Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bà rịa vũng tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH VŨNG TÀU
NĂM HỌC 2022-2023
Môn : TỐN CHUN
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức


P=



b) Giải phương trình :

c) Giải phương trình

x −2

(

)(

x −1

−

) (

x +1

(

)


x + 2  2 x −1
:
2
2
x +1  ( 1− x)


)

với

x ≥ 0, x ≠ 1

x 2 − 3 x + 2 − ( x − 1) 2 x − 5 = 0

 x 2 + 4 xy + x − 2 = 0
 2
 4 y + x + 4 y − 1 = 0

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực
có nghiệm

(x

a, b, c, d

thỏa mãn

+ ax + b ) ( x + cx + d ) = 0

2

. Chứng minh phương trình sau ln

2

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên

( x + y ) ( 2x + 3y )

ac
≥2
b+d

2

( x; y )

thỏa mãn phương trình

+ 2x + y + 2 = 0

Câu 3. (1,0 điểm) Với các số thực dương
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x, y , z

thỏa mãn

2 ( x2 + y 2 + z 2 ) = 3 y ( x + z )

P = 2 ( x + y + z ) − ( x2 + z 2 )

Câu 4.(3,0 điểm)
Cho tam giác
cao

AD, BE , CF

a)

ABC

nhọn

( AB < AC )

cắt nhau tại H. Gọi

Chứng minh rằng

IJ

I, J

nội tiếp đường tròn tâm O và có ba đường

lần lượt là trung điểm của

vng góc với

EF

và

IJ

AH

và BC

song song với OA


EF

Gọi K, Qlần lượt là giao điểm của

b)

với

BC

và

AD.

Chứng minh rằng

QE KE
=
QF KF

Đường thẳng chứa tia phân giác của

c)

∠CAB

phân giác của

cắt

AB, AC

lần lượt tại

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A. Chứng minh ba điểm

H , P, J

Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác

ABC

đổi đi qua trọng tâm của tam giác
S1 , S2

∠FHB

AMN

M,N

tại điểm P khác

thẳng hàng
cố định có diện tích S. Đường thẳng

ABC

lần lượt là diện tích các tam giác

. Tia

cắt các cạnh
ABN

ACM .

và

AB, AC

d

thay

lần lượt tại M, N. Gọi

Tìm giá trị nhỏ nhất của

S1 + S 2

ĐÁP ÁN
Câu 1. (3,0 điểm)

a)


P=



b)


P=



Rút gọn biểu thức

(

x −2

)(

x −1

−

) (

x +1

Điều kiện:

( x − 1) ( x − 2 −
Vậy

5
2

)(

x −1

(

−

) (

x +1

)

(

(
(

)

)
)(

)

)

x 2 − 3 x + 2 − ( x − 1) 2 x − 5 = 0

. Phương trình tương đương

 x = 1(ktm)
2x − 5 = 0 ⇔ 
 x − 2 = 2 x − 5 ⇔ ..... ⇔ x = 3(tm)

)

x=3

c) Giải phương trình

)


x + 2  2 x −1
:
2
2
x +1  ( 1− x)


2

−2 x ( x − 1)
x + 2  2 x −1
:
=
=− x
2

2
2
1
−
x
(
)
x +1 
2 x −1
x +1


Giải phương trình :
x≥

(

x −2

2

 x + 4 xy + x − 2 = 0
 2

4 y + x + 4 y − 1 = 0

với

x ≥ 0, x ≠ 1

Cộng hai phương trình đã cho vế theo vế được

( x + 2y)

2

x + 2y =1
+ 2( x + 2y) − 3 = 0 ⇔ 
 x + 2 y = −3

Trường hợp 1:

x + 2 y = 1⇒ x = 1− 2y

thay vào phương trình 2 của hệ ta được :

y = 0 ⇒ x =1
4 y +1− 2 y + 4 y −1 = 0 ⇔ 4 y + 2 y = 0 ⇔ 
y = − 1 ⇒ x = 2

2
2

2

Trường hợp 2:

x + 2 y = −3 ⇒ x = −2 y − 3

thay vào pt 2 của hệ ta được :


−1 + 17
−5 − 17
⇒x=
y =
4
2
4 y2 − 3 − 2 y + 4 y −1 = 0 ⇔ 2 y2 + y − 2 = 0 ⇔ 

−1 − 17
−5 + 17
⇒x=
y =

4
2

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

( 1; 0 ) ,  2; −


1   −5 − 17 −1 + 17   −5 + 17 −1 − 17 
;
;
÷
÷
÷; 

÷; 
÷
2  
2
4
2
4
 


Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực
ln có nghiệm

(x

2

a, b, c, d

thỏa mãn

ac
≥2
b+d

+ ax + b ) ( x + cx + d ) = 0

. Chứng minh phương trình sau

2

 x 2 + ax + b = 0 ( 1)
⇔ 2
.
x
+
cx
+
d
=
0
2
(
)


Phương trình đã cho
Giả sử phương trình này vơ nghiệm, khi
đó cả hai phương trình (1), (2) đều vơ nghiệm. Tức là :
2
 ∆ ( 1) > 0
4b > a
⇔
⇒ b > 0, d > 0 ⇒ b + d > 0


2
4d > c
 ∆ ( 2 ) > 0

Lúc này theo giả thiết thì

ac
≥ 2 ⇒ ac ≥ 2 ( b + d )
b+d

2( b + d ) >

1 2 2
( a + c ) ≥ ac
2

Tuy nhiên điều này vô lý do
Vậy điều giả sử sai . Ta có điều phải chứng minh


b) Tìm tất cả các cặp số nguyên

( x + y ) ( 2x + 3y )

