Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bình dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÌNH DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
Năm học 2022-2023
Mơn thi: TỐN (chun)
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1. (2,5 điểm)
Cho biểu thức

 a  b  2 ab
a
a  
a
a
A  

:

 a  b



 

ba
 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

a) Rút gọn biểu thức B


a
a  
a
a
B  

: 




a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

b) Tính giá trị của
khi a  7  4 3
và b  7  4 3

Bài 2. (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x  2mx  m  2  0 (m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
M

2022
x  x22  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

2
1

Bài 3. (2,0 điểm)
x  1  x  x  1  x   1 x  ¡



a) Giải phương trình
7
b) Chứng minh rằng A  a  a chia hết cho 7, với mọi a  ¢
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn

ABC  AB  AC 

nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm

BC ; BE , CF là các đường cao  E , F là chân các đường cao). Các tiếp tuyến với
đường tròn tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N , P lần lượt là giao điểm của BS với
EF , AS với  O  (P#A). Chứng minh rằng :

a) MN  BF
b) AB.CP  AC.BP

c)CAM  BAP


ĐÁP ÁN
Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức

 a  b  2 ab
a
a  
a
a
A  

: 

 a  b




ba
 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

c) Rút gọn biểu thức B

 a  b  2 ab
a
a  
a
a
A  

:


 a  b


  a  b a  b  2 ab 

b

a
b

a
a

b

 





a








a  b a

a b



a b

 ab
a b



a b




:


.

a.







a  b a
a b

a b
ab





2







a b

a b





2

a b



2



a b  a b a b

0
a b
a b



a
a  
a
a
B  

:



 a  b a  b  2 ab 

a  b ba




 khi a  7  4 3
d) Tính giá trị của
và b  7  4 3
a  7  4 3  a  2  3; b  7  4 3  b  2  3



a
a  
a
a
 a b
B  

: 

 ..... 




a b
 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 


3 22 3 2 3

3
2 32 3

Bài 2. (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x  2mx  m  2  0 (m là tham số)

c) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thì :
 m   1 m  2   0
 '  0


 ....  m  2
 x1  x2  0  2m  0
x x  0
m  2  0
 1 2

2


Vậy m  2 thì (1) có hai nghiệm phân biệt dương
d) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
2022
x  x22  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
 '  0   1

M

Vì

2
1

ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

 x1  x2  2m

Theo Vi-et :  x1 x2  m  2
2022
2022
2022
M 2


2
2
2
x1  x2  6 x1 x2  x1  x2   8 x1 x2  2m   8  m  2 



2022



2022 337

12
2

4  m  1  12
337
Min M 
 m 1
2
Vậy
2

Bài 3. (2,0 điểm)
c) Giải phương trình

x  1  x  x  1  x   1 x  ¡

x  1  x  x  1  x   1 x  ¡



a  x

  0  x  1 . 

(a, b  0)
b  1  x
 a  1  x  0

(tm)

b

0

x

1
a  b  ab  1 a  b  ab  1


 2


2
2
 a  b   2ab  1  a  3
a  b  1
(ktm)

 b  4
S   0;1

Vậy
7
d) Chứng minh rằng A  a  a chia hết cho 7, với mọi a  ¢
A  a 7  a  a  a 3  1  a 3  1
Với mọi a  ¢ ta có :

Nếu a M7  AM7
 a 3  1M7
a  1, 2,3, 4,5, 6(mod 7)  a 3  1, 6(mod 7)   3
 a  1M7
Nếu a khơng chia hết cho 7 thì

Vậy AM7 với mọi a  ¢


Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn

ABC  AB  AC 

nội tiếp đường tròn (O), M là trung

điểm BC ; BE , CF là các đường cao 
là chân các đường cao). Các tiếp tuyến
với đường tròn tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N , P lần lượt là giao điểm của BS
E, F

với EF , AS với  O  (P#A). Chứng minh rằng :

a) MN  BF

Ta có BEC vng tại E có EM là trung tuyến nên
 MEC cân tại M  MEC  ACB

EM 

BC
 MB  MC
2


Tứ giác BFEC có BFC  BEC  90  tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường

kính BC  FEA  ABC (cùng bù với FEC )
 MEN  180   MEC  FEA   180   ACB  ABC   BAC

(tổng ba góc trong

ABC ) , ta lại có BAC  CBS (cùng chắn cung BC )  MEN  CBS   BAC 

Mà MBN  CBS  180 (hai góc kề bù)  MEN  MBN  180 nên tứ giác BMEN
nội tiếp nên BMN  BEN (cùng chắn cung BN)


 , hai góc này lại
Vì BEN  BCF (cùng chắn cung BF )
ở vị trí đồng vị nên MN / / CF . Do theo bài ta có CF  BF  MN  BF
 BMN  BCF  BEN

b) AB.CP  AC.BP

Xét SBP và SAB có : S chung, SBP  SAB (cùng chắn cung BP)
 SBP ∽ SAB 

BP SB

 1
AB SA

Xét SCP và SAC có: S chung; SCP  SAC (cùng chắn cung CP)
 SCP ∽ SAC ( g .g ) 

CP SC


 2
AC SA

Mà theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : SB=SC (3)
BP CP

 AB.CP  AC.BP
Từ (1), (2), (3) ta có : AB AC
c)CAM  BAP

Vận dụng định lý Ptoleme, ta có tứ giác ABPC nội tiếp (O)
 AP.BC  AB.CP  AC.BP

Theo câu b) thì AB.CP  AC.BP  AP.BC  2BP. AC  AP.2CM  2 BP. AC
 AP.CM  BP. AC 

AP AC

BP CM

Xét BPA và MCA có :
AP AC

 cmt 
AB
)
BPA  MCA (cùng chắn cung
; BP CM

 BPA ∽ MCA(c.g .c)  CAM  BAP