ∆ (x) |ξ|

2


với moi ξ = ξ1, ..., ξn ∈ Rn\ {0}.
Neu λ > 0 trong Ω, khi đó L là elliptic trong Ω và elliptic ng t neu
λ ≥ λ0 > 0 với hang so λ0 > 0.
Định lj 1.6. Cho L là elliptic ng¾t trong mien Ω b ch¾n, với c ≤ 0, f và
các h so của L thu®c vào C α Ω . Giả sủ rang Ω là m®t mien của C2,α
và ϕ ∈ C2,α Ω . Khi đó, bài tốn Dirichlet
Lu = f trong Ω,

u = ϕ trên ∂Ω

có duy nhat nghi m nam trong C2,α Ω .
Định lj 1.7. Cho Ω là m®t mien Ck+2,α (k

0) và ϕ Ck+2,α Ω . Giả
≥∈
sủ u là m®t hàm thu®c C0 Ω C2 (Ω) thóa mãn Lu = f trong Ω. u = ϕ
∩
trên ∂Ω, trong đó f và cỏc h so ca toỏn t elliptic ngắt thuđc Ck, Ω .
Khi đó u ∈ Ck+2,α Ω .

1.2

Khơng gian Wk,p (Ω) ; W0 k,p (Ω).

M®t trong nhǎng bài tốn quan trong của phương trình đạo hàm riêng là
phương trình Poisson:
∆u = f

(1.2)

Nghi m của phương trình (1.2) thỏa mãn đong nhat thác tích phân:
∫
∫
DuDϕdx = −

fϕdx

Ω

trong đó

Ω

u = u (x1, ..., xn) là ȁn hàm,
f = f (x1, ..., xn) là hàm so được cho trước,
ϕ = ϕ (x1, ..., xn) ∈ C 1 0(Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục và có
giá compact,
n ∂2u
Σ

∆u =
,
2
i=1 ∂x i


Du =

∂u

, ...,
∂x1

DuDϕ =
Đt

∂u
∂xn

,

n ∂ϕ ∂u
Σ
.
.
∂xi
i=1
∂xi

∫

(u, ϕ) =

DuDϕdx.

(1.3)

Ω

Đe nghiên cáu nghi m của phương trình Poisson ta xem xét m®t cách tiep
c n khác đoi với phương trình này.
∫
Dạng song tuyen tính (u, ϕ) = DuDϕdx là m®t tích trong của khơng
Ω

gian C 1 (Ω) và bao đóng của C 1 (Ω) theo metric cảm sinh bởi (1.3) là
0

0

không gian Hilbert mà người ta kí hi u là W01,2 (Ω).
Hơn nǎa, phiem hàm tuyen tính F được định nghĩa bởi:
∫
F (ϕ) = − fϕdx
Ω

có the được mở r®ng đen m®t phiem hàm tuyen tính bị ch n trên khơng
gian W1,2 (Ω). Theo Định lý Riesz ton tại m®t phan tả u ∈ W1,2 (Ω) thỏa
0

0

1

mãn (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ C 0 (Ω).
Do đó sự ton tại nghi m suy r®ng của bài tốn Dirichlet:
∆u = f
u = 0 trên ∂Ω
thực sự được thiet l p.
Van đe ve sự ton tại nghi m cő đien được chuyen đői tương áng thành
các van đe ve tính chính quy của nghi m suy r®ng theo đieu ki n biên trơn
thích hợp. Định lý Lax-Milgram sě được áp dụng đoi với phương trình
elliptic tuyen tính theo dạng bảo tồn. Tương tự như vi c áp dụng Định
lý Riesz ở trên bang các lí lu n khác nhau dựa trên đong nhat thác tích
phân, ket quả chính quy sě được thiet l p.


Tuy nhiên trước khi thực hi n m®t cách cụ the, ta đi khảo sát lớp các
khơng gian Sobolev, đó là Wk,p (Ω) và Wk,p (Ω) mà W1,2 (Ω) là m®t
trường hợp

0

0

riêng.

1.2.1

Khơng gian Wk,p (Ω).

