Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lạng sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH LẠNG SƠN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LẠNG SƠN
NĂM HỌC 2022-2023
MÔN : TỐN CHUN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Trắc nghiệm: 2,5 điểm. Mỗi ý 0,25 điểm
1.Biểu thức

P = x−9

A.x ≤ 9

có nghĩa khi

B.x ≥ −9

( −7 )

72 +

C.x ≤ −9
2

2.Kết quả của phép tính
A.14

y=

3.Giá trị của hàm số
A.3

bằng

98

B.

1 2
x
3

C.0
tại

x = −3

4.Cho hai điểm
tại A, biết

C. − 1

. Số đo

∠BOC

B.135°

bằng

C.145°

5.Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
∆ABC

ABC

( O)

tại B, C cắt nhau

D.90°

có bán kính

R = 12cm,

Độ dài cạnh của

bằng :

A.24 3cm

6.Cho

B.6 3cm

∆ABC

vng tại A có

A.30 2cm

7.Cho
cao

D. − 3

thuộc đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của

∠BAC = 45°

A.45°

D.-14

bằng

B.1
B, C

D.x ≥ 9

BC = 30cm.

B.15 2cm

∆ABC

AH

C .12 3cm

vuông tại A, đường cao

D.9 3cm

Bán kính đường trịn ngoại tiếp
C.15cm

AH ,

biết

8.Parabol

B.9cm
y = 2 x2

C.25cm

là :

D.24cm
BH = 2cm, CH = 32cm

. Độ dài đường

bằng

A.20cm

∆ABC

D.8cm

và đường thẳng nào sau đây khơng có điểm chung ?


A. y =

1
x+5
3

B. y = − x − 5

9.Số giao điểm của hai đồ thị
A.2

C. y = 6 x −

y = 4 x2

và

B.3

10.Biết

( x0 ; y0 )

1
2

y = 5x + 3

1
D. y = − x + 2
3

là

C.0

D.1

là nghiệm của hệ phương trình

2 x − y = 3
.

x + 5y = 7

Khi đó giá trị của biểu

2x − y

thức

2
0

2
0

là

A.1

C. − 1

B.7
A=

Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức
a)
b)

D. − 7

x2 + 1 x x − 1 x2 − x x + x − 1  x > 0 
+
+

÷
x
x− x

x−x x
 x ≠1

Rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Câu 3. (1,5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau :
a )3 x − 1 + 4 x + 1 = 6
2
 x − 3 xy − 2 x + 12 y − 8 = 0
b)  2
2
 x + 2 y − 3 xy + 4 x − 16 = 0

Câu 4. (1,0 điểm)
a)

Tìm tất cả các cặp số nguyên

( x; y )

thỏa mãn phương trình

x + 2 xy − 6 x − 6 y + 6 = 0
2

b)

Cho

x, y , z

là các số thực dương, thỏa mãn
T=

của biểu thức

3

x x
+
x +8 y

y

3

y

y +8 z

+

x + y + z = 9.
3

z z
z +8 x

Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác

ABC

vuông tại A

( AB > AC )

tâm O. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng
chân đường vng góc kẻ từ

A

cắt đường tròn

tại K (

BC

đến BC, E là điểm đối xứng của

chân đườn vng góc kẻ từ A đến

( O)

, nội tiếp đường tròn

BE.

I

Gọi là trung điểm của

tại D. Gọi
A

qua

AH ,

M

BC , H

là

là

đường thẳng

BI

K ≠ B)

a)

Chứng minh rằng tứ giác

b)

Chứng minh rằng

c)

Chứng minh rằng

AIMK

EK ⊥ DK
BD

nội tiếp trong một đường tròn

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ADK

Câu 6. (1,0 điểm)
a)

Cho đa thức

P ( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d

Tính giá trị của
b)

Trên mặt phẳng

kính

1cm

S = P ( −3) + 5.P ( 5)
Oxy

cho

2023

chứa khơng ít hơn

thỏa mãn

P ( 1) = 4; P ( 2 ) = 6, P ( 3) = 10.

