Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 22 23 hồ chí minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2022-2023
MƠN THI: TỐN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐÈ THI CHÍNH THỨC

xy   1  x 2   1  y 2   1
Câu 1. (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức



M  x  1 y2

 y

1 x2



Câu 2. (2,5 điểm)
2
a) Giải phương trình : x  4  x  x  x  4

b) Giải hệ phương trình :

 x
 y  z  2x 1

 y
 3 y 1

z  x
 z
 x  y  5z  1


Câu 3. (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các
điểm M , N sao cho MAN  45
a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB
b) Kẻ MP / / AN  P  AB  và kẻ NQ song song với AM  Q  AD  . Chứng minh
AP  AQ

Câu 4. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3
a) Chứng minh rằng ab  bc  ca  3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

a
b
c
 2
 2
b 1 c 1 a 1
2

 có các đường cao AD, BE , CF
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn 
cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại I. Đường thẳng qua A
vng góc với IH tại K và cắt BC tại M
AB  AC

BI
CI

a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp và BD CD

b) Chứng minh M là trung điểm của BC
Câu 6. (1,0 điểm) Số nguyên dương n được gọi là “số tốt” nếu n  1 và 8n  1 đều là
các số chính phương


a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2,3 chữ số
k  10
b) Tìm các số nguyên k thỏa mãn
và 4n  k là hợp số với mọi n là “số tốt”


ĐÁP ÁN
Câu 1. (1,0 điểm) Cho

x, y là

Tính giá trị của biểu thức

hai số thực thỏa mãn



M  x  1 y2

 y

1  x2

xy 

 1 x   1 y   1
2



Ta có :

 1  x   1  y   1   1  x   1  y   1  xy
 1  x   1  y   1  2 xy  x y
1  x  y  x


xy 

2

2

2

2

2

2

2


1  xy  0

2

2

2

2


 xy  1

y 2  1  2 xy  x 2 y 2

 x  y  2  0
x   y



 xy  1
 xy  1

Ta được



M  x  1 y2



 x  1  x2

 y

  x 

1  x2





1  x2   1  x2   x2  1

Câu 2. (2,5 điểm)
x  4  x  x2  x  4

c) Giải phương trình :
Điều kiện : x  4

2

 x4  x  x 







x  x4

x  x4




x  4 
x4

2



x






x  0
(ktm)
 x  x4 0 
x


4




3  21
x  x  4 1  0  
x 
2
 x  x  4 1  0  


1  13

x 

2


x  x4 0



Vậy phương trình có nghiệm

x

1  13
3  21
;x 
2
2

2


d) Giải hệ phương trình :

 x
 y  z  2x 1

 y
 3 y 1

z x
 z
 x  y  5z 1


Từ giả thiết, suy ra x, y, z  0
x
x yz
 x



 y  z  2 x  1 2 x  y  z  1 2 x  y  z



y
x yz
 y


 3 y  1  3 y 
 1  3 y 

zx
zx
z  x


z
x yz
 z


 x  y  5 z  1 5 z  x  y  1 5 z  x  y




 2 x  y  z   3 y  x  z   5z  x  y   x  y  z

Đặt xy  a, yz  b, xz  c
3a  3b  2a  2c  a  2c  3b

3a  3b  5b  5c  3  2c  3b   3b  5b  5c
Ta có: 

 6c  6b  5b  5c  c  11b  a  2.11b  3b  19b . Nên :
1

z x

xy

19
yz
x

19
z


 19



 xz  11 yz
 x  11y  y  1 x

11

1
1
1 1
 2 x  y  z   x  y  z  2 x   x  x  x  x
19
11
 19 11 
239
239
239
x
;y
;z 
60
60
1140

Vậy

x

239
239
239
;y 
;z 
60
60
1140

Câu 3. (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy
các điểm M , N sao cho MAN  45


c) Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB
Kẻ

AH  MN  H  MN 

. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BD với AM , AN

Xét tứ giác ABMF có MAN  FBM  45 và MAN , FBM cùng nhìn cạnh FM nên
tứ giác ABMF nội tiếp

 A1  F1 

1 ¼
sd BM  1
2
và AFM  90

Xét tứ giác AEND có MAN  EDN  45 và MAN , EDN cùng nhìn cạnh EN nên
tứ giác AEND nội tiếp  AEN  90 (vì ADN  90)
Ta có MEN  MFN  90 nên tứ giác MEFN nội tiếp
 F1  N1 

1 »
sd EN  2 
2

AMN )  3
Mặt khác A2  N1 (cùng phụ

Từ (1), (2), (3) suy ra A1  A2  ABM  AHM (ch  gn)  AB  AH
Vậy MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB


d) Kẻ

MP / / AN  P  AB 

AP  AQ

và kẻ NQ song song với

AM  Q  AD  .

