Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh phú yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUN PHÚ N
NĂM HỌC 2022-2023
MƠN THI: TỐN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút

Đề chính thức

Câu 1. (4,0 điểm)
a)

Cho

a , b, c

là ba số thực khác 0 sao cho

a +b +c = 0

. Chứng minh

2

1 1 1 1 1 1
+ + = + + ÷
a 2 b2 c 2  a b c 
b)

Tính giá tri biểu thức :

P=

1 1 1
1 1 1
1 1 1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + .... + 2 + 2 + 2
2
1 2 3
1 3 4
1 8 9

Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình :
Câu 4. (3,0 điểm) Tìm
hai nghiệm

x1 , x2

m

 x 2 + y 2 + xy = x
 2
 y + 2 xy = y

x − 3 + 5 − x = − x 2 + 8 x − 14

để phương trình

là độ dài hai cạnh

AB, AC

x 2 − ( m + 1) x + m + 3 = 0

của tam giác

ABC

(m là tham số) có

vng tại A và có

BC = 5
a, b, c

Câu 5. (4,0 điểm) Cho ba đường thẳng cố định
a

nằm giữa và cách đều và c. Một đường thẳng
a , b, c

tại

A, B, C.

Trên đoạn
b

AB

động trên c. Trên lấy điểm

d

lấy điểm I sao cho

E

IE =

sao cho

1
ID
2

song song nhau, sao cho

cố định, vng góc
IA = 2 IB.

a,

lần lượt cắt

Gọi D là một điểm di

. Đường thẳng

DE

b

a

cắt tại F


a)
b)

Lấy điểm H trên đoạn

ED

HE =

sao cho

Chứng minh đường thẳng

DE

Tính giá trị biểu thức

Chứng minh rằng

∠FIH = 90°

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số nguyên dương
Q = x+ y+z

1
HD.
2

x, y , z

thỏa

( x + y)

4

+ 5 z = 63x


ĐÁP ÁN
Câu 1. (4,0 điểm)
c)

Cho

a , b, c

là ba số thực khác 0 sao cho

a+b+c = 0

. Chứng minh

2

1 1 1 1 1 1
+ + = + + ÷
a 2 b2 c 2  a b c 

Ta có
2

1 1 1
1 1 
1 1 1
 1
 + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2 + + ÷
a b c
a b c
 ab bc ca 
1 1 1
 a+b+c  1 1 1
= 2 + 2 + 2 + 2
÷= 2 + 2 + 2
a b c
 abc  a b c
d)

Tính giá tri biểu thức :

P=

1 1 1
1 1 1
1 1 1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + .... + 2 + 2 + 2
2
1 2 3
1 3 4
1 8 9

Ta sẽ chứng minh

1 1
1
1
1
+ 2+
= 1+ −
, ∀k ≥ 2
2
2
1 k
k k +1
( k + 1)

a

Thật vậy, theo câu ta có :

2

1 1
1
1 1
1
1 
1
1
 1
+ 2+
= 2+ 2+
= 1 + −
, ∀k ≥ 2
÷ = 1+ −
2
2
2
1 k
1 k
k k +1
 k k +1 
( k + 1)
( −k − 1)

Khi đó :
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1

1 1
+ 2 + 2 = 1 + − ; 2 + 2 + 2 = 1 + − ;.......; 2 + 2 + 2 = 1 + −
2
1 2 3
2 3 1 3 4
3 4
1 8 9
8 9


P = 7+

Cộng vế theo vế, ta được

1 1 133
− =
2 9 18

Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình

Ta có :

 x 2 + y 2 + xy = x
 2
 y + 2 xy = y

 x 2 + y 2 + xy = x ( 1)
 2
 y + 2 xy = y ( 2 )

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được :

x = 1
x 2 − xy = x − y ⇔ ( x − y ) ( x − 1) = 0 ⇔ 
x = y

y = 0
*) x = 1 ⇒ ( 1) ⇔ y 2 + y = 0 ⇔ 
 y = −1
y = 0
2
*) x = y ⇒ ( 1) ⇔ 3 y − y = 0 ⇔ 
y = 1
3


( 0; 0 ) , 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình :
Điều kiện :

Khi đó :

3≤ x ≤5

. Đặt

1 1
; ÷( 1; 0 ) ; ( 1; −1)
3 3

x − 3 + 5 − x = − x 2 + 8 x − 14

a = x − 3, b = 5 − x ( a, b ≥ 0 )

2 2
a + b = a 2b 2 + 1
a + b = a 2b 2 + 1 a + b = a b + 1
⇔
⇔ 2 2
 2
2
2
2
a
+
b
−
2
ab
=
2
a + b = 2
(
)

