Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lâm đồng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÂM ĐỒNG
NĂM HỌC 2022-2023
MƠN THI: TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1. (4,0 điểm)
A = 10 + 24 + 40 + 60.

1.1

) Cho biểu thức
ba căn thức bậc hai

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của

1.2

) Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học

2022 − 2023,

số thí sinh đăng ký dự

THPT

thi vào trường
chuyên A nhiều gấp rưỡi số thí sinh đăng ký dự thi vào

trường THPT chuyên B. Biết rằng tổng số phòng thi của cả hai trường là 50
phịng thi và mỗi phịng thi có đúng 24 thí sinh. Tính số thí sinh đăng ký dự thi
vào mỗi trường
Câu 2. (4,0 điểm)
2023n3 − n

n

2.1 ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì
chia hết cho 6
2.2. Bạn Thanh mua một số quyển vở và một số cây bút hết tất cả là 263 nghìn
12

đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 13 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là nghìn đồng.
Hỏi bạn Thanh mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút ?
Câu 3. (5,0 điểm)
3.1. Cho tam giác
tích tam giác

ABC ,

ABC

nhọn có

∠ABC = 60°

AKHC

biết diện tích tứ giác

bằng

2

( là ẩn,

m

trị ngun của để phương trình có hai nghiệm
Câu 4. (4,0 điểm)

(

30cm

x − ( 2m − 3) x + m − 3m = 0 x
2

3.2 Cho phương trình :

, hai đường cao là

)(

x1 , x2

AH

và CK. Tính diện

2

m

thỏa

là tham số). Tìm các giá

2018 < x1 < x2 < 2023

)

x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7 x + 10 − 3 = 0

4.1 Giải phương trình

50cm,80cm

4.2 Cho một tấm bìa hình chữ nhật có hai kích thước là
. Một người
muốn làm một chiếc hộp đựng quà bằng cách cắt bốn góc của tấm bìa bốn hình
vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng
x

x ( cm )

, rồi gập lại để được một

chiếc hộp khơng nắp. Tìm độ dài để chiếc hộp thu được có thể tích lớn nhất

Câu 5. (3,0 điểm)


5.1 Cho

a , b, c

là các số đương thỏa mãn điều kiện
P=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5.2 Cho tam giác

ABC

điểm trên cung nhỏ

a
b
c
+
+
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c

nhọn nội tiếp đường tròn tâm

BC ( M ≠ B; C )

qua các đường thẳng

a+b+c =3

AB, AC .

. Gọi

N, P

O

có trực tâm là H. Gọi

M

là

theo thứ tự là các điểm đối xứng của M

Chứng minh rằng ba điểm

N, H , P

thẳng hàng

ĐÁP ÁN
Câu 1. (4,0 điểm)
A = 10 + 24 + 40 + 60.

1.3

) Cho biểu thức
của ba căn thức bậc hai

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng

A = 10 + 24 + 40 + 60 = 10 + 2 6 + 2 10 + 2 15
= 2 + 3 + 5 + 2 2.3 + 2 2.5 + 2 3.5 =

1.4

(

2+ 3+ 5

)

2

= 2+ 3+ 5

) Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học

2022 − 2023,

số thí sinh đăng

THPT

ký dự thi vào trường
chuyên A nhiều gấp rưỡi số thí sinh đăng ký dự

thi vào trường THPT chuyên B. Biết rằng tổng số phòng thi của cả hai
trường là 50 phịng thi và mỗi phịng thi có đúng 24 thí sinh. Tính số thí
sinh đăng ký dự thi vào mỗi trường
Gọi số thí sinh đăng ký dự thi vào trường THPT chuyên B là

x ( x ∈ ¥ *)

Theo đề bài, số thí sinh đăng ký dự thi vào trường THPT chuyên A là
Tổng số thí sinh của cả hai trường :
x + 1,5 x = 1200 ⇔ x = 480(tm)