Cho Ω ⊂ Rn là mien bị ch n,
x = (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ Ω.
a. Không gian Lp (Ω);(1 ≤ p < +∞).
Lp (Ω) là không gian Banach cő đien gom các hàm đo được trên Ω và p-khả
tích. Tác là:

∫

p

|u (x)| dx < +∞.
Ω

Chuȁn của Lp (Ω) được đ nh nghĩa bới:
ǁuǁLp (Ω) = ∫ |u| dx ,

1/p

p
Ω

trong đó |u (x)| là giá trị tuy t đoi ho c mođun của u (x).
Khi p = +∞; L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị ch n trên Ω với
chuȁn:
ǁuǁ∞,Ω = ǁuǁL∞(Ω) = sup |u| .

(1.4)

Ω

Khi khơng có sự nh p nhang, chúng ta sě dùng ǁuǁp thay cho ǁuǁLp(Ω):
Bat đȁng thúc Young:
|a|p

q

|b|
|ab| ≤
(1.5)
+ q
p
1 1
+ = 1.
trong đó p, q ∈ R; p > 0, q > 0 thỏa
p q
mãn:
Khi p = q = 2; (1.5) chính là bat đȁng thác Cauchy. Thay the a bởi ε1/pa,


b bởi ε−1/pb, với ε > 0 khi đó (1.5) trở thành bat đȁng thác n®i suy:
p

(1.6)

uvdx ≤ ǁuǁpǁvǁq

(1.7)

|ab| ≤ ε|a|p
p

∫
Bat đȁng thúc
Holder:

q

ε−q/p|b| ≤ ε|a| + ε−q/p|b|
q
q
+

Ω

1
= 1,
với u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω) và +
p q
1
(1.7) là h quả của bat đȁng thác Young, khi p = q = 2, bat đȁng thác
Holder trở thành bat đȁng thác Schwarz.
Bat đȁng thác Holder sả dụng trong trường hợp tőng quát đoi với m hàm
u1, u2, ..., um nam trong không gian Lp1 , Lp2 , ..., Lpm như sau:
∫
|u1u2...um| dx ≤ ǁu1ǁp1 ǁu2ǁp2 ...ǁumǁpm
với

1
p1

+

1
p2

Ω

+ .... +

1
p

(1.8)

= 1.

m

Bat đȁng thác Holder cũng được sả dụng đe nghiên cáu chuȁn trong Lp
khi coi đó là các hàm của p:

p

∫φ

1
(u) =
|Ω|

 1/p
p


|u | dx

.

(1.9)

Ω

Với p > 0, φp (u) là hàm không giảm theo p, với u co định.
Không gian Lp (Ω) là khả li khi p < ∞, C0 Ω là không gian con trù m
t trong Lp (Ω).
Không gian đoi ngau của Lp (Ω) khi 1 < p < ∞ đȁng cau với Lq (Ω),
1
= 1. Vì the Lq (Ω) khi 1 < p < +∞ được coi là liên hợp
1
trong đó +
p q


của Lp (Ω). Do đó, Lp (Ω) là phản xạ khi 1 < p < ∞
Khi p = 2, L2 (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng:
∫
(u, v) = u (x) v (x)dx.
Ω


2

∫

(u, u) = ǁuǁ =

|u (x)|2 dx.

Ω
p

Định lj 1.8. (đ nh lý nhúng L (Ω)) Giả sủ Ω là mien b ch¾n và 1 ≤
p1 < p2. Khi đó, Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) và ánh xạ nhúng
j : Lp2 (Ω) ›→ Lp1 (Ω)
là liên tực.
Chúng minh: Giả sả u ∈ Lp2 (Ω) ta can cháng minh u ∈ Lp1 (Ω) hay
∫ p
|u| 1dx < +∞.
Ω
, ta có:

Áp dụng bat đȁng thác Holder với p =

p2

,q =

p2
∫

∫

p

p1

∫

p

p2 −
p1

pp

1/p

|u| 1 dx = Ω |u| 1 .1dx
≤

|u|

1

dx ∫

1/q

1/q

∫
.

p

1qdx
1/p

|u| 2 dx
= (mesΩ)
Vì Ω bị ch n và u ∈ Lp2 (Ω) nên
 1/p
1/ ∫
|u| p2 dx
< +∞
(mesΩ)q
V y u ∈ Lp1 (Ω).
Tà (1.10) ta suy ra:
Ω

∫

p

|u| dx

1/p1

≤
(mesΩ)

1/q

p1

.

