d đề vào 10 chuyên ĐHSP hà nội 22 23

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn : TỐN CHUYÊN
Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Không sử dụng máy tính, hãy tìm giá trị của biểu thức
P = 3 7+5 2 + 3 7−5 2

b)

Cho đa thức

P ( x ) = ax 2 + bx + c

với

a≠0

. Chứng minh rằng, nếu đa thức
x

nhận giá trị nguyên với mỗi số ngun thì
ngun. Sau đó, chứng tỏ rằng, nếu ba số
P ( x)

2 a , a + b, c

cũng nhận giá trị nguyên với mỗi số nguyên
ABC

Bài 2. (3,0 điểm) Cho tam giác đều
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đường tròn (O) tại điểm thứ hai
a)

2a, a + b, c

Chứng minh rằng tia

EO

OBC

cắt đường tròn

ABOF

Chứng minh rằng tứ giác

c)

Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng

Bài 3. (2,0 điểm) Cho
minh rằng số

N =a

2022

a, b, c, d

+b

2022

+c

là những số nguyên thì

x

OB

( O)

tại điểm E. Tia

BE

cắt

F

b)

minh rằng ba điểm

đều là những số

ngoại tiếp đường tròn (O). Cung nhỏ

là tia phân giác của góc

A, F , D

P ( x)

CEF

nội tiếp
CE

và đường tròn (O). Chứng

thẳng hàng

là các số nguyên dương thỏa mãn
2022

+d

ab = cd .

Chứng

2022

là hợp số

0,1, 2,....,9

Bài 4. (2,0 điểm) Ta viết mười số
vào mười ơ trịn trong hình bên dưới,
mỗi số được viết đúng 1 lần. Sau đó, ta tính tổng của ba số trên mỗi đoạn thẳng để
nhận được 6 tổng. Có hai khơng một cách viết 10 số như thế sao cho 6 tổng nhận
được bằng nhau.


Bài 5. (1,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng cho năm điểm sao cho khơng có ba điểm nào thẳng hàng.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác tù có các đỉnh được lấy từ năm
điểm đã cho
b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm sao cho khơng có ba điểm nào thẳng hàng.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2018 tam giác tù mà mỗi tam giác tù đó có
các đỉnh được lấy từ

2022

điểm đã cho


ĐÁP ÁN
Bài 1. (2,0 điểm)
Khơng sử dụng máy tính, hãy tìm giá trị của biểu thức

c)

P = 3 7+5 2 + 3 7−5 2
P = 3 7+5 2 + 3 7 −5 2 =

Ta có
Cho đa thức

d)

P ( x)

3

(1+ 2 )

P ( x ) = ax 2 + bx + c

3

(

+ 3 1− 2

với

a≠0

)

3

= 1+ 2 +1− 2 = 2

. Chứng minh rằng, nếu đa thức

x

nhận giá trị nguyên với mỗi số ngun thì

số ngun. Sau đó, chứng tỏ rằng, nếu ba số

nguyên thì

P ( x)

2 a , a + b, c

2 a , a + b, c

đều là những

là những số

cũng nhận giá trị nguyên với mỗi số nguyên

x

x

Giả sử P(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên . Khi đó, ta có :

P ( −1) , P ( 0 ) , P ( 1)

ta có :
Vậy

là các số nguyên. Suy ra

a + b = ( a + b + c) − c

2a, a + b

là số nguyên và

a − b + c, c, a + b + c

2a = ( a + b + c ) + ( a − b − c )

và c là các số nguyên.

Bây giờ, giả sử

2 a , a + b, c

là các số nguyên. Từ đó

là các số nguyên. Khi đó, ta có :

là số nguyên.

P ( x ) = a ( x 2 − x ) + ( a + b ) x + c = 2a.

x ( x − 1)
+ ( a + b) x + c
2

Luôn nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x, do

x ( x − 1)
2

là số nguyên với mọi x

nguyên
Bài 2. (3,0 điểm) Cho tam giác đều
OB
BE

ABC

của đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai

ngoại tiếp đường tròn (O). Cung nhỏ

OBC
F

cắt đường tròn

( O)

tại điểm E. Tia


d)

Chứng minh rằng tia

EO

là tia phân giác của góc

Do đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều
AO, BO, CO

Do tứ giác
Suy ra

ABC

nên

là các đường phân giác của tam giác
OEBC

nội tiếp nên

∠OEF = ∠OEC

CEF

∠BAC = ∠CBA = ∠ACB = 60°

ABC

∠OEF = ∠OCB = 30°

nên EO là tia phân giác của

và

∠OEC = ∠OBC = 30o

∠CEF

và


e)

Chứng minh rằng tứ giác

Vì tam giác

OEF

f)

nội tiếp

∠OFE = ∠OEF = 30°

cân tại O nên

∠BAO = ∠BFO = 30°

Do

ABOF

ABOF

nên tứ giác

nội tiếp

Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng
Chứng minh rằng ba điểm

Hai tam giác
Suy ra

OED, OEF

ED = EF .

có

A, F , D

OE = OF = OD

Từ đó, tam giác

DEF

và

∠OEF = ∠OED

cân tại E. Mà
ABOF

∠AFB + ∠BFD = ∠AOB + ∠EFD = 120° + 60° = 180°
A, F , D

minh rằng số

a , b, c , d

2022

+b

2022

Từ giả thiết , ta có
nhau. Do
a

2022

x
y

= mx, c

nên chúng bằng nhau

∠DEF = 60°

nội tiếp, ta có :

2022

là các số nguyên dương thỏa mãn

+c

2022

+d

= my, d

Chứng

là hợp số

2022

a
d
x
= 2022 =
2022
c
b
y

2022

ab = cd .

