Toán cao cấp chương 4 hàm nhiều biến đại học UEH Thầy Vân

CHƢƠNG IV. HÀM NHIỀU BIẾN
4.1 Khái niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn)

4.2 Đạo hàm riêng của y = f(x1,x2,…, xn)
 Cấp 1
f(x10 ,...,x i01 ,x i0  x i ,x 0i1 ,...,x 0n )  f(x 10 ,x 02 ,...,x 0n )
f(x 0 )
fx (x ) 
 lim
x  0
x i
x i
0

i

 Caáp 2:

i

fx x

i j

 Caáp 3:

(fx )

(f)
2f




x j
x ix j x ix j

fx x x 
i j k

i

(fx x )
i j

x k

(fx )

3f


x j x k x ix j x k
i

fx x  fx x , i, j  1, 2,..., n
i j

j i

i, j, k = 1, 2, …, n

Tính chất (Định lý Schwarz): Nếu các đạo hàm riêng là liên tục thì
chúng khơng phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm  chúng bằng nhau.
1


2) Cách tính đạo hàm riêng : thực chất là tính đạo hàm
của hàm một biến (khi ta xem các biến số kia là hằng số
)

Bài toán 1:

Tính đạo hàm riêng :

Bài 1.1: Cho u2) x 2
Tìm

2)

3xy

4y2 x +2y

1.

u, u.
x
y

Giải: Xem y là hằng số, ta có u 2x 3y 1

x

Xem x là hằng số, ta được:

u
y

3x 8y 2

2


CHƢƠNG IV. HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 1.2. cho hàm:
Tính:

 Giải:

u

2y x

3y2.3 z 2

u, u , u
x y z
ux

2y 1

y

2 x

x

6y.3 z 2

uy

2 x

uz

2y2. 31

z

3


Đề thi K.37.Hàm f(x,y) nào sau đây thỏa phương trình
f
f
x y 0
x
y

A. f(x,y) =

x 2  y2

B. f(x,y) = ln(x.y)

C.f(x,y) =

x
y

y
x

D. Cả ba câu trên đều sai

Giải: Xét

4


2. Đạo hàm riêng cấp cao
2.1 Khái niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn)
 Caáp 2:

 Caáp 3:

f

(fx )

''

(f)
2f



x j
x ix j x ix j
i

xix j

fx x x 
i j k

(fx x )
i j

x k

(fx )

fxx  fxx , i, j  1, 2,..., n

3f


x j x k x ix j x k
i

i j

j i

i, j, k = 1, 2, …, n

2.2 Tính chất (Định lý Schwarz): Nếu các đạo hàm
riêng cấp hai là liên tục thì chúng khơng phụ thuộc vào
thứ tự lấy đạo hàm  chúng bằng nhau.

5


2. Đạo hàm riêng cấp cao
Bài 2.2 Cho hàm

Tính:
 Giải:

fx , fxy , fy
2

fx 

2

f
f
2
2


 12x  6xy  3y ,fy   3x 2  6xy  3y 2
x
y

(fy )
(fx )
(fx )
fx 
 24x  6y,fxy 
 6x  6y,fy 
 6x  6y
x
y
y
2

2

6


Bài 2.2. Cho hàm: u arctg x y
1 xy

2u
Tìm
x y

K.39,Câu 03 : Cho hàm số f (x; y)  e3x 2y . Thì

A. d 2f (x; y)  e3x 2y 9dx 2  6dxdy  4dy 2 
B. d 2f (x; y)  e3x 2y 9dx 2  12dxdy  4dy2 
C. d 2f (1;1)  e 9dx 2  12dxdy  4dy 2 
D. Các câu kia đều sai
d2f (1,1)

fxx (1,1)dx 2 2fxy(1,1)dxdy

fyy(1,1)dy2

7


àn

3. Vi phân tịan phần
3.1 Định nghĩa:
3.2 Cơng thức tính:

df(x,y)  fxdx  fydy,d 2 f(x,y)  fx d 2x  2fxy dxdy  fy d 2y
2

Bài toán 3:

2

Tính vi phân toàn phần :

Tìm du
1) u x 2 2y

2). u

Giải:

arctg xx yy 3) u x y2z
1) u 2x, u 2y ln2 , Vậy du 2x.dx 2y ln2.dy
x
y
8


y
1
. 2y
2 (x y)2
x 2 y2
x
y
1 x y
u
1
x
. 2x
2 (x y)2 x 2 y2
y
x
y
1 x y
u dx
u dy xdy ydx

Từ ñoù: du
x
y
x 2 y2
2)

u
x

9


u dx
u dy
u dz Trong đó :
z
x
y
u y2zx y2z 1 ; u xy2z lnx.2yz ;
x
y
u x y2z ln x.y2
z

3. Ta có du

Vậy:

2
2

2
y
z
1
y
z
y
2
du y zx
dx x
lnx.2yzdy x z lnx.y2dz

10


11


4.Cực trị của hàm nhiều biến
4.1 Cực trị địa phƣơng
a) Định nghĩa:
b) Điều kiện để hàm đạt cực trị
+ Điều kiện cần
+ Điều kiện đủ
4.2 Cực trị toàn cục
a) Định nghĩa:
b) Điều kiện để hàm đạt cực trị
+ Điều kiện cần
+ Điều kiện đủ
12

Bài 2.2 Cho hàm
Tìm cực trị của hàm:

 Giải:

G

là
G3 điểm
Vậy dừng

Giải : Ta có
Giải hệ phương trình :

Vậy

là 3 điểm dừng

Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm M bất kỳ

13


16 0
Ma trận Hesse : H
0 2
H
16 0

1
Ta có:
.
H
H
32 0
2
Vậy hàm không đạt cực trị địa phương tại Mo(0,0)

Tại Mo(0,0)

+ Tại Mo(2,0),Mo( 2,0),

Ma traän Hesse :H

H 32 0
32 0
1
ta có :
,
0 2
H H 64 0
2

hàm đạt cực tiểu địa phương

14


 Đề thi :Hàm u f (x,y)

x 3 xy y3
A. f Đạt cực tiểu địa phương tại điểm (1/3,1/3)
B) f Đạt cực đại địa phương tại điểm (0,0)
C) f Đạt cực đại địa phương tại điểm (1,3)
D. Đạt cực đại địa phương tại điểm (1/3,1/3).
 Hàm u

f (x,y) x y

xy
xy x y

Số điểm dừng của f là
A. 4 B.0 C.2 D.6

15


4. Cực trị tòan cục
Bài 4.2 Cho hàm

u

x 2 2x y2

Tìm cực trị của hàm:
 Giải:

Ta có :

u
x

2x 2,

u
y

2y

Giải hệ phương trình :

Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm M bất kỳ
Ma trận Hesse tại M bất kỳ

2u
2u
2,
2,
2
2
x
y

2u
x y

0

H 2 0

1
Vậy hàm đạt cực tiểu tòan cục tại Mo(1,0)
16
H
H 4 0
2


 Đề thi : Hàm u f (x,y) 2x 2 3y 4 thì
A. f có cực tiểu toàn cục tại (0,0)
B. f không có điểm dừng
C. Vì H 2 0 tại (0,0) nên f không đạt cực trị tại (0,0)
D. f có điểm dừng tại (0,0) nhưng không đạt cực trị tại
(0,0)

17


3. Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số
thực :
C1: Bài toán tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc

g(x,y) go có thể giải bằng cách từ ràng buộc, rút y theo
x (hay x theo y) và thế vào f. Từ đó, bài toán đưa về việc
tìm cực trị của hàm một biến.
C2ù: Tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc
g(x, y) = go ( giả sử g0 > 0)
Trước tiên, ta lập hàm Lagrange :

L x,y;

(

f x,y

go

g x,y

gọi là nhân tử Lagrange)

Ta thấy cực trị của hàm f với ràng buộc g(x, y) = go cũng
chính là cực trị của hàm Lagrange L.