điểm. Chứng minh rằng tồn tai hình trịn bán

1012

điểm đã cho


ĐÁP ÁN
Câu 1. Trắc nghiệm
1D 2A 3A 4B

5C

6C

7D

A=

Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức

8B

9A

10B

x2 + 1 x x −1 x2 − x x + x −1  x > 0 
+
+

÷
x
x− x
x−x x
 x ≠1

Rút gọn biểu thức A

c)

x + 1 x x −1 x2 − x x + x − 1  x > 0 
A=

+
+

÷=
x
x− x
x−x x
 x ≠1 
2

(

)(
x(

) +(

)(

x −1 x + x +1

x −1

x2 + 1
+
x

=

x2 + 1 + x + x + 1 − x + x −1 x2 + 2 x + 1

=
x
x
d)

A=

)

x ( 1− x)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
x > 0, x ≠ 1

Với

)

x −1

)(

x +1 x − x +1

=

, ta có :

x2 + 2 x + 1
1

1
1
1
= x x +2+
=x x+
+
+
x
x
3 x 3 x 3 x +2

≥ 4 4 x x.

1

1

.

.

1

3 x 3 x 3 x

MinA = 4

Vậy

+2=4

3

3
+2
3

4

3
3
+2⇔ x =
3
3

Câu 3. (1,5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau :
a )3 x − 1 + 4 x + 1 = 6 ( x ≥ 1) ⇔ 3 x − 1 − 3 + 4 x + 1 − 3 = 0
x −1 −1
4x +1− 9
+
=0
x −1 +1
4x +1 + 3
3
4
3
4


⇔ ( x − 2) . 

+
+
> 0)
 = 0 ⇔ x = 2( do
4x +1 + 3 
x −1 + 1
4x +1 + 3
 x −1 +1
⇔3

(

)

x −1 −1 + 4x + 1 − 3 = 0 ⇔ 3


x=2

Vậy
 x 2 − 3xy − 2 x + 12 y − 8 = 0 ( 1)
b)  2
2
 x + 2 y − 3 xy + 4 x − 16 = 0 ( 2 )

Từ (1) ta có :
x 2 − 3 xy − 2 x + 12 y − 8 = 0 ⇔ ( x 2 − 2 x − 8 ) − ( 3 xy − 12 y ) = 0
x = 4
⇔ ( x − 4) ( x + 2) − 3 y ( x − 4) = 0 ⇔ ( x − 4 ) ( x + 2 − 3 y ) = 0 ⇔ 
x = 3y − 2

Với

x=4

⇒ ( 2 ) ⇔ 42 + 2 y 2 − 3.4. y + 4.4 − 16 = 0 ⇔ y 2 − 6 y + 8 = 0
y = 2
⇔ ( y − 2) ( y − 4) = 0 ⇔ 
y = 4

Với

x = 3y − 2

( 3 y − 2)

2

thay vào (2) ta được :

+ 2 y 2 − 3 ( 3 y − 2 ) y + 4 ( 3 y − 2 ) − 16 = 0

 y = −5 ⇒ x = −17
⇔ .... ⇔ y 2 + 3 y − 10 = 0 ⇔ 
y = 2⇒ x = 4

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm
Câu 4. (1,0 điểm)

( 4; 2 ) , ( 4; 4 ) , ( −17; −5) , ( 4; 2 )

Tìm tất cả các cặp số nguyên

c)

( x; y )

thỏa mãn phương trình

x 2 + 2 xy − 6 x − 6 y + 6 = 0 ⇔ x 2 − 6 x + 9 + 2 xy − 6 y = −3
⇔ ( x − 3) + 2 y ( x − 3) = 3 ⇔ ( x − 3) ( x − 3 + 2 y ) = 3 = 1.3 = 3.1 = −1. − 3 = −3. − 1
2

x − 3 = 1
x = 4
*) 
⇔
x − 3 + 2 y = 3  y = 1
 x − 3 = −1
x = 2
*) 
⇔
 x − 3 + 2 y = −3  y = − 1

Vậy ta có các cặp số

x − 3 = 3
x = 6
*) 

⇔
x − 3 + 2 y = 1  y = 1
 x − 3 = −3
x = 0
*) 
⇔
x − 3 + 2 y = 1  y = 1

( 4;1) ; ( 6; −1) , ( 2; −1) , ( 0;1)
x + y + z = 9.

x, y , z

Cho

d)

là các số thực dương, thỏa mãn
T=

nhất của biểu thức

y3 y

x3 x
+
x +8 y

y +8 z

+

Tìm giá trị nhỏ

z3 z
z +8 x

(BÍ)
Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác

ABC

vuông tại A

( AB > AC )

, nội tiếp đường

tròn tâm O. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng
Gọi

M

BC , H

là chân đường vng góc kẻ từ

A

đường thẳng

cắt đường tròn

( O)

tại D.

đến BC, E là điểm đối xứng của

là chân đườn vng góc kẻ từ A đến
BI

BC

tại K (

BE.

