Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh đồng tháp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn thi: TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

1  x − 2 x +1
 1
T =
+
÷( x > 0, x ≠ 1)
÷
x +1 ÷
 x − 1 x − x  

T

a)

Rút gọn biểu thức

b)

Tìm tất cả các giá trị của để

x

3T − 2 = 0

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình
Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật
vng góc với

AC

tại C, đường thẳng

Tính độ dài các đoạn thẳng

BD, BE

và

2x −1 = 3 − 2x

ABCD

d

có

AB = 4dm, AB = 2 AD.

cắt hai đường thẳng

AB, BD

lần lượt tại

E

I.

và

ID

Câu 4. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

d

Đường thẳng

m

để đường thẳng
x1 , x2

( d)

( d ) : y = ( m + 1) x + 1

cắt parabol

x1 < x2 )

( P) : y = x

(m

2

tại hai

x1 > x2

điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là
(với
sao cho
Câu 5. (1,0 điểm) Do ảnh hưởng của đại dịch COVID-19, trong một đợt kiểm tra
thưởng xun mơn Tốn, giáo viên đã chia lớp thành 3 nhóm, mỗi học sinh chỉ được
chọn 1 trong 3 nhóm :
Nhóm
Nhóm

A:

B:

Kiểm tra trực tiếp tại lớp với hình thức tự luận
Kiểm tra trực tuyến với hình thức trắc nghiệm

C:

Nhóm Làm bài thu hoạch cá nhân theo chuyên đề đã học
Sau khi kiểm tra, điểm trung bình của các em học sinh được thống kê theo bảng sau:
Nhóm
A
B
C
A và B
B và C
Điểm TB
9,0
8,0
8,5
8,4
8,2
Biết nhóm A có 10 học sinh lựa chọn. Tính số học sinh và điểm trung bình của lớp trong
đợt kiểm tra thường xuyên trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm )

Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2
 x + xy + 1 = 2 x + y

 3 x + 1 − 2 1 − y = y


Câu 7. (3,0 điểm) Do tam giác
nhau tại H (với
với BC

a)

ABC

nhọn với

D ∈ BC , E ∈ AC , Q ∈ AB).

Chứng minh

AEDB

Ba đường cao

Gọi M là trung điểm

là tứ giác nội tiếp

b)

Chứng minh tứ giác

c)

Chứng minh

H

AB < AC.

EQDM

nội tiếp và

TD.TM = TB.TC

là trực tâm của tam giác

ATM

BC , T

AD, BE , CQ

cắt

là giao điểm của

EQ


ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

1  x − 2 x +1
 1
T =
+

÷( x > 0, x ≠ 1)
÷
x +1 ÷
 x − 1 x − x  


Rút gọn biểu thức

c)

T

1   x − 2 x +1 
 1
T =
+
÷( x > 0, x ≠ 1)
÷
x +1 ÷
 x − 1 x − x  

=

x

d)

(

x +1

)

x −1

(
.

)

x −1

x +1

2

=

x −1
x

x

Tìm tất cả các giá trị của để
3T − 2 = 0 ⇔

3T − 2 = 0

x −1
.3 = 2 ⇔ 3 x − 3 = 2 x ⇔ x = 3 ⇒ x = 9(tm)

x

x=9

Vậy

thì thỏa đề
2x −1 = 3 − 2x

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình

3
2
1
2 x − 1 = 3 − 2 x  ≤ x ≥ ÷⇒ 2 x − 1 = ( 3 − 2 x )
2
2
 x = 1(tm)
⇔ 2 x − 1 = 9 − 12 x + 4 x ⇔ 4 x − 14 x + 10 = 0 ⇔ 
 x = 5 (ktm)

2
2

Vậy

2

5
S = 

2

Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật
vng góc với
I.

AC

tại C, đường thẳng

Tính độ dài các đoạn thẳng

BD, BE

ABCD

d

và

có

AB = 4dm, AB = 2 AD.

cắt hai đường thẳng
ID

Đường thẳng

AB, BD

lần lượt tại

d
E

và


BD = AB 2 + BC 2 = 16 + 4 = 2 5

∆ACE

BC 2 = AB.BE ⇒ BE =

vuông tại C nên ta có :

BE / / CD ⇒

BC 2
=1
AB

IB BE 1
1
4
8 5
=
= ⇒ IB = ID ⇒ ID = BD =
ID CD 4

4
3
3

Câu 4. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

( P) : y = x

m

để đường thẳng

2

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là

( d)

x1 , x2

( d ) : y = ( m + 1) x + 1

cắt parabol

(với

x1 < x2 )

sao cho

x1 > x2

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của
x = ( m + 1) x + 1 ⇔ x − ( m + 1) x − 1 = 0
2

( d)

và

( P) :

2

ac < 0

Ta có
nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m hay (d) cắt (P) tại
hai điểm phân biệt với mọi m


