Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lào cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học 2022-2023
Mơn thi: TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2 điểm)

1
1 
6 x 2
 6x
1
P


.



x  0; x  1; x 

x

1
x


1
x

1
9
x
x

6
x

x


 , với
9
a) Cho biểu thức
Tìm các số nguyên x để P nhận giá trị nguyên
b) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  12. Chứng minh rằng

 12  y   12  x   y  12  x   12  z   z  12  x   12  y 
2

x

2

2

12  x 2

2

2

12  y 2

2

12  z 2

 24

Câu 2. (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số, lấy ngẫu nhiên 1 số từ tập S. Tính
xác suất để lấy được là số chính phương khơng vượt q 2022
Câu 3. (2 điểm)
a) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một thời gian dự định. Do yêu cầu
đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó đã làm tăng thêm 3 sản phẩm
vì thế cơng việc hồn thành sớm hơn so với dự định là 20 phút. Hỏi theo dự định mỗi giờ
người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người đó làm được khơng q 12
sản phẩm.
b) Cho phương trình

x 2   m  1 x  m  3  0  1

(với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có

x  x  5 x1 x2  2 2  x1 x2
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
2

1

2
2

AB  AC 
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC khơng cân 
nội tiếp đường trịn (O), ba đường cao

AD, BE , CF  D  BC , E  AC , F  AB 

của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I , M lần lượt là trung

điểm của AH và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn   tại điểm K (K khác A)
a) Chứng minh rằng tứ giác DMEF nội tiếp
b) Chứng minh rằng tứ giác IOMK là hình thang cân
c) Chứng minh rằng KF .HE  KE.KF
d) Tiếp tuyến tại A và K của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Chứng minh
rằng TM , AH , EF đồng quy
Câu 5. (1,0 điểm)
a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng :
O

ab
bc
ac
3




ab bc ac 2

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a
b
c


a  bc
b  ac
c  ab

Câu 6. (1,0 điểm)


P  n  13n  1  2n  1
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức
chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên

 x; y  thỏa mãn 3x 2  2 y 2  x  2  xy  y  2 
ĐÁP ÁN

Câu 1. (2 điểm)

1
1 
6 x 2
 6x

1
P


.



x  0; x  1; x 

x

1
x

1
x

1
9
x
x

6
x

x


 , với

9
c) Cho biểu thức
Tìm các số nguyên x để P nhận giá trị nguyên

1
1 
6 x 2
 6x
P


. 


x 1
x 1   9x x  6x  x 
 x 1


  x  1 . 2  3 x  1  6 x  x  1  x  1 . 2
 x  1  x  1
 x  1  x  1 x . 3 x  1
x .  3 x  1
2 x  3 x  1
2
4

.

 x  1  x  1 x.  3 x  1 x  1



6x 



x 1 

2

P  ¢  x  1 U (4)   1; 2; 4  x  1   1; 2; 4 ( do x  1)  x   2;3;5 (tmdk )
Do x  ¢ nên để
d) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  12. Chứng minh

 12  y   12  x   y  12  x   12  z   z  12  x   12  y 
2

rằng
Ta có :

x

2

2

12  x 2

2

12  y 2

2

12  z 2

2

 24

xy  yz  zx  12  12  x 2  x 2  xy  yz  zx  12  x 2   x  y   x  z 

2
2
Tương tự ta có : 12  y  ( x  y)( y  z); 12  z   z  y   x  z  , khi đó :

 12  y   12  z   y  12  x   12  z   z  12  y   12  x 
2

x

x

2

2

12  x

 y  z

2

y

2

12  y

 x  z

2

z

 y  x

2

2

12  z

 x y  z  y  x  z  z  y  x

 2  xy  yz  zx   2.12  24

Câu 2. (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số, lấy ngẫu nhiên 1 số từ
tập S. Tính xác suất để lấy được là số chính phương khơng vượt q 2022


Khơng gian mẫu : 
2
2
2
2
Theo đề ta có : 1000  n  2022  32  n  44 , nên số các số chính phương là :
1000;1001;...;9999  n  9000

13
44  32  1  13 . Vậy xác suất cần tìm : 9000

Câu 3. (2 điểm)


c) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một thời gian dự
định. Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó
đã làm tăng thêm 3 sản phẩm vì thế cơng việc hồn thành sớm hơn so với dự định
là 20 phút. Hỏi theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết
rằng mỗi giờ người đó làm được khơng q 12 sản phẩm.


1
3 giờ

Đổi 20 phút
Gọi số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm)
Điều kiện : x  ¥ *, x  12
54
Thời gian dự định người đó hồn thành cơng việc là : x (giờ)

Thực tế mỗi giờ làm được : x  3 (sản phẩm)
68
Thời gian thực tế người đó hồn thành cơng việc là x  3 (giờ)

Theo đề bài ta có phương trình :
 x  9(tm)
54 68
1

  ....  x 2  54 x  486  0  
x x3 3
 x  54( ktm)

Vậy theo kế hoạch người đó phải là 9 sản phamat

d) Cho phương trình

x 2   m  1 x  m  3  0  1

(với m là tham số). Tìm m để phương

2
2
trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  5 x1 x2  2 2  x1 x2

x 2   m  1 x  m  3  0  1

   m  1  4  m  3  m 2  6m  13   m  3   4  0  m 
2

2

Nên phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng định lý Vi-et ta có :

 x1  x2  m  1

 x1 x2  m  3

x  x  5 x1 x2  2 2  x1 x2  m  5 
2
1

. Ta có :