I

Gọi là trung điểm của

K ≠ B)

A

AH ,

qua

d)

Chứng minh rằng tứ giác

Ta có M là trung điểm

AE ( E

AIMK

nội tiếp trong một đường tròn

là điểm đối xứng của Aqua BC và M là chân đường
I

vng góc kẻ từ A đến BC); là trung điểm của
∆AHE → MI / / EH ⇒ ∠AMI = ∠AEB

Lại có

∠AEB = ∠AKI

AH ⇒ MI

là đường trung bình của

(hai góc đồng vị)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

⇒ ∠AMI = ∠AKI ( = ∠AEB )
AIMK

Tứ giác
có hai đỉnh
tứ giác nội tiếp
e)

Chứng minh rằng

M,K

cùng nhìn cạnh

EK ⊥ DK

AI

dưới các góc bằng nhau nên là


Ta có

A

BC ⇒ BC

và E đối xứng qua

là trung trực của AE nên

OA = OE

suy ra

E ∈( O)
∆OED = ∆OAC (c.c.c) ⇒ ∠OED = ∠OAD = 90° ⇒ OE ⊥ DE

tuyến của (O)nên
Lại có

∠DEK = ∠KAE

tại

(cùng chắn cung AE)

E ∈ ( O)

nên DE là tiếp

( 1)

∠DMA = 90° ( AM ⊥ BC ) ; ∠AIM = 90° ( MI / / EH , AH ⊥ BE )

Tứ giác

AIMK

nội tiếp

⇒ ∠DMK = ∠DMA − ∠KMA = 90° − ∠KMA = 90° − ∠KIA = ∠KIM = ∠KAM ( 2 )

Từ (1), (2) ta có
DK

∠DEK = ∠DMK ⇒

dưới góc bằng nhau

⇒

tứ giác

DKME

có hai đỉnh

E, M

cùng nhìn cạnh

tứ giác DKME nội tiếp nên :

∠DKE = ∠DME = 90° ⇒ DK ⊥ EK
f)

Chứng minh rằng

BD

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ADK

Tứ giác

DKME

∠KEA = ∠DAK

nội tiếp suy ra

∠KDB = ∠KEA

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

KM )

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

⇒ ∠KDB = ∠DAK ( = ∠KEA ) ⇒ DB

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
(định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

∆ADK

Câu 6. (1,0 điểm)

c)

Cho đa thức

P ( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d

Tính giá trị của

S = P ( −3) + 5.P ( 5)

thỏa mãn

P ( 1) = 4; P ( 2 ) = 6, P ( 3) = 10.


P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d

Xét đa thức
Giả sử
Do

P ( x ) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − q ) + mx 2 + nx + p

P ( 1) = 4, P ( 2 ) = 6, P ( 3) = 10

, nên thay vào, ta có :

m + n + p = 4
m = 1



4m + 2n + p = 6 ⇔ n = −1
9m + 3n + p = 10
p = 4


⇒ P ( x) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − q ) + x 2 − x + 4
⇒ P ( −3) = 120q + 376; P ( 5 ) = 144 − 24q

⇒ S = P ( −3) + 5 P ( 5 ) = 120q + 376 + 5.144 − 5.24q = 1096

Vậy

S = 1096

d)

Trên mặt phẳng
bán kính

Gọi
2023

AB

1cm

Oxy

2023

điểm. Chứng minh rằng tồn tai hình trịn

chứa khơng ít hơn

1012

điểm đã cho

là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất trong số cấc đoạn thẳng nối 2 trong số

điểm đã cho
AB ≤ 1

Nếu
thì hình trịn
nhiên đúng.
Nếu

cho

AB > 1

( A;1)

chứa tồn bộ 2023 điểm đã cho, khẳng định hiển

, xét điểm C bất kì trong số 2021 điểm còn lại. Theo giả thiết, ta có AC

<1 hoặc BC<1 nghĩa là

C ∈ ( A;1)

hoặc

C ∈ ( B;1)

cịn lại thuộc một trong hai hình trịn tâm

A

Vậy mọi điểm C trong 2021 điểm

hoặc B bán kính bằng 1. Theo
 2021 
 2  + 1 = 1011

nguyên lý diriclet có một đường trịn chứa ít nhất
điểm. Điểm A
hoặc điểm B cùng với 1011 điểm này tạo thành 1012 điểm nằm trong đường trịn
bán kính bằng 1. Vậy ln tồn tại hình trịn bán kính 1cm chứa khơng ít hơn 1012
điểm đã cho.