Ω

∫

|u|

(1.10)


1/pp1

p2

dx
∫
1/qp
|u| p2 dx
= (mesΩ) 1

1/p2

⇔ ǁuǁLp1 (Ω) ≤ (mesΩ)1/qp1 .ǁuǁLp2 (Ω)
(1.11) cháng tỏ ánh xạ j : Lp2 (Ω) ›→ Lp1 (Ω) là liên tục
−1/p2
và ǁjǁ ≤ (mesΩ)1/qp1 = (mesΩ)1/p1
.

(1.11)


*Không gian Lp (Ω).
lo
c

Cho Ω là t p mở trong Rn, k là so nguyên không âm. Không gian Holder
Ck,α

Ω Ck,α (Ω) được định nghĩa như m®t khơng gian con của khơng

gian C k Ω

C k (Ω)

gom có các hàm mà đạo hàm riêng b c k liên tục

Holder đeu (liên tục Holder địa phương) với so mũ α trong Ω. Đe đơn
giản ta kí hi u:
C0,α (Ω) = C α (Ω) ,

C0,α Ω = C α Ω .

được hieu với 0 < α < 1 moi khi kí hi u này được dùng neu khơng nói
ngược lại.
Hơn nǎa, đ t
Ck,0 (Ω) = C k (Ω) ,

Ck,0 Ω = C k Ω .
k

Chúng ta có the g®p khơng gian C (Ω) (C Ω ) vào ho các không gian
C k (Ω) (Ck Ω ) với 0 ≤ α ≤ 1. Chúng ta cũng kí hi u khơng gian C0k,α (Ω)
của hàm trên Ck,α (Ω) là giá compact trong Ω.
Các không gian Ck,α (Ω) ở trên là không gian địa phương.
Cho ρ là m®t hàm khơng âm trong C ∞ (Rn), tri t tiêu bên ngồi hình cau
∫
B1 (0) và thỏa mãn ρdx = 1. M®t hàm như v y thường được goi là m®t
nhân trung bình hóa. M®t ví dụ đien hình là hàm ρ được đưa ra bởi:
ρ (x) =

( c exp

1
2

|x| −1

0

với |x| ≤ 1
với |x| ≥ 1

trong đó c được chon đe ∫ ρdx = 1 và có đo thị là hình quả chng quen
1
(Ω) và h > 0, chuȁn của u bieu thị bởi uh, sau đó được
thu®c. Với u ∈ Llo

c

xác định bởi tích ch p
uh (x) = h−n ∫
Ω

ρ

x−
h y

u (y) dy

với đieu ki n là h < dist (x, ∂Ω). Rõ ràng là uh thu®c C ∞ (Ω′) với moi
Ω′ ⊂⊂ Ω với đieu ki n là h < dist (Ω′, ∂Ω). Hơn nǎa, neu u thu®c L1 (Ω),


Ω bị ch n thì uh nam trong C0∞ (Rn) với h > 0 tùy ý. Khi h tien đen 0
hàm y ›→ h−nρ (x − y/h) tien đen hàm suy r®ng delta Dirac tại điem x.
Bo đe 1.9. Cho u ∈ C 0 (Ω). Khi đó, uh h®i tự đen u trên bat kì mien
Ω′ ⊂⊂ Ω.
Bo đe 1.10. Cho u ∈ Lp (Ω), p < ∞. Khi đó uh h®i tự đen u trong ý
nghĩa của Lp (Ω).
*Đạo hàm yeu.
Cho u khả tích địa phương trong Ω và đa chỉ so α bat kì. Khi đó m®t hàm
v khả tích địa phương goi là đạo hàm yeu b c α của u neu thỏa mãn
∫
∫
|α|
ϕvdx = (−1)