Theo hệ thức Vi-et ta có :
Ta có

 x1 + x2 = m + 1

 x1 x2 = −1

x1 > x2 ⇔ x12 > x22 ⇔ x12 − x22 > 0 ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) > 0

x1 < x2 ⇔ x1 − x2 < 0 ⇒ x1 + x2 < 0 ⇔ m < −1

Vì
Câu 5. (1,0 điểm) Do ảnh hưởng của đại dịch COVID-19, trong một đợt kiểm tra
thưởng xun mơn Tốn, giáo viên đã chia lớp thành 3 nhóm, mỗi học sinh chỉ
được chọn 1 trong 3 nhóm :
Nhóm
Nhóm

A:
B:

Kiểm tra trực tiếp tại lớp với hình thức tự luận
Kiểm tra trực tuyến với hình thức trắc nghiệm

C:

Nhóm Làm bài thu hoạch cá nhân theo chuyên đề đã học
Sau khi kiểm tra, điểm trung bình của các em học sinh được thống kê theo bảng
sau:
Nhóm
A
B
C
A và B
B và C
Điểm TB
9,0
8,0

8,5
8,4
8,2
Biết nhóm A có 10 học sinh lựa chọn. Tính số học sinh và điểm trung bình của lớp
trong đợt kiểm tra thường xuyên trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm )
x, y

Gọi

lần lượt là số học sinh của nhóm

Ta có hệ phương trình :

B,

10.9 + x.8
 10 + x = 8, 4
 x = 15
90 + 8 x = 84 + 8, 4
⇔
⇔
(tm)
 8 x + 8,5 y
8
x
+
8,5
y
=
8,

2
x
+
y
y
=
10
(
)




= 8, 2
 x + y

Vậy lớp có 35 học sinh, điểm trung bình :

Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

Điều kiện :

1

x ≥ −
3

 y ≤ 1

nhóm

C ( x, y ∈ ¥ *)

. Ta có :

8, 43

 x 2 + xy + 1 = 2 x + y ( 1)

 3 x + 1 − 2 1 − y = y ( 2 )


( 1) ⇔ ( x − 1)

2

+ y ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + y − 1) = 0

 x = 1 ⇒ ( 2) ⇔ 2 − 2 1 − y = y ⇔ y = 0
⇔
 y = 1 − x ⇒ ( 2 ) ⇔ 3 x + 1 − 2 x = 1 − x ( *)

( *) ⇔

3x + 1 −

(

)

x +1 = x − x ⇔

(

2 x− x

)

3x + 1 + x + 1

(

)

+ x− x = 0

x = 0 ⇒ y = 1
1


⇔ x− x 
+ 1 = 0 ⇔ x − x = 0 ⇔ 
 3x + 1 + x + 1 
x = 1⇒ y = 0

(

)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

Câu 7. (3,0 điểm) Do tam giác
nhau tại H (với
EQ

với BC

( x; y ) = ( 1;0 ) , ( 0;1)

ABC

nhọn với

D ∈ BC , E ∈ AC , Q ∈ AB ).

AB < AC.

Ba đường cao

Gọi M là trung điểm

BC , T

AD, BE , CQ

cắt

là giao điểm của


d)

Chứng minh
Vì

là tứ giác nội tiếp

∠AEB = ∠ADB = 90°

⇒ AEDB

e)

AEDB

là tứ giác nội tiếp

Chứng minh tứ giác

Vì tứ giác
Hơn nữa ,

, mà D, E là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn AB

QHDB, EQBC

HDCE

EQDM

nội tiếp và

nội tiếp nên

nội tiếp nên

∆TBQ ∽ ∆TEC ⇒ TE.TQ = TB.TC

Chứng minh

H

là trực tâm của tam giác

Gọi K là giao điểm cịn lại của
Vì tam giác
Kết hợp với
Suy ra
Mà

TB.TC = TE.TQ

với đường tròn ngoại tiếp tam giác

(câu b)

ABC

⇒ TE .TQ = TK .TA

là tứ giác nội tiếp

cũng là tứ giác nội tiếp . Do đó

Kẻ đường kính
K, H, N

Tóm lại,

TA

ATM

TKB ∽ ∆TCA ⇒ TB.TC = TK .TA

∆TKQ ∽ ∆TEA ⇒ AKQE

AQHE

Suy ra

là tứ giác nội tiếp

TQ.TE = TD.TM ⇒ TD.TM = TB.TC

Tương tự
f)

∠QDH = ∠QBH = ∠ECQ

∠HDE = ∠ECQ

⇒ ∠QDE = 2∠ECH = ∠EMQ ⇒ EQDM

Vì

TD.TM = TB.TC

AN

nội tiếp

trong đường trịn ngoại tiếp tam giác

thẳng hàng. Hơn nữa.

MK ⊥ AT .

AKHE

Do đó ,

H

BHCN

⇒ ∠AKH = 90°
ABC.

Khi đó

là hình bình hành nên

là trực tâm trong tam giác

ATM

∠AKN = 90°

H, N, M

thẳng hàng