2

thỏa mãn phương trình

+ 2x + y + 2 = 0

a = x + y; b = 2 x + 3 y

Đặt

( x; y )

thì từ giả thiết ta được :

ab 2 + 4a − b + 2 = 0 ⇔ a ( b 2 + 4 ) = b − 2 ⇔ a =

x, y ∈ ¢ ⇒ a , b ∈ ¢ ⇒

Do
Với

b−2
b2 + 4

b−2
∈¢
b2 + 4

x + y = 0
 x = −2
b=2⇒a =0⇒
⇔
2 x + 3 y = 2
y = 2

(thử lại đúng)

b − 2 ≥ b + 4
b 2 − b + 6 ≤ 0



b ≠ 2⇒ b−2 ≥b +4⇒ 
⇔ 2
2
2 − b ≥ b + 4
b + b + 2 ≤ 0


2

2

Với
Vậy

( x; y ) = ( −2; 2 )

(vô lý)

x, y , z

Câu 3. (1,0 điểm) Với các số thực dương
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ta có :
3y ( x + z ) = 2 y + 2 ( x + z
2

2

2

P = 2 ( x + y + z ) − ( x2 + z 2 )

) ≥ 2y + ( x + z)
2

Do đó :

thỏa mãn

2

2

 x+z
 x+z
x+z
⇒
≤2
÷ − 3
÷+ 2 ≤ 0 ⇒ 1 ≤
y
 y 
 y 

P ≤ 4 ( x + z ) − x2 − z 2 = 2 x + z − x2 − z 2 ≤ x + z + 1 − x2 − z 2
2

=

2

3 
1 
1
3
− x − ÷ − z − ÷ ≤
2 
2 
2
2
Max P =

3
1
⇔ x = z = ; y =1
2
2

Vậy
Câu 4.(3,0 điểm)

2 ( x2 + y2 + z 2 ) = 3 y ( x + z )


Cho tam giác
đường cao
BC

a)

AD, BE , CF

nhọn

( AB < AC )

IJ

AT

⇒ IJ / / AT

I, J

vng góc với

1
1
BC ; IE = IF = AH ⇒ IJ
2
2

Kẻ đường kính

nội tiếp đường trịn tâm O và có ba

cắt nhau tại H. Gọi

Chứng minh rằng

JE = JF =

b)

ABC

của (O)

EF

lần lượt là trung điểm của

và

IJ

là hình bình hành

Gọi K, Qlần lượt là giao điểm của

EF

với

BC

⇒I

và

⇒ IJ ⊥ EF

là trung điểm của HT

AD.

Chứng minh rằng

QE KE
=
QF KF

Các tứ giác

BDHF , CDHE , BCEF

và

song song với OA

là đường trung trực của EF

⇒ BHCT

AH

là các tứ giác nội tiếp nên ta có :

∠EDH = ∠HCE = ∠HBF = ∠HDF
⇒ DQ, DK

và do

là phân giác trong và phân giác ngồi của

Theo tính chất đường phân giác thì
c)

HD ⊥ HK

QE KE  DE 
=
=
÷
QF KF  DF 

Đường thẳng chứa tia phân giác của
Tia phân giác của

∠CAB

∠FHB

⇒ AP

cắt

AB, AC

H , P, J

Gọi G là giao điểm của

( AMN ) ⇒ PM / / HC , PN / / HB
PM , HB

và L là giao điểm của

HGPL

AMN

M,N

.

tại

thẳng hàng

∠AMH = ∠MBH + ∠MHB = ∠NCH + ∠NHC = ∠HNA ⇒ ∆AMN

là đường kính của

lần lượt tại

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

điểm P khác A. Chứng minh ba điểm

Ta có

∆DEF

cân tại A

PN , HC

HP

Khi đó tứ giác
là hình bình hành nên
đi qua trung điểm R của
Áp dụng định lý Talet và tính chất đường phân giác ta được :

GL

GH MF HF LH NE HE
=
=
;
=
=
GB MB HB LC NC HC
∆HFB ∽ ∆HEC ⇒

Mặt khác

Giả sử

HR

HF HE
GH LH
=
⇒
=
⇒ GL / / BC
HB HC
GB LC

cắt BC tại J’

Áp dụng định lý Talet ta có :
Vậy ba điểm

H , P, J

RG
AR
RL
=
=
⇒ J ' B = J 'C ⇒ J ' ≡ J
J ' B AJ ' J ' C

thẳng hàng

Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác

ABC

cố định có diện tích S. Đường thẳng

thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác
N. Gọi

S1 , S 2

nhất của

ABC

cắt các cạnh

lần lượt là diện tích các tam giác

S1 + S 2

ABN

và

AB, AC

ACM .

d

lần lượt tại M,

Tìm giá trị nhỏ


Gọi D là trung điểm
Ta có :

BC

và

G

là trọng tâm

∆ABC

AM AN S AMN S AMG + S ANG 1 S AMG 1 S ANG
.
=
=
= .
+ .
AB AC
S
S
2 S ABD 2 S ACD

1 AM AG 1 AN AG 1  AM AN 
= .
.
+ .
.
= 
+
÷
2 AB AD 2 AC AD 3  AB AC 
⇒

AB AC
+
=3
AM AN

. Mà

S1 + S2 S ABN + S ACM AN AM
=
=
+
S
S ABC
AC AB

S + S2  AN AM   AB AC 
4
⇒ 3. 1
=

+
+
÷
÷ ≥ 4 ⇒ S1 + S2 ≥ S
S
3
 AC AB   AM AN 
⇔

Đẳng thức xảy ra

AM AN
=
⇔ d / / BC
AB AC

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S1 + S 2

là

4
S,
3

đạt được khi và chỉ khi

d / / BC