uDαϕdx với moi ϕ ∈ C0|α| (Ω).
Ω
Ω

Ta kí hi u v = Dαu và chú ý rang Dαu là xác định duy nhat chính xác
đen m®t t p có đ® đo khơng. Nhǎng liên h theo tàng điem liên quan
đen đạo hàm yeu sě được hieu là thỏa mãn hau khap nơi. Chúng ta goi
m®t hàm là khả vi yeu neu tat cả các đạo hàm yeu b c nhat của nó ton
tại và với khả vi yeu b c k, neu tat cả các đạo hàm yeu b c nhỏ hơn ho
c bang k ton tại. Ta kí hi u khơng gian tuyen tính các hàm khả vi yeu b
c k là W k (Ω). Rõ ràng C k (Ω) ⊂ Wk (Ω). Khái ni m đạo hàm yeu là
m®t
mở r®ng của khái ni m cő đien mà phép lay tích phân tàng phan van còn
đúng.
Bo đe 1.11. Cho u ∈ L1 (Ω), α là m®t đa chí so, và giả sủ rang ton tại
Dαu. Khi đó neu d (x, ∂Ω) > h, ta có
Dαuh (x) = (Dαu)h (x) .
Định lj 1.12. Cho u và v khả tích đ a phương trong Ω. Khi đó v = Dαu
neu và chí neu ton tại m®t dãy hàm {um} của C∞ (Ω) h®i tự đen u
trong L1 (Ω) mà đạo hàm Dαum h®i tự đen v trong L1 (Ω).
b. Không gian Wk,p (Ω) .
Không gian Wk,p (Ω) được định nghĩa:


Với k ∈ N; 1 ≤ p < +∞, đ t
Wk,p (Ω) = u (x) ∈ W k (Ω) ; Dαu ∈ Lp (Ω) ∀α : |α| ≤ k

}

. (1.12)

Trong đó α = (α1, α2, ..., αn) ;
αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + ... + α∂
n
Dαu = Dα1 Dα2 ....Dαn ; D =
.
x1 x2
xn
∂xj
xj

Khi đó chuȁn của u ∈ W k,p (Ω) được định nghĩa bởi
|D αu| p 
ǁuǁk,p;Ω = ǁuǁWk,p (Ω) = ∫
|Σα|
≤k

M®t chuȁn tương đương là:
ǁuǁpWk,p(Ω)

Σ
α
=
|α|≤k
ǁD uǁ

1/
p

.

(1.13)

dx

p
.
Lp(Ω)

(1.14)

Nh n xét: Neu k1 < k2 thì Wk2,p ⊂ Wk1,p.

1.2.2

Ví dn.

Ví dự 1:
Cho k=0. Khi đó, ta có:
W0,p (Ω) = Lp (Ω) .
Ví dự 2:
Cho k=1. Khi đó, ta có:
W

1,p

p

p

(Ω) = u (x) ; u (x) ∈ L (Ω) ; Dxj u ∈ L (Ω) ∀j

và
ǁuǁpW

= ǁu

1,p(Ω)

(x)ǁ

p

n
Σ
Lp(Ω) + ¨

Dxj
j=1

u¨pLp(Ω).

}


Ví dự 3:

p

u ∈ L (Ω)

Cho k=2. Khi đó, ta có:
j

}

j k

W2,p (Ω) = u (x) ; u (x) , Dx u, Dx
x

v

= u
upW

(x)

p
Lp()

n

+
ă

Dxj

2,p()

uăLpp()

n

+
ă

j,k=1

Dxjxk

uăpLp().

j=1

1.2.3

Khụng gian Wk,p
0 () .

Khụng gian Banach Wk,p (Ω) phát sinh do vi c lay bao đóng của C k (Ω)
0

0

trong Wk,p (Ω). Wk,p (Ω) , Wk,p0(Ω) không trùng nhau đoi với mien Ω bị
ch n.
Đ c bi t, p = 2, Wk,2 (Ω) , Wk,2 (Ω) (đơi khi kí hi u là H k (Ω) , H k (Ω)) là
0

0

các khơng gian Hilbert với tích vơ hướng:
Σ
(u, v) = ∫
DαDαdx
u

k

Ω |α|
≤k

v

Các tính chat giải tích hàm của Wk,p (Ω) , W0k,p

(1.15)
được suy ra khi xem xét

phép nhúng tự nhiên các khơng gian này vào trong tích của Nk bản sao
của Lp (Ω), trong đó, Nk là so các chỉ so α thỏa mãn |α| ≤ k. Dùng sự
ki n tích hǎu hạn và các khơng gian con đóng của khơng gian Banach tách
được (phản xạ) là các không gian Banach tách được (phản xạ) ta suy ra
không gian Wk,p (Ω) , Wk,p0 (Ω) là tách được với 1 ≤ p < ∞ (phản xạ neu
1 < p < ∞).
C0∞ (Ω) = {u
a. Không gian C0∞ (Ω) .
(x) ∈ C ∞ (Ω) ,
u (x) = 0

trong lân c n của biên ∂Ω}.
b. Không gian Wk,p
0 (Ω) .