18


Điều kiện cấp 1 : Nếu L đạt cực trị địa phương tại (xo,yo,

'
)
thì
L
o
x

0, Ly'

0 và L'

0 hay dL

0 tại (xo, yo,

o)

Điều kiện cấp 2 :
Ta định nghóa Hesse bao như sau :

H

H2

"
Lxx
"
Lyx
L"
x

"
Lxy
"
Lyy
L"
y

"
Lxx
L''

x

L''
x
L"
y
L''

L''
x , H3
L''

Đặt

H

Ta có các định lý sau : Taïi (xo, yo,

o

),
19


 Nếu dL(xo, yo, ) = 0 và H 2

0 H3

0 thì L đạt

cực đại địa phương tại (xo, yo, o ).
 Nếu dL(xo, yo, ) = 0 và H 2 0 , H 3

0 thì L đạt

cực tiểu địa phương tại (xo, yo, o ).
 Nếu dL(xo, yo, ) = 0 và H 2 0 , H 3

0,

o

o

o

x,y,

thì (xo,yo ) là điểm cực đại toàn cục của f với ràng buộc

g(xo,yo )

go .

Nếu dL(xo, yo, ) = 0 và H 2
o

0, H 3

0,

x,y,

thì

(xo,yo ) là điểm cực tiểu toàn cục của f với ràng buộc
g(xo,yo ) go .
20


Bài toán 5:

U (x,y) 2x

Tìm cực trị có điều kiện của các hàm :
3y với ràng buộc 2x 2 4y2 17

Giải:
Trước tiên, ta lập hàm Lagrange :

L x,y;

f x,y

go g x,y

(17 2x 2 4y2)
0, Ly' 0,L' 0 , ta có hai điểm dừng
Giải hệ Lx'
2x

3y

(2,3/2,1/4);
(-2,-3/2,-1/4)
+B2: Tính các đạo hàm riêng cấp 2

Lxx
Lyy

4 ,Lxy
8 ,Ly

0,3 8y ,Lx
8y,L
0

4x,

21


+ Tại (2,3/2,1/4) ta có

"
"
Lxx
Lxy
"
"

H Lyx
Lyy
L"
L"
x
y
"
Lxx
L''
x
H2
L''
L''
x

L''
x
L"
y
L''
64

1
0

0;

0
2

8
12

8

12

H3

H

0

272

0

Hàm đạt cực đại địa phương có điều kiện tại (2,3/2)
+Tương tự hàm đại cực tiểu địa phương có điều kiện tại (-2,3/2)

22


Ứng dụng giải bài tốn kinh tế
Bài toán:1
Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu
thụ trên 2 thị trường riêng biệt. Giả sử các hàm cầu trên 2
thị trường 1 và 2 lần lượt là:
QD1 = 310 - P1, QD2 = 235 – 1/2P2
hàm tổng chi phí là C(Q) = Q2 + 30Q + 20.

Trong đó Pi là đơn giá trên thị trường thứ i, i = 1, 2 ; Q là
tổng sản lượng.
Tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho các thị
trường để lợi nhuận cao nhất ?
23


9L1/3K1/3 L 0,03K
1/3
2/3
3L
K
1; /
3L1/3K
K

Giải : Ta có :

/
L

Ta có điều kiện cần để

/
L
/
K
K
L2
L

K2

3L 2/3K 1/3 1

2/3 0,03

đạt cực trị tại (L,K) laø :

0 vaø

3L1/3K 2/3 0,03

0

(1/3)2

K

(0,01)3

L (0,01)3K 2 (0,03)3L4

(L /3)2

K

30.000

L 900 vì L 0

24


Ta có ma trận Hesse :

H

//
LL
//
KL

//
LK
//
KK

2L 5/3K 1/3 L 2/3K 2/3
L 2/3K 2/3

2L1/3K 5/3

Điều kiện cấp 2 :

H
2

H
2L 5/3K1/3 0
1

4L 4/3K 4/3 L 4/3K 4/3 3L 4/3K 4/3 0 do L 0, K

Suy ra
cục tại : K

lõm ngặt toàn cục. Do đó,

30.000 và L

đạt cực đại toàn

900
25