Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh cà mau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CÀ MAU

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học 2022-2023
Mơn thi: Tốn (Chun)
Ngày thi: 22/6/2022
Thời gian: 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1.(1,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau
A = 17 − 4 9 + 4 5 +

(

5 −3

)

2

B = 4+ 7 − 4− 7

Bài 2. (1,0 điểm) Giải phương trình :
a ) x 7 x − 12 = 2 x 2 − 7 x + 12

b)

x−4
2

1
=
+ 2
2
2
x + 2x 4 − x
x − 2x

( P) : y =
Bài 3. (1,5 điểm) Cho Parabol
a)

b)

Chứng tỏ đường thẳng
Khi
độ

1
m= ,
4

Oxy

vẽ Parabol

( d)

( P)

3 2
x
2

và đường thẳng

( d ) : y = 2mx + 1

luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

và đường thẳng

( d)

trên cùng một mặt phẳng tọa

và tìm tọa độ giao điểm của chúng
3000

Bài 4. (1,5 điểm) Một xí nghiệp chế biến thủy sản dự kiến đóng
hộp tơm xuất
khẩu trong một thời gian nhất định. Trong 6 ngày đầu họ thực hiện đúng tiến độ,
những ngày sau đó mỗi ngày đóng vượt 10 hộp tơm xuất khẩu nên chẳng những
hồn thành sớm được 1 ngày mà cịn vượt mức 60 hộp tơm xuất khẩu nữa. Hỏi
theo dự kiến, mỗi ngày xí nghiệp đó đóng bao nhiêu hộp tơm xuất khẩu ?
Bài 5. (1,0 điểm) Cho số
"

3

"

được viết lặp lại

M = 2018 + 3 120 + 3 120 + .... + 3 120

2022

lần). Chứng minh rằng

Bài 6. (1,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên
a + b = a + b + ab
2

2

( a; b )

(trong đó dấu căn bậc ba

2022 < M < 2023

thỏa mãn đẳng thức :


Bài 7. (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính
điểm C cố định (khác A và B). Kẻ
BC

lấy điểm

rằng :
a)

E

Tứ giác

CD

vng góc với

bất kỳ (khác C và B), đường thẳng
KDBE

AB,

AE

trên nửa đường tròn lấy

AB

(D thuộc AB). Trên cung

cắt

CD

tại K. Chứng minh

nội tiếp một đường tròn

AC 2 = AK .AE

b)

Chứng minh

c)

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
thẳng cố định khi

E

thay đổi trên cung

CEK

BC

luôn nằm trên một đường


ĐÁP ÁN
Bài 1.(1,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau
A = 17 − 4 9 + 4 5 +

( 2 − 5)

=

2

(

5 −3

)

2

(

)

= 17 − 4 2 + 5 + 5 − 3

+ 3− 5 = 5 − 2 + 3− 5 =1

2B = 4 + 7 − 4 − 7 = 8 + 2 7 − 8 − 2 7 = 7 + 1 −

(

)

7 −1 = 2 ⇒ B = 2

Bài 2. (1,0 điểm) Giải phương trình :
a ) x 7 x − 12 = 2 x 2 − 7 x + 12

x≥

Điều kiện :

12
7

. Đặt

a = 7 x − 12 ( a ≥ 0 )

, khi đó ta có phương trình :

xa = 2 x − a ⇔ ( x − a ) ( 2 x + a ) = 0 ⇔ x = a (do 2 x + a > 0)
2

2

x ≥ 0
x = 3
⇒ 7 x − 12 = x ⇔ 
⇔
 x = 4 (tm)
2

7 x − 12 = x

Vậy
b)

S = { 3; 4}

x−4
2
1
=
+ 2
2
2
x + 2x 4 − x
x − 2x

Điều kiện :

x ≠ 0; x ≠ ±2

. Phương trình đã cho tương đương với :

 x = 2(ktm)
x − 5x + 6
=0⇔
x ( x − 2) ( x + 2)
 x = 3(tm)
2

Vậy

x=3

( P) : y =

Bài 3. (1,5 điểm) Cho Parabol
c)

( d)

3 2
x
2

và đường thẳng

( d ) : y = 2mx + 1

Chứng tỏ đường thẳng
luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là :
3 2
x = 2mx + 1 ⇔ 3 x 2 − 4mx − 2 = 0
2

∆ ' = 4m 2 + 6 > 0, ∀m


Suy ra phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, tức là đường thẳng
Parabol
d)

( P)

Khi

( d)

luôn cắt

tại hai điểm phân biệt
1
m= ,
4

vẽ Parabol

( P)

và đường thẳng

( d)

trên cùng một mặt phẳng

Oxy

tọa độ
và tìm tọa độ giao điểm của chúng
Học sinh tự vẽ (P)
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và đường thẳng