2
2

  x1  x2   2 x1 x2  5 x1 x2  2 2  x1 x2
2

  m  1  2  m  3   5  m  3  2 2   m  3 
2

 m 2  9m  22  2 5  m
2
2
Đặt t  5  m , t  0  t  5  m  m  5  t

  5  t 2   9  5  t 2   22  2t  t 4  t 2  2t  2

2

  t  1

2

t

Vậy m  4

2

t  1(tm)  m  5  1  4(tm)
 2t  2   0   2
t  2t  2  0(VN )


AB  AC 
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC khơng cân 
nội tiếp đường trịn (O), ba


 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I , M
đường cao
lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường
AD, BE , CF D  BC , E  AC , F  AB

tròn  O  tại điểm K (K khác A)

e) Chứng minh rằng tứ giác DMEF nội tiếp

MBE cân

tại M  EMC  2MBE , BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp  1

 
Nên
Từ (1) và (2) suy ra DMEF là tứ giác nội tiếp
f) Chứng minh rằng tứ giác IOMK là hình thang cân
AEH  AFH  90  AH là đường kính đường trịn ngoại tiếp AEF  AKH  90
Vẽ đường kính AA ' của (O). ta có AKA '  90  K , H , A ' thẳng hàng
Dễ chứng minh BHCA ' là hình bình hành  M là trung điểm của A ' H
Dễ chứng minh IOMH là hình bình hành nên OI / / KM  OM  IH  IK
Nhận thấy IK cắt IH và IH / / OM  IK không song song với OM
Suy ra OIKM là hình thang cân
g) Chứng minh rằng KF .HE  KE.KF
DFE  DFH  CFE  DBH  CBE  2DBH 2


ACB)
Vì MBE cân tại M nên MEB  MBE mà MBE  DAC (cùng phụ với
và
HAE  HKE (do AEHF là tứ giác nội tiếp)  MEH  MKE

 MEH ∽ MKE  g .g  

EH ME

EK MK

FH MF


FK MK

EH FH

 EH .FK  EK .FH
EK FK

Tương tự :
mà ME  MF nên
h) Tiếp tuyến tại A và K của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T.
Chứng minh rằng TM , AH , EF đồng quy
Gọi P là giao điểm của AK với BC, ta có : AFK  AHK  APD suy ra tứ giác HKPD nội
tiếp. Do đó KFP  KBP  KAC  KAE  180  KFE nên E , F , P thẳng hàng
Ta có TIK  AHK  DPK  KTI ∽ KPD  KPI ∽ KMT nên PIK  MTK
Mà IK  TK nên PI  MT
Xét IMP có EF  IM , TM  IP, ID  MP  MT , EF , AD đồng quy
Câu 5. (1,0 điểm)
c) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng :
ab
bc
ac
3



ab bc ac 2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
ab

ab
ab
ab a  b




a  b 2 ab
ab
2
4
bc
b  c ac
ac

;

4 ac
4 . Suy ra :
Tương tự ta có : b  c
ab
bc
ac
abbcca 3




ab bc ac
4

2
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  1
d) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc . Tìm giá trị lớn nhất của
a  b  2 ab 

biểu thức
Ta có :

a
b
c


a  bc
b  ac
c  ab

a2
b2
c2
P
 2
 2
a 2  abc
b  abc
c  abc
a
b
c




a 2  ab  bc  ca
b 2  ab  bc  ca
c 2  ab  bc  ca
a
b
c



 a  b  a  c   a  b  b  c   c  b   a  c 

Áp dụng bđt Co-si ta có :


1
1


ab ac

2

 a  b  b  c



1 1
1 

 


 a  b  b  c 2  a  b a  c 
1

1 b
b 
 

 2  ;
 a  b  b  c 2  a  b b  c 
b

Tương tự ta có :
Từ (1), (2), (3) ta có :

c

 c  b  a  c



1 c
c 


 3 
2cb ac

1  a
a
b
b
c
c  1 a b c b a c  3
P  .







 

2  a b a c bc a b c b a c  2 a b c b a c  2
3
Max P   a  b  c  3
2
Vậy

Câu 6. (1,0 điểm)

P  n  13n  1  2n  1
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức
chia hết
cho 6

Nếu n chẵn  nM2 , nếu n lẻ  13n  1M2  P M2  b  ¢ 

Nếu

n  0  mod 3   P M3.

nếu

n  1 mod 3    2n  1 M3

Nếu n  2  mod 3   13n  1 M3  P M3
2,3  1  P M6  n  ¢ 
Mà  

2
2
d) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 3x  2 y  x  2  xy  y  2 

3 x 2  2 y 2  x  2  xy  y  2   2 y 2  2  x  1 y  3 x 2  x  4  0  1

Ta xem phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn y với x là tham số
 '   x  1  2  3 x 2  x  4   5 x2  9.
2

Để phương trình (1) có nghiệm thì :

x  0
9
 2
( do x  ¢ )  x   1; 0;1
5
x  1

2

 '  0  5 x 2  9  0  x 2 

1;1  1; 1 ;  0; 1 ;  1; 2  ,  1; 0 
Thay vào (1) ta đượ các nghiệm nguyên 