Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh cao bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH CAO BẰNG

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG
NĂM HỌC 2022-2023
MÔN THI : TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)
x +2
x + 3 2x + 4 x − 4
−
−
x +1 5 − x x − 4 x − 5

A=
a)
b)

Rút gọn biểu thức
Cho Parabol

( P ) : y = mx 2

Tìm giá trị của

m

để

rằng khi đó hai điểm
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực
P=

2021

a, b, c

2022

(d)
A

và đường thẳng

cắt

A

và

B

. Chứng minh

a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca

thỏa mãn

. Tính giá trị biểu thức

2023

a
b
c
+ 2022 + 2023
2021
b
c
a

a) Cho hệ phương trình :

sao cho biểu thức

A = 3x − y

b) Giải phương trình
Câu 4. (3,0 điểm)

I

m

Tia

IO

(m là tham số)

để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

( x; y )

nhận giá trị nguyên

AB

( O; R )

lấy điểm

tại C. Gọi là trung điểm của
AM .

thỏa mãn

x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + 2

x + 3 + 2 − x − 6 − x − x2 = 1

Cho nửa đường tròn
tại B. Trên cung

( x; y )

mx − y = 3


2 x + my = 9

Tìm các giá trị nguyên của

điểm của

tại hai điểm phân biệt

(m là tham số,

m > 0)

và B nằm bên phải trục tung

b) Tìm các cặp số nguyên dương
Câu 3. (2,0 điểm)

( O)

( P)

( d ) : y = 2 x − m2

đường kính
M

AM .

(M khác

Tia

cắt đường thẳng

IO
d

AB.
A

Đường thẳng

và B). Tia

cắt đường thẳng

tại

N

AM

d

d

là tiếp tuyến của

cắt đường thẳng

I

d

tại C. Gọi là trung


a)

Chứng minh rằng tứ giác

b)

Chứng minh

OBCI

AI .IC = IO.IN

O

c)

Gọi E là hình chiếu của

d)

Xác định vị trí của M để

AN

trên

. Chứng minh rằng

2AM + AC

AN .CE
= 2R
CN

đạt giá trị nhỏ nhất

a , b, c

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương
Chứng minh rằng

nội tiếp

thỏa mãn

4a + 3b + 2c = 10

3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 4 a + 3b + 15
+
+
≥ 15
1 + 4a
1 + 3b

1 + 2c

ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)
x +2
x + 3 2x + 4 x − 4
−
−
x +1 5 − x x − 4 x − 5

A=
c)

Rút gọn biểu thức
Điều kiện :

x +2
x + 3 2x + 4 x − 4
−
−
=
x +1 5 − x x − 4 x − 5

A=

=

(

x ≥ 0, x ≠ 25

−3 x − 3

)(

x +1

d)

x −5

=

) (

Cho Parabol
m > 0)

−3

(

)

x +1

)(

x +1

x −5

( P ) : y = mx 2

Tìm giá trị của

m

(
)

x +2

=

)(

) ( x + 3) ( x + 1) − 2 x − 4
( x + 1) ( x − 5)

x −5 +

−3
x −5

và đường thẳng

để

( d)

cắt

( P)

Chứng minh rằng khi đó hai điểm
Do

m>0

∆ ' =1− m

nên phương trình

3

A

mx − 2 x + m = 0 ( 1)
2

x +4

( d ) : y = 2 x − m2

(m là tham số,

tại hai điểm phân biệt

A

và

B

và B nằm bên phải trục tung

2

là phương trình bậc hai 1 ẩn có

.


Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì

∆ ' > 0 ⇔ ( 1 − m ) ( 1 + m + m 2 ) > 0 ⇔ m < 1(do 1 + m + m2 > 0)

0 < m <1

Kết hợp với điều kiện đầu bài ta có
cắt (P) tại hai điểm phân biệt

thì (1) có 2 nghiệm phân biệt hay (d)

A, B

2

 x1 + x2 = > 0

m

 x1 x2 = m > 0 ⇒ x > 0; x > 0
1
2

Theo định lý Vi-et ta có
Nên (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm bên phải trục tung
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực
P=

2021

a , b, c

2022

thỏa mãn

a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca

. Tính giá trị biểu thức

2023

a
b
c
+ 2022 + 2023

2021
b
c
a

Ta có :
a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac = 0
⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 0 ⇔ a = b = c
2

⇒P=

2

2

a 2021 b 2022 c 2023
+
+
=3
b 2021 c 2022 a 2023

b) Tìm các cặp số ngun dương
x

2022

=y

2022

−y

1348

−y

674

Ta có :
a = x 674 , b = y 674 , a, b ∈ ¥ *

Đặt
Xét :

+ 2 ( 1)

( x; y )

thỏa mãn

ta được phương trình :

x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + 2

a3 = b3 − b2 − b + 2

a 3 − ( b − 1) = b3 − b 2 − b + 2 − b3 + 3b 2 + 1 = 2b 2 − 4b + 3 = 2 ( b − 1) + 1 > 0
3

2

⇒ a 3 > ( b − 1) ⇒ a 3 ≥ b3 ⇔ b3 − b 2 − b + 2 ≥ b3
3

⇔ b 2 + b − 2 ≤ 0 ⇔ ( b + 2 ) ( b − 1) ≤ 0 ( do b + 2 > b − 1)
b + 2 ≥ 0
⇒
⇒ −2 ≤ b ≤ 1
b − 1 ≤ 0

Do

b ∈ ¥ * ⇒ b = 1 ⇒ y 674 = 1 ⇒ y = 1( do y ∈ ¥ *) ⇒ x = 1(do x ∈ ¥ *)


( x; y ) = ( 1;1)

