Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh dak nông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DAK NÔNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn thi: Tốn (chun)
Thời gian làm bài : 150 phủt

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

 x x 1 x x 1  2x
P  

:
x 1
x 1 

 x  1 với x  0, x  1
Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P với x  3  2 2
c) Tìm x để P  3
Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình :  x  9   x  6   x  4   x  1  56
2 x 2  2 y 2  5 xy  9 x  9  0
 2
x  2 y  2 x2  2 y  2 1  0
b) Giải hệ phương trình 

Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho phương trình bậc hai:

x 2  2  3m  1 x  3  m2  2   0  *

với m là tham số. Tìm

m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và x  x  2 x1 x2  4
2
1

2
2

x; y
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên   của phương trình :
2 x 2  y 2  3 xy  x  y  13  0

Bài 4. (0,5 điểm) Trên bảng đang có hai số 1 và 2. Thực hiện ghi thêm số lên bảng
theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng một số c  ab  a  b với hai số a và b đã có
trên bảng. Hỏi cách viết thêm số như trên sau một số lần hữu hạn có thể viết được
số 2022 lên bảng không ?
Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường trịn (O) và một điểm M nằm ngồi đường (O). Từ M


.K
kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến   (A, B là tiếp điểm).Kẻ cát tuyến
là trung điểm của NP
a) Chứng minh các điểm A, K , O, B cùng thuộc một đường tròn và xác định
tâm của đường trịn đó

b) BA cắt OK tại E và MP cắt AB tại F. Chứng minh KF là phân giác trong
của AKB từ đó suy ra EA.FB  EB.FA
c) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam giác ANP ln
thuộc một đường trịn cố định
Bài 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ
MNP MN  MP

O

P

nhất của biểu thức

x2
15 x 2  26 xy  8 y 2



y2
15 y 2  26 yz  8 z 2



z2
15 z 2  26 zx  8 x 2


ĐÁP ÁN
 x x 1 x x 1  2x
P  



: x  1
x

1
x

1


Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức
với x  0, x  1

d) Rút gọn biểu thức P
 x x 1 x x  1  2x
P  

:
x 1 
 x 1
 x 1
 x 1 x  x  1
x 1 x  x 1



x 1
x 1






 





 x  x 1 x  x 1 .



  .






x 1
2x



x  1 2 x. x  1



2x
2x

x 1
x

e) Tính giá trị của biểu thức P với x  3  2 2
x  3  2 2  x  2 1  P 

f) Tìm x để P  3
x 1
3 0 
x

P 3

x 1
2 1  1

 2 2
x
2 1

x 1 3 x
1
 0  2 x 1 0  x 
4
3 x

Bài 2. (2,0 điểm)

x  9   x  6   x  4   x  1  56
c) Giải phương trình : 

 x  9   x  6   x  4   x  1  56   x  9   x  1  x  6   x  4   56
  x 2  10 x  9   x 2  10 x  24   56  0  *
Dat t  x 2  10 x  9   *  t (t  15)  56  0
x  8
t  7  x 2  10 x  9  7  0

 t  15t  56  0  
 x  2
2
t  8  x  10 x  9  8  0
x  5  2 2

2

Vậy



x  2;8;5  2 2



2 x 2  2 y 2  5 xy  9 x  9  0  1
 2
x  2 y  2 x2  2 y  2 1  0  2
d) Giải hệ phương trình 

 x  2 y  3  0  3
 1   x  2 y  3  2 x  y  3  0 
 2 x  y  3  0  4 
Ta có
a  x  2 y  2, a  0
a2  x2  2 y  2  x2  2 y  a2  2

Đặt

, Suy ra


 a  1  x  2 y  1  0  5

 2   a 2  2  2 a  1  0  a 2  2a  3  0  

 a  3( ktm)
 x  1

  y  1
x  2 y  3
x  2 y  3
Th1:  2
 2
   x  2
x

2
y


1

0
x

x

2

0



  y  5

2
 
 y  2x  3
 y  2x  3
 x  1; y  1
Th2 :  2
 2

 x  5; y  13
x  2 y 1  0
x  4x  5  0

5



S   1; 1 ;  2;  ;  5; 13 
2



Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho phương trình bậc hai:

x 2  2  3m  1 x  3  m 2  2   0  *

với m là tham

2
2
số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 và x1  x2  2 x1 x2  4

 '   3m  1  1.3.  3m 2  2   6m  5
2

Ta có :

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì

'  0  m 

5
6

 x1  x2  6m  2

2
Theo Vi-et ta có :  x1 x2  9m  6
2
x12  x22  2 x1 x2  4   x1  x2   4 x1 x2  4

  6m  2   4  9m 2  6   0  m  1(tmdk )
2

Vậy m  1

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên  x; y  của phương trình :
2 x 2  y 2  3 xy  x  y  13  0