2022

với

x, y

là các số nguyên dương nguyên tố cùng

là phân số tối giản nên tồn tại các số nguyên dương

2022

nên tam giác này là

thẳng hàng

Bài 3. (2,0 điểm) Cho
N =a

và đường tròn (O).

thẳng hàng

tam giác đều. Bây giờ, với chú ý rằng tứ giác

Vậy ba điểm

CE

= nx, b

2022

= ny

N = mx + ny + my + nx = ( m + n ) ( x + y )

m, n

sao cho

. Từ đó, ta có :

là hợp số, do

m + n; x + y

là các số nguyên dương

lớn hơn 1.
0,1, 2,....,9

Bài 4. (2,0 điểm) Ta viết mười số
vào mười ơ trịn trong hình bên
dưới, mỗi số được viết đúng 1 lần. Sau đó, ta tính tổng của ba số trên mỗi
đoạn thẳng để nhận được 6 tổng. Có hai khơng một cách viết 10 số như thế
sao cho 6 tổng nhận được bằng nhau.


Giả sử tồn tại một cách điền số
thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi các
số được điền là

a1 , a2 ,......, a10

như hình vẽ trên

Khi đó :
6 S = ( a1 + a5 + a2 ) + ( a2 + a7 + a3 ) + ( a3 + a6 + a1 ) + ( a3 + a10 + a4 )
+ ( a4 + a9 + a2 ) + ( a4 + a8 + a1 )

= 2 ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 )
= 2 ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 )
= 2 ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + 45

Suy ra 45 là số chẵn, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cách điền số thỏa mãn đều bài
Bài 5. (1,0 điểm)
a)

Trong mặt phẳng cho năm điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác tù có các đỉnh được
lấy từ năm điểm đã cho
A1 , A2 , A3 , A4 , A5

Xét năm điểm
trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng. Có thể thấy rằng bao lồi C của năm điểm này phải là một ngũ giác lồi hoặc
một tứ giác lồi hoặc một tam giác


*Trường hợp 1: Bao lồi C của năm điểm này là một ngũ giác lồi. Khơng mất tính
tổng qt, giả sử ngũ giác đó là

A1 A2 A3 A4 A5

. Khi đó, ta có :

∠A1 A2 A3 + ∠A2 A3 A4 + ∠A3 A4 A5 + ∠A4 A5 A1 + ∠A5 A1 A2 = 540°

Suy ra , trong các góc

∠A1 A2 A3 , ∠A2 A3 A4 , ∠A3 A4 A5 , ∠A4 A5 A1 , ∠A5 A1 A2

phải có một góc lớn

90°

hơn
, từ đó suy ra điều cần chứng minh
*Trường hợp 2: Bao lồi C của năm điểm này là một tứ giác lồi. Khơng mất tính
tính tổng qt, giả sử tứ giác đó là
giác

A2 A3 A4 A5

. Ta có :

nhất trong các góc
90°

. Khi đó , điểm

A1

phải nằm trong tứ

∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 + ∠A4 A1 A5 + ∠A5 A1 A2 = 360°

∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2

. Nếu góc này có số đo bằng

đều phải bằng nhau và bằng
A2 , A1 , A4

A2 A3 A4 A5

90°

90°

thì cả 4 góc

. Suy ra

. Do đó , góc lớn

phải có số đo không nhỏ hơn

∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2

∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 = 180°

, tức là ba điểm

thẳng hàng, mâu thuẫn. Như vậy, góc lớn nhất trong các góc

∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2

phải là góc tù. Ta có điều phải chứng minh
*Trường hợp 3: Bao lồi C của năm điểm này là một tam giác. Không mất tính tổng
qt, giả sử tam giác đó là
giác này, Suy ra

A2 A3 A4

. Khi đó hai điểm

∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 + ∠A4 A1 A2 = 360°

A1

và

A5

phải nằm trong tam

. Từ đó , góc lớn nhất trong ba
360°
= 120° > 90°.
3

∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A2

góc
phải có số đo khơng nhỏ hơn
Ta có
điều phải chứng minh.
b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm sao cho khơng có ba điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2018 tam giác tù mà mỗi tam
giác tù đó có các đỉnh được lấy từ

2022

điểm đã cho


n+4

Ta sẽ chứng minh mệnh đề tổng quát bằng quy nạp theo n: Với
điểm trên mặt
phẳng cho trước , sao cho khơng có ba điểm nào thẳng hàng, tồn tại ít nhất n tam
giác tù mà mỗi tam giác tù đó có các đỉnh được lấy từ
Theo kết quả câu a) mệnh đề đúng với

n = 1.

n+4

Giả sử mệnh đề đúng với

nguyên dương, ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với
A1 , A2 ,.... Ak +5

năm điểm

điểm đã cho.

n = k + 1/ .

Xét

Ak +1 , Ak + 2 , Ak +3 , Ak + 4 , Ak +5

tù.Bỏ qua điểm

k +5

điểm

theo câu a) ta tìm được một tam giác tù có các đỉnh

Ak +5

và xét

k +4

điểm

A1 , A2 ,.... Ak + 4

k

Như vậy, từ

k +5

điểm

A1 , A2 ,....., Ak + 5

, ta tìm được

k +1

k +4

k+4

điểm này.

tam giác tù có các đỉnh được

điểm đang xét. Khẳng định cũng đúng với
n

Ak +3 Ak + 4 Ak +5

. Theo giả thiết quy nạp, từ

điểm đang xét, ta tìm được tam giác tù có các đỉnh được lấy từ

k +5

với k

trên mặt phẳng sao cho khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, với

lấy được từ năm điểm này.Khơng mất tính tổng qt, giả sử tam giác

lấy từ

n=k

nạp, ta có khẳng định đúng với mọi nguyên dương .

n = k + 1.

Theo nguyên lý quy