(d) :

3


x =1⇒ y =

3 2 1
2
x = x + 1 ⇔ 3x 2 − x − 2 = 0 ⇔ 
2
2
x = − 2 ⇒ y = 2

3
3

Vậy tọa độ giao điểm

 3  2 2
A 1; ÷, B  − ; ÷
 2  3 3
3000

Bài 4. (1,5 điểm) Một xí nghiệp chế biến thủy sản dự kiến đóng
hộp tơm
xuất khẩu trong một thời gian nhất định. Trong 6 ngày đầu họ thực hiện đúng
tiến độ, những ngày sau đó mỗi ngày đóng vượt 10 hộp tơm xuất khẩu nên
chẳng những hồn thành sớm được 1 ngày mà cịn vượt mức 60 hộp tơm xuất
khẩu nữa. Hỏi theo dự kiến, mỗi ngày xí nghiệp đó đóng bao nhiêu hộp tôm
xuất khẩu ?
x

Gọi (hộp/ngày) là năng suất dự kiến của xí nghiệp

( x ∈ ¥ *)

3000
x

Suy ra thời gian dự kiến:
(ngày)
Theo bài ra ta có phương trình :
 x = 120(tm)
 3000

6x + 
− 1 − 6 ÷. ( x + 10 ) = 3000 + 60 ⇔ x 2 + 130 x + 30 000 = 0 ⇔ 
 x

 x = −250 ( ktm )

Vậy dự kiến, mỗi ngày xí nghiệp đó đóng được

120

hộp tơm xuất khẩu


Bài 5. (1,0 điểm) Cho số
ba

"

Đặt

3

"

được viết lặp lại

M = 2018 + 3 120 + 3 120 + .... + 3 120

2022

lần). Chứng minh rằng

(trong đó dấu căn bậc

2022 < M < 2023

A = 3 120 + 3 120 + .... + 3 120

Dễ thấy điều phải chứng minh tương đương với

4< A<5

A3 > 120 > 64 = 43 ⇒ A > 4 ( 1)

Ta thấy
Ta có nhận xét :

A3 − 120 < A ⇒ ( A − 5 ) ( A2 + 5 A + 24 ) < 0 ⇔ A < 5 (do A2 + 5 A + 24 > 0 ∀A > 0) ( 2 )

Từ (1) và (2)

⇒ 4 < A < 5 ( dfcm )

Bài 6. (1,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên

( a; b )

thỏa mãn đẳng thức :

a + b = a + b + ab
2

2

a 2 + b 2 = a + b + ab ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( a − b ) = 2
2

⇒

2

( a − 1) , ( b − 1) , ( a − b )
2

2

2

2

trong 3 số
phải có đúng hai số bằng 1 và 1 số bằng 0
Giải các trường hợp, ta thu được 6 nghiệm nguyên :

( a; b ) ∈ { ( 1; 2 ) ; ( 2;1) ; ( 1; 0 ) ; ( 0;1) ; ( 0;0 ) ; ( 2; 2 ) }


Bài 7. (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính
điểm C cố định (khác A và B). Kẻ
cung

BC

lấy điểm

E

CD

AB,

vng góc với

trên nửa đường tròn lấy

AB

bất kỳ (khác C và B), đường thẳng

(D thuộc AB). Trên
AE

cắt

CD

tại K.

Chứng minh rằng :
d)

Tứ giác
Ta có :

KDBE

nội tiếp một đường trịn

∠KEB = 90°

∠KDB = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

(vì CD vng góc với AB tại D)

⇒ ∠KEB + ∠KDB = 90° + 90° = 180°
⇒ KDBE

e)

là tứ giác nội tiếp

Chứng minh
Tứ giác
Suy ra
Ta có

, mà D và E là hai đỉnh đối nhau

KDBE

AC 2 = AK . AE

nội tiếp

⇒ ∠AKD = ∠ABC ⇒ ∆ADK ∽ ∆AEB( g .g )

AD AE
=
⇒ AD. AB = AK . AE ( 1)
AK AB

∠ACB = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tam giác
AC = AD. AB ( 2 )
2

C có CD là đường cao, theo hệ thức lượng:

ACB

vuông tại


Từ (1) và (2)
f)

⇒ AC 2 = AK . AE ( dfcm )

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
thẳng cố định khi

E

thay đổi trên cung

Gọi I là tâm của đường trịn
Từ

CEK

ln nằm trên một đường

BC

( CEK )

AC 2 = AK .KE ⇒ ∆AKC ∽ ∆ACE (c.g.c) ⇒ ∠ACK = ∠CEK

Suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn
Suy ra 3 điểm

B, I , C

( CEK ) ⇒ IC ⊥ AC ,

mà

BC ⊥ AC

thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng

BC −

cố định