50.24 = 1200

. Ta có phương trình

Vậy số thí sinh đăng ký vào trường B là 480 em, trường A là 720 em
Câu 2. (4,0 điểm)

1,5x


n

2.1 ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì

2023n3 − n

2023n − n = 2022n + n − n = 2022n + ( n − 1) n ( n + 1)
3

3

3

chia hết cho 6

3

*) 2022n3 M6
*) ( n − 1) n ( n + 1) M6
⇒ 2023n3 − n M6

2.2. Bạn Thanh mua một số quyển vở và một số cây bút hết tất cả là 263 nghìn
12

đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 13 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là nghìn
đồng. Hỏi bạn Thanh mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút ?
Gọi số quyển vở, số cây bút bạn Thanh mua được là x và y. (Điều kiện
Theo giả thiết ta có
y=

Từ (1) ta có :
13x + 12 y

x, y ∈ ¥ *)

13x + 12 y = 263000 ( 1)

263 − 13 x
≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 12

12

phải là số lẻ nên

13x

và

x

lẻ, do đó lẻ

263 − 13 x M
12 ( 2 )

⇔ x = 2k + 1 k ∈ { 0;1; 2;3; 4;5}

,

Thử lần lượt các giá trị ta nhận giá trị duy nhất

k = 5 ⇒ x = 11

x = 11, y = 10

(thỏa mãn

( 2) )

Vậy

, hay bạn Thanh mua được 11 quyển vở và 10 cây bút
Câu 3. (5,0 điểm)
3.1. Cho tam giác
diện tích tam giác

ABC

nhọn có

ABC ,

∠ABC = 60°

, hai đường cao là

biết diện tích tứ giác

AKHC

bằng

30cm

AH
2

và CK. Tính


Tứ giác

Suy ra

AKHC

nội tiếp (vì có góc

∠BKH = ∠ACB

∠AKC = ∠AHC = 90°

cùng nhìn cạnh

AC )

(tính chất góc ngồi của tứ giác nội tiếp)
2

S
S AKH 1
 BH 
⇒ ∆BKH ∽ ∆BCA ⇒ BKH = 
=
÷ = ( cos ∠ABH ) ⇔
S BCA  BA 
S ACB 4
4
4
⇒ S ABC = 4 S ABH = 4 ( S ABC − S AKHC ) ⇔ S ABC = S AKHC = .30 = 40 ( cm 2 )
3
3

Vậy diện tích tam giác

ABC

là

40cm 2

x − ( 2m − 3) x + m 2 − 3m = 0 x
2

3.2 Cho phương trình :
giá trị nguyên của
2018 < x1 < x2 < 2023

m

( là ẩn,

để phương trình có hai nghiệm

m

x1 , x2

là tham số). Tìm các

thỏa

∆ = ( 2m − 3) − 4 ( m 2 − 3m ) = 9 > 0
2

Vì

Nên phương trình :
x1 = m − 3; x2 = m

x 2 − ( 2m − 3) x + m 2 − 3m = 0

. Theo giả thiết :

có hai nghiệm phân biệt

2018 < x1 < x2 < 2023

⇔ 2018 < m − 3 < m < 2023 ⇔ 2021 < m < 2023 ⇒ m = 2022( do m ∈ ¢ )


m = 2022

Vậy
Câu 4. (4,0 điểm)

(

4.1 Giải phương trình
Điều kiện

x ≥ −2

a 2 − b 2 = 3,

. Đặt

)

)(

x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7 x + 10 − 3 = 0

a = x + 5, b = x + 2, ( a, b ≥ 0 )

x 2 + 7 x + 10 =

Ta có
Phương trình đã cho trở thành

( x + 5) ( x + 2 )

= ab

( a − b ) ( ab + 1) = a 2 − b2

⇔ ( a − b ) ( a + b − ab − 1) = 0 ⇔ ( a − b ) ( a − 1) ( 1 − b ) = 0
 x + 5 = x + 2(ktm)
a = b