2 x 2  y 2  3 xy  x  y  13  0   x  y  2   2 x  y  3  7

Ta có :
Ta xét các trường hợp
x  y  2  1
x  1
th1: 

2 x  y  3  7
 y  2
x  y  2  7
 x  11
th3 : 

 2 x  y  3  1  y  20

 x  y  2  1
 x  11
th 2 : 

 2 x  y  3  7
 y  12
 x  y  2  7
x  1
th 4 : 

 2 x  y  3  1  y  6

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là
S    1; 2  ;  11; 12  ;  11; 20  ;  1;6  


Bài 4. (0,5 điểm) Trên bảng đang có hai số 1 và 2. Thực hiện ghi thêm số lên
bảng theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng một số c  ab  a  b với hai số a và
b đã có trên bảng. Hỏi cách viết thêm số như trên sau một số lần hữu hạn có
thể viết được số 2022 lên bảng khơng ?
c n
Gọi   số viết lên bảng sau lần thực hiện thứ n

Ta chứng minh c  n  sẽ chia 3 dư 2 với mọi n
Ta có các số viết lên bảng là : 5;11;17; 23;.....
Giả sử trên bảng đang có các số đều chia cho 3 dư 2 và số 1
Th1: Ta chọn a  1; b  3k  2 thì số viết lên là ab  a  b  3k  2  1  3k  2  6k  5 chia 3
dư 2
Th2: Ta chọn a  3m  2, b  3k  2 thì số viết lên là :

ab  a  b   3m  2   3k  2   3m  2  3k  2  3  3mk  3k  3m  2   2

chia 3 dư 2
Vậy các số viết lên bảng luôn chia 3 dư 2 mà 2022M3 nên không thể viết được số
2022 lên bảng
Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường trịn (O) và một điểm M nằm ngồi đường (O). Từ
M

O
kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến   (A, B là tiếp điểm).Kẻ cát tuyến

MNP  MN  MP 

. K là trung điểm của NP


d) Chứng minh các điểm A, K , O, B cùng thuộc một đường tròn và xác
định tâm của đường trịn đó

MKO
 90 (K là trung điểm NP)
Ta có
MAO  90 (AM là tiếp tuyến của (O)), MBO  90 ( BM là tiếp tuyến của (O))
Suy ra A, B, K cùng nhìn MO dưới một góc vng
Suy ra A, B, K , O, M cùng nằm trên một đường trịn đường kính OM
 OM 
A, B, K , O   O;

2  có tâm là trung điểm OM


Suy ra
e) BA cắt OK tại E và MP cắt AB tại F. Chứng minh KF là phân giác
trong của AKB từ đó suy ra EA.FB  EB.FA
Ta có : AKM  AOM (tứ giác AKOM nội tiếp )
BKM  BOM (tứ giác BOKM nội tiếp )
Và BOM  AOM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AKM  BKM  KF là phân giác trong của AKB
Ta có KE  KF suy ra KE là phân giác ngoài của AKB


Theo tính chất đường phân giác trong và phân giac ngồi của tam giác ta có :
 EA
 EB 

 FA 
 FB

KA
KB  EA  FA  EA.FB  EB.FA
KA
EB FB
KB

f) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam giác ANP
ln thuộc một đường trịn cố định
Gọi J là trung điểm OM , G là trọng tâm ANP và T thuộc AJ sao cho
Ta có M , O, A cố định nên J , T cố định

AT 

2
AJ
3

AG AT
GT 2

 GT / / KJ 

KJ 3
Ta có AK AJ
Ta có KJ là đường trung tuyến tam giác vuông OKM
1
1
KJ  OM  GT  OM
2
3
Nên

1
OM
Suy ra G thuộc đường tròn cố định tâm T và bán kính bằng 3
Bài 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức
P

x2
15 x 2  26 xy  8 y 2

y2



15 y 2  26 yz  8 z 2



z2
15 z 2  26 zx  8 x 2

Ta có :
15 x 2  26 xy  8 y 2 


x2
15 x 2  26 xy  8 y 2
y

2

15 y 2  26 yz  8 z 2



 4x  3 y 


x2
4x  3 y

2

  x  y 
2

 4x  3y 

2

 4x  3y

. Chứng minh tương tự, ta có :

2

y
z2
z2
;

4 y  3z 15 z 2  26 zx  8 x 2 4 z  3x

x2
y2
z2
P


4 x  3 y 4 y  3z 4 z  3x . Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

x2
4x  3y
x2
4x  3 y 2x

2
.

4x  3y
49
4x  3y
49
7

Tương tự :
y2
4 y  3z 2 y
z2
4 z  3x 2 z


;


4 y  3z
49
7 4 z  3x
49
7 . Suy ra :
x  y  z 2 x  y  z

x yz 7
P

P

7
7
7
3


Vậy

Min P 

3
 x  y  z 1
7