( a b + 1) − 2ab = 2

 a + b = a 2b 2 + 1
a + b = a 2b 2 + 1


⇔
⇔
3
2
4
2


( ab ) + 2 ( ab ) − 2ab − 1 = 0
( ab − 1) ( ab ) + ( ab ) + 3ab + 1 = 0
2 2
a + b = 2
a + b = a b + 1
⇔
⇔
⇔ a = b =1⇒ x − 3 =1⇔ x = 4
 ab = 1
ab = 1( do ab > 0 )


m

Câu 4. (3,0 điểm) Tìm
có hai nghiệm
BC = 5

có

Ta có

là độ dài hai cạnh

là độ dài hai cạnh

có hai nghiệm dương

Do

AB , AC

của tam giác

x1 , x2

AB , AC

ABC

vuông tại A và

nên

x1 , x2 > 0

 ∆ = ( m + 1) 2 − 4 ( m + 3) ≥ 0
m 2 − 2m − 11 ≥ 0


⇔ S = m + 1 > 0

⇔ m > −1
⇔ m ≥ 1+ 2 3
P = m + 3 > 0
m > −3



là độ dài hai cạnh

AB, AC

của tam giác

ABC

⇒ x + x = 25 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − 25 = 0
2
1

(m là tham số)

x 2 − ( m + 1) x + m + 3 = 0 ( 1)

x1 , x2

Do

( 1)

x1 , x2

để phương trình

x 2 − ( m + 1) x + m + 3 = 0

vuông tại A và

BC = 5

2

2
2

 m = 30(tm)
2
⇔ ( m + 1) − 2(m + 3) = 25 ⇔ m 2 = 30 ⇔ 
 m = − 30(ktm)

Vậy

m = 30

Câu 5. (4,0 điểm) Cho ba đường thẳng cố định
a

nằm giữa và cách đều và c. Một đường thẳng
cắt

a , b, c

tại

A, B, C.

Trên đoạn
b

AB

di động trên c. Trên lấy điểm

a , b, c

d

cố định, vng góc

lấy điểm I sao cho

E

IE =

sao cho

song song nhau, sao cho

1
ID

2

IA = 2 IB.

a,

b

lần lượt

Gọi D là một điểm

. Đường thẳng

DE

a

cắt tại F


c)

Lấy điểm H trên đoạn

ED

HE =

sao cho

1
HD.
2

Chứng minh rằng

∠FIH = 90°

Do

a , b, c

b

song song nhau, sao cho nằm giữa và cách đều a và c nên

trung điểm của
Xét hình thang
trung điểm của
HE =

Mà

1
HD
2

AN / / BE ⇒

Do

B

là

AC
AFDC

có

AF / / CD / / BE

và B là trung điểm của

AC

DF

nên

FH 2
= ( 1)
FD 3

IE IB 1
=
=
IN IA 2

. Gọi N là giao điểm của

IE

và

AF

nên E là


Xét tam giác
∆FDN

FDN

. Do vậy

có

NE

FH
FI
=
FD FM
FI , ND.

Gọi M là giao điểm của

IE 1 IE 1
= ;
= ⇒ IN = ID
IN 2 ID 2

Kẻ

Chứng minh đường thẳng

HT / /CD,

HE =

Do

cắt

1
HD
2

AC

nên

Do
Kẻ

Xét

IP ⊥ DE

∆FIO

nên

suy ra

∆IND

hay

DE

M

IH / / MD ( 3)

là trung điểm của

cân tại I, suy ra

DN

IM ⊥ ND ( 4 )

∠FIH = 90°

ln tiếp xúc với một đường trịn cố định

tại T

1
BT = TC ,
2

Gọi O là giao điểm của
OF / /TH

, suy ra

, hay

IH ⊥ IF

Từ (3) và (4) ta suy ra
d)

nên I là trọng tâm

FI
2
= ( 2)
FM 3

Từ (1) và (2) ta suy ra

Do

là đường trung tuyến và

IE 1
=
IN 2

IH

suy ra

và

IO IA
=
=1
IH IT

IA = IT

NF

IH = IO ( 5 )

hay

tại P
I

vng tại có

Xét tam giác

FIH

IA

là đường cao nên

vng tại I có

Từ (5), (6) và (7) suy ra

IP = IA

IP

1
1
1
= 2 + 2 ( 6)
2
IA
IF
IO

là đường cao nên

, không đổi

1
1

1
= 2+
( 7)
2
IP
IF
IH 2


Vậy đường thẳng

DE

ln tiếp xúc với đường trịn
x, y , z

Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số nguyên dương
Tính giá trị biểu thức

Q = x+ y+z

63 x = ( x + y ) + 5 z ≥ 16 x 2 y 2 + 5 z
4

Ta có :

Do đó

x ≤ 3
63 x > 16 x 2 y 2 ⇒ 63 > 16 xy 2 ⇒ xy 2 ≤ 3 ⇒ 

y ≤1

x = 1, y = 1 ⇒ 5 z + 16 = 63 ⇔ z =

Nếu
Nếu
Nếu
Vậy

47
(ktm)
5

x = 2, y = 1 ⇒ 5 z + 81 = 126 ⇔ z = 9(tm)

x = 3, y = 1
Q = 12

thì

5 z + 256 = 189 ⇒ z < 0

thỏa

( x + y)

4

+ 5 z = 63 x