⇔  a = 1 ⇔  x + 5 = 1 ⇒ x = −4(ktm)


b = 1
 x + 2 = 1 ⇒ x = −1(tm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x = −1
50cm,80cm

4.2 Cho một tấm bìa hình chữ nhật có hai kích thước là
. Một người
muốn làm một chiếc hộp đựng quà bằng cách cắt bốn góc của tấm bìa bốn
hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng

x ( cm )

x

, rồi gập lại để

được một chiếc hộp khơng nắp. Tìm độ dài để chiếc hộp thu được có thể tích
lớn nhất
Thể tích hình hộp là

V ( x ) = x ( 80 − 2 x ) ( 50 − 2 x ) ( cm3 )

Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy

x

. Cần tìm sao cho V lớn nhất

cho 3 số thực dương ta có :

2
V ( x ) = x ( 80 − 2 x ) ( 50 − 2 x ) = .3 x ( 50 − 2 x ) ( 40 − x )
3
2  3x + ( 50 − 2 x ) + ( 40 − x ) 
2 3
≤ 
 = .30 = 18000
3
3
3

3

3 x = 50 − 2 x ⇔ x = 10(tm)

Dấu bằng xảy ra khi
Vậy để gấp được chiếc hộp có thể tích lớn nhất thì cần cắt 4 góc tấm bìa lúc đầu 1
hình vng có cạnh là

10cm


Câu 5. (3,0 điểm)
5.1 Cho

a, b, c

là các số đương thỏa mãn điều kiện
P=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ta có :

a+b+c = 3

a
b
c
+
+
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c

a+b+c = 3

a
b
c
a
b
c
+
+
⇒P=
+
+

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
a+3 b+3 c+3
a
b
c
3
3
3
1
1 
 1
⇒ 3 − P = 1−
+1−
+1−
=
+
+
= 3
+
+
÷
a+3
b+3
c+3 a+3 b+3 c+3
 a+3 b+3 c+3
P=

1
1 
1

1  9
 1
 1
Do 
+
+
+
+
÷( a + 3 + b + 3 + c + 3) ⇔ 3 
÷≥
 a+3 b+3 c+3
 a +3 b+3 c +3 4
9
3
⇔ 3− P ≥ ⇔ P ≤
4
4
Max P =

Vậy

3
⇔ a = b = c =1
4


5.2 Cho tam giác
M

ABC

nhọn nội tiếp đường tròn tâm

là điểm trên cung nhỏ

BC ( M ≠ B; C )

xứng của M qua các đường thẳng
thẳng hàng

Nhận xét tứ giác
Mà

BIHK

∠IBK = ∠AMC

∠APC = ∠AMC

Lại có

(cùng chắn cung

(tính chất đối xứng)

∠IHK = ∠AHC

Từ (1), (2), (3)

nội tiếp nên

. Gọi

AB, AC.

N, P

O

có trực tâm là H. Gọi

theo thứ tự là các điểm đối

Chứng minh rằng ba điểm

∠IBK + ∠IHK = 180° ( 1)
BC

trong đường trịn (O))

⇒ ∠IBK = ∠APC ( 2 )

(hai góc đối đỉnh) (3)

⇒ ∠APC + ∠AHC = 180° ⇒

tứ giác

AHCP

nội tiếp

N, H , P


Cmtt ta cũng có
Mặt khác
Và

AHBN

∠AHP = ∠ACP = ∠ACM

∠ABN = ∠ABM

Nên

nội tiếp

⇒ ∠AHN = ∠ABN

(đối xứng) mà

(góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

(tính chất đối xứng và tứ giác nội tiếp)
∠ABM + ∠ACM = 180°

∠AHN + ∠AHP = 180° ⇒ N , H , P

thẳng hàng .

(do tứ giác

ABMC

nội tiếp)