Ta có : AMP  MAN  ANQ  45 (so le trong)
AMP  EMP  PBE  45

Nên tứ giác PBME nội tiếp  PEM  90
 PE  AM mà NE  AM (cmt )  P, E , N thẳng hàng

Chứng minh tương tự : Q, F , M thẳng hàng
PNQ  QMP  90 nên tứ giác PQNM nội tiếp  P1  M 1

Lại có tứ giác FEMN nội tiếp  E1  M 1 mà E1  E2 (đối đỉnh)
 P1  E2

. Ta có PQ / / BD  APQ  ABD  45

 APQ vuông cân tại A nên AP  AQ

Câu 4. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3
c) Chứng minh rằng ab  bc  ca  3
Ta có : a  b  c  3

 a  b  c

2

 3  ab  bc  ca  

1
2
2
2
 a  b    b  c    c  a    0

2

  a  b  c   3  ab  bc  ca   ab  bc  ca  3
2

(vì a  b  c  3)

Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  1
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

a
b
c
 2
 2
b 1 c 1 a 1
2

a
ab 2

a

 1
2
b2  1
Ta có : b  1
b 2  1  2b 

1
1
ab 2
ab 2
ab 2
ab








 2
2
2
2
b  1 2b
b 1
2b
b 1
2

Từ (1) và (2)



a
ab
 a   *
b 1
2
. Chứng minh tương tự :
2

b
bc
c
ac
b ; 2

 c   **
c 1
2 a 1
2
2

Từ

 * ,  **  P   a  b  c  

ab  bc  ca
3
3
 P  3  P 
2
2
2

Chứng minh


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1


 có các đường cao
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn 
AD, BE , CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại I. Đường
thẳng qua A vng góc với IH tại K và cắt BC tại M
AB  AC

BI
CI

c) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp và BD CD

Ta có : AFH  AKH  AEH  90  F , H , K , E, A cùng thuộc đường tròn đường
FKI  FEB  1
kính AH  FKH  FEH hay

Cũng có BFC  BEC  90  B, F , E, C cùng thuộc đường trịn đường kính BC
 FEB  FCB  2 

Từ (1), (2) suy ra FKI  FCB hay FKI  FCI  IFKC nội tiếp
Ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp nên FEB  FCB (3)
Ta có HDC  HEC  90  Tứ giác HDCE nội tiếp đường trịn đường kính HC
 HED  HCD hay BED  FCB (4)


Từ (3) và (4) suy ra FEB  FCB  EB là phân giác trong góc E của IED
Mà EC  EB  EC là phân giác ngồi góc E của IED


BI
CI
EI


BD CD ED (tính chất đường phân giác)

d) Chứng minh M là trung điểm của BC

Xét AIM có hai đường cao AD và IK cắt nhau tại H  H là trực tâm
 MH  AI hay MT  AI  HTA  90  T thuộc đường tròn đường kính AH

Mà F , H , E , A thuộc đường trịn đường kính AH
Nên 5 điểm T , F , H , K , E cùng thuộc đường trịn đường kính AH
 IT .IA  IF .IE  *

 IF .IE  IB.IC  **
Mặt khác, tứ giác BFEC nội tiếp (cmt)

Từ (*) và (**)  IT .IA  IB.IC  TACB là tứ giác nội tiếp
 T thuộc đường trịn (O) ngoại tiếp ABC

Kẻ đường kính AA1 của (O)
1  AT
1  IA mà MT  AI
Ta có ATA1  90  AT  AT

 A1 , T , H , M thẳng hàng

Mà ta dễ chứng minh A1BHC là hình bình hành và M là giao điểm của BC và A1 H
nên M là trung điểm của BC
Câu 6. (1,0 điểm) Số nguyên dương n được gọi là “số tốt” nếu n  1 và 8n  1 đều
là các số chính phương
c) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2, 3 chữ số
Ta có n  3  n  1  4;8n  1  25 đều là các số chính phương
n  15  n  1  16,8n  1  121 đều là các số chính phương

n  120  n  1  121,8n  1  961 đều là các số chính phương

Vậy n  3, n  15, n  120 là ba số tốt
k  10
d) Tìm các số nguyên k thỏa mãn
và 4n  k là hợp số với mọi n là “số
tốt”

Ta có n  1 và 8n  1 là hai số chính phương


Nếu

n  1 mod 3  n  1  2  mod 3  ktm

Nếu

n  2  mod 3  8n  1  2  mod 3  ktm

Vậy nM3
Với

k   1; 1;5; 5; 7; 7; 9; 10

thì 4k  1 là số nguyên tố

Với

k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10

dê thấy 4n  k khác 2 và 3 nên 4n  k là hợp số

Vậy

k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10