(1.16)
W (Ω) là khơng gian sinh bởi bao đóng của C (Ω) trong W (Ω).
k,p

0

k

0

k,p


Kí hi u: Wk,p (Ω) = C k (Ω).
0

0

Khi đó
k,p

W 0 (Ω) =

u (x) ; u (x) ∈ W

k,p

}

α

(Ω) , D u| ∂Ω = 0, |α| ≤ k − 1 . (1.17)

Trường hợp khi p = +∞, không gian Sobolev và Lipchitz có moi quan h
với nhau, cụ the là:
Wk,∞
(Ω) = Ck−1,1 (Ω)
lo

với Ω tùy ý

c

Wk,∞ (Ω) = Ck−1,1 Ω với Ω đủ trơn
Bat đang thfíc Poincare: Giả sủ Ω là mien b ch¾n và p ≥ 1. Khi đó,
ton tại so c > 0 sao cho:
ǁuǁLp(Ω) ≤ c.
Chúng minh: Bởi vì:

n
Σ
j=1

ǁDjuǁLp(Ω)

∀u ∈ C0∞ (Ω)

(1.18)

Lp (Ω) = C0∞ (Ω)

nên chỉ can cháng minh (1.16) cho u ∈ C0∞ (Ω). Bao Ω bởi hình h®p chǎ
nh t D và xem u (x) ≡ 0 ngoài Ω.
Giả sả D = {x = (x1, ..., xn ) : aj ≤ xj ≤ bj , j = 1, 2, ..., n}.
Vì u(x1, ..., xn−1, an) = 0 nên theo công thác Newton - Leibniz cho ta:
∫x

u (x1, x2, ..., xn) = n Dnu (x1, ..., t) dt
an


Đ t x′ = (x1, .., xn−1) suy ra:
∫x

|u (x , xn)| ≤
′

n

1. |Dnu (x′, t)| dt

an



p
⇒ |u (x′, xn)| ≤ 

1. |Dnu (x′, t)| dt
an



n

p

∫xn

1/p

∫x
 a |Dn u (x′ , t)|p dt
≤ 
n

∫ xn




an

= |xn − an|

∫ xn
|Dnu (x′, t)|pdt

p/q

an

∫bn
|Dnu (x′, t)|pdt
≤ (bn − an)p/
q

an

1/q 
1q dt

p

(1.19)


Tích phân hai ve (1.18) trên D ta có:
∫

|u (x , xn)| dx ≤
′



∫

p

 (bn − an)p/q

an

D



∫



=

∫bn |Dn u (x′ , t)|p dt dx

∫

bn

p/q ∫

bn

(bn − an)

an

an

D′

p/q+1



∫
D′

(bn − an)

∫

bn

an

= (bn − an)

=

p/q+1

(bn − an)

|Dn u (x′, t)|p dt dx′

∫
|Dnu (x′, t)|pdx
D

=

|Dn u (x′.t)|p dt dx′

p/q+1

∫

|Dnu (x)| pdx

D

(bn − an ) |Dn u|Lp (D)

⇒ ǁuǁLp (D) ≤
Σ

(1.20)

n

≤(bn −an) j=1 D
ǁ ju
ǁ

Lp(D)

Với moi hàm u ∈ C0∞ (Ω) ta có |u|Ll (D) = |u|Lp (Ω) nên tà (1.20) ta suy
ra (1.18).
Hai chuan tương đương trong W01,p (Ω):
α
ǁuǁpWk,p(Ω) Σ
=
|α|≤k
ǁD uǁ

ǁ|u|ǁ
W

k,
p

(Ω)

=

Σ

p

|α|
≤k

α

p
Lp(Ω)

ǁD uǁ

(1.21)
(1.22)


L (Ω)

Hai chuȁn trên là tương đương tác là ∃c1, c2 ∈
R∗+
c1 ǁuǁ ≤ ǁ|u|ǁ ≤ c2 ǁuǁ

sao cho:
(1.23)