Vậy
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho hệ phương trình :

mx − y = 3

2 x + my = 9

Tìm các giá trị nguyên của

( x; y )

sao cho biểu thức

Ta có :
Thế

mx − y = 3

2 x + my = 9

y = mx − 3

Thay

A = 3x − y

mx − y = 3 ⇔ y = mx − 3 ( 1)

3m + 9
m2 + 2

y = m.

vào (1) ta được :

Vậy với mọi m, thì hệ có nghiệm
A = 3x − y = 3.

nhận giá trị nguyên

2 x + my = 9

vào phương trình

3m + 9
m2 + 2

(m là tham số)

để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

. Từ phương trình :

2 x + m ( mx − 3) = 9 ⇔ x =
x=

m

3m + 9
9m − 6
−3 = 2
2
m +2
m +2

3m + 9

 x = m 2 + 2

 y = 9m − 6


m2 + 2

3m + 9 9m − 6
33
− 2
= 2
2
m +2 m +2 m +2

Để A có giá trị ngun thì
b) Giải phương trình

ta được :

. Ta có :

33M( m 2 + 2 ) ⇒ m 2 + 2 ∈ { 3;11;33} (do m 2 + 2 > 0) ⇒ m ∈ { ±1; ±3}

x + 3 + 2 − x − 6 − x − x2 = 1

x + 3 + 2 − x − 6 − x − x 2 = 1 ( −3 ≤ x ≤ 2 )

(
⇔(
⇔

) (
x − 3 − 1) − (
x + 3 −1 +

2− x −
x−2

)(

( 2 − x ) ( x + 3) ) = 0

)

x + 3 −1 = 0 ⇔

 x +3 =1
x + 3 =1
 x = −2
⇔
⇔
⇔
(tm)
 x − 2 = 1  x − 2 = 1  x = 1

(

)(

)

x + 3 −1 1− x − 2 = 0


S = { −2;1}

Vậy phương trình có tập nghiệm
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho nửa đường trịn

của

( O)

thẳng
I

d

tại B. Trên cung

AB

đường kính

lấy điểm

I

M

tại C. Gọi là trung điểm của

là trung điểm của

e)

( O; R )

AM .

Tia

IO

AB.

(M khác

AM .

Tia

OBCI

nội tiếp

A

IO

cắt đường thẳng

Chứng minh rằng tứ giác

Đường thẳng

d

và B). Tia

d

AM

là tiếp tuyến
cắt đường

cắt đường thẳng
tại

N

d

tại C. Gọi


IA = IM ( gt ) ⇒ OI ⊥ AM ⇒ ∠OIC = 90°

Do

(d)

Vì

là tiếp tuyến của (O) tại

Xét tứ giác

OBCI

Suy ra tứ giác
f)

Xét

có :

OBCI

Chứng minh

∆IOA

và

∆ICN

∠OIC + ∠CBO = 90° + 90° = 180°

nội tiếp

AI .IC = IO.IN

có :

∠AIO = ∠NIC = 90°; ∠IAO = ∠INC

Do đó

O

là trực tâm

Suy ra ba điểm
Xét

(vì cùng phụ với

∠ACB)

IO IA
∆IOA ∽ ∆ICN ( g .g ) ⇒
=
⇒ IO.IC = IA.IC (dfcm)
IC IC

Gọi E là hình chiếu của

g)

Do

B ⇒ d ⊥ AB ⇒ ∠CBO = 90°

∆ABN

và

∆ANC

C , O, E

∆CEN

nên

O

trên

CO ⊥ AN

AN

mà

. Chứng minh rằng

AN .CE
= 2R
CN

OE ⊥ AN

thẳng hàng

có :

∠ABN = ∠CEN = 90°; ∠ANB

chung

AB AN
AN .CE
⇒
=
⇒
= AB = 2 R (dfcm)
CE CN
CN
h)

Xác định vị trí của M để

2AM + AC

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
Mà

2 AM + AC ≥ 2 2 AM . AC ( 1)

AM . AC = AB 2 = 4 R 2 ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất

2AM + AC

2 AM + AC ≥ 2 2.4 R 2 = 4 R 2

đạt giá trị nhỏ nhất là

4R 2

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương

khi

a , b, c

2AM = AC

thỏa mãn

hay M là trung điểmAC

4a + 3b + 2c = 10


Chứng minh rằng
Đặt

3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 4a + 3b + 15
+
+
≥ 15
1 + 4a
1 + 3b
1 + 2c

x = 4a + 1; y = 3b + 1; z = 2c + 1

x, y , z

(với

là các số dương). Suy ra

Thì bất đẳng thức đã cho trở thành: Cho
x + y + z = 13

x, y , z

là các số dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng :

y + z + 13 x + z + 13 x + y + 13
+
+
≥ 15

x
y
z

Ta có :
VT =

y z 13 x z 13 x y
+ + + + + + + + 13
x x x y y y z z

y x y z z
=  + ÷+  + ÷+  +
 x y  z y x

1 1 1
x
÷+ 13  + + ÷( 1)
z
x y z

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương , ta có :
x y
x y
+ ≥ 2 . = 2,
y x
y x

tương tự

y z
x z
+ ≥ 2; + ≥ 2 ( 2 )
z y
z x

Ta lai có :
1 1 1
 x y  y z x
+ + ÷ = 3 +  + ÷+  + ÷+  +
x y z
 y x  z y z

( x + y + z) 
⇔

z
÷≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
x

1 1 1
9
9
+ + ≥
= ( Do x + y + z = 13) ( 3)
x y z x + y + z 13
VT ≥ 2 + 2 + 2 + 13.

Từ (1), (2), (3) ta có :
x=y=z=

Dấu bằng xảy ra khi

x + y + z = 13

9
= 15( dfcm)
13

13
10
10
10
⇔ a = ;b = ;c =
3
12
9
6