Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hà giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ GIANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2022-2023
MƠN THI TỐN HỌC
Ngày thi: 15/06/2022
Thowiff gian làm bài: 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC


 x ≥ 0
x +2
x −2
B = 
−
x+ x 
÷
÷
÷
x ≠1
 x + 2 x +1 x −1 

(

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức

)

a) Rút gọn biểu thức B

x

b) Tìm các giá trị nguyên của để B nhận giá trị nguyên
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Tìm

m

để phương trình

x 2 + 2mx − 2m − 6 = 0

(m là tham số) có hai nghiệm

x1 , x2

sao

x +x
2
1

cho

2
2

đạt giá trị nhỏ nhất

b) Giải phương trình

2 ( x2 − 2 x ) + x2 − 2x − 3 − 9 = 0

Câu 3. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình

( 2 x + y ) ( x − y ) + x + 8 y = 22

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính
BO

với

(điểm H không trùng với hai điểm
BC ,

B

Chứng minh rằng

MNBA

BC

và

H

là một điểm nằm trên đoạn thẳng

và O). Qua H vẽ đường thẳng vng góc

cắt đường trịn (O) tại A và D. Gọi

vẽ đường thẳng vng góc với
a)

BC

M

là giao điểm của

AC

và BD, qua

tại N

là tứ giác nội tiếp
2

b)

Chứng minh rằng

2 BH .BO = AB 2

, từ đó tính giá trị của

 BO  OH
P = 2
÷ −
 AB  BH

M


Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng

c)

tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng
AH

đoạn thẳng

EC

AC , AN

lần lượt

luôn đi qua trung điểm I của

khi điểm H di động trên đoạn thẳng

BO

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số dương

a, b, c

và

a + b + c = 6.

Chứng minh rằng

ab
bc
ca
+
+
≤2
a + 2b b + 2c c + 2a

ĐÁP ÁN

 x ≥ 0
x +2
x −2
B = 
−
x+ x 
÷
÷

÷
x ≠1
 x + 2 x + 1 x −1 

(

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức B


 x ≥ 0
x +2
x −2
B = 
−
x+ x 
÷
÷
÷
 x ≠1
 x + 2 x +1 x −1 

(

=

=

(

x +2

)(
(

) (
x + 1) . (

x −1 −
2

x −2

)(

x +1

)

x −1

)

)(

) =.

x +1

x −1

x+ x −2− x+ x +2

(

)

. x=

x

(

)

x +1

2x
x −1

x

b) Tìm các giá trị nguyên của để B nhận giá trị nguyên
B=

2x
2x − 2 + 2
2
=
= 2+

x −1
x −1
x −1

B ∈ ¢ ⇔ 2M( x + 1) ⇔ ( x + 1) ∈ { ±1; ±2} ⇒ x ∈ { 3; −1; 2;0}

)


Đối chiếu điều kiện suy ra

x ∈ { 3;0; 2}

Câu 2. (3,0 điểm)
a) Tìm

sao cho

m

để phương trình

x12 + x22

x 2 + 2mx − 2m − 6 = 0

(m là tham số) có hai nghiệm

đạt giá trị nhỏ nhất

x 2 + 2mx − 2m − 6 = 0

∆ ' = m 2 − ( −2m − 6 ) = m 2 + 2m + 6 = ( m + 1) + 5 > 0
2

có

Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Viet :

 x1 + x2 = −2m

 x1 x = −2m − 6

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4m 2 − 2 ( −2m − 6 ) = 4m 2 + 4m + 12
2

4m 2 + 4m + 12 = ( 2m + 1) + 11 ≥ 11
2

Min ( x12 + x22 ) = 11 ⇔ m = −

Vậy

b) Giải phương trình
Đặt

x1 , x2

1
2

2 ( x2 − 2 x ) + x2 − 2 x − 3 − 9 = 0

t = x2 − 2 x − 3 ( t ≥ 0 ) ⇒ x2 − 2 x = t 2 + 3

. Phương trình thành :

(với mọi m)


2 ( t 2 + 3) + t − 9 = 0 ⇔ 2t 2 + t − 3 = 0
t = 1(tm) ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 1 ⇔ x = 1 ± 5
⇔
t = − 3 (ktm)

2

Vậy

x = 1± 5

Câu 3. (1,0 điểm)

( 2 x + y ) ( x − y ) + x + 8 y = 22

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

( 2 x + y ) ( x − y ) + x + 8 y = 22 ⇔ 2 x 2 − xy − y 2 + x + 8 y − 15 = 7

⇔ ( 2 x 2 − 2 xy + 6 x ) + ( xy − y 2 + 3 y ) − ( 5 x − 5 y + 15 ) = 7
⇔ 2 x ( x − y + 3) + y ( x − y + 3 ) − 5 ( x − y + 3) = 7
⇔ ( x − y + 3) ( 2 x + y − 5 ) = 7 = 1.7 = 7.1 = −1. − 7 = −7. − 1
x − y + 3 = 1
10

*
⇔  x = (ktm)
3

2 x + y − 5 = 7
 x − y + 3 = −1
 x = −2
*
⇔
 2 x + y − 5 = −7
y = 2

Vậy phương trình có nghiệm ngun

x − y + 3 = 7
2
*
⇔ y = − (ktm)
3
2 x + y − 5 = 1
 x − y + 3 = −7
 x = −2
*
⇔

(tm)
2 x + y − 5 = −1  y = 8

( x; y ) ∈ { ( −2; 2 ) ; ( −2;8 ) }

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính
thẳng

BO

M

BC ,

H

và

(điểm H khơng trùng với hai điểm

vng góc với
BD, qua

BC

B

là một điểm nằm trên đoạn

và O). Qua H vẽ đường thẳng

cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi

vẽ đường thẳng vng góc với

BC

tại N

M

là giao điểm của

AC

và


Chứng minh rằng

a)

Ta có

∠BAC = 90°

Mặt khác

MNBA

là tứ giác nội tiếp

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

⇒ ∠BAM = 90°

∠MNB = 90°

Suy ra tứ giác MNBA có
Nên tứ giác

MNBA

∠BAM + ∠MNB = 90° + 90° = 180°

là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính

MB
2

Chứng minh rằng

b)

Ta có

∆ABC

2 BH .BO = AB 2

BH =

vuông tại A nên

2

AB
AB 2
=
BC 2 BO

AB 2 2 BO 2 − AB 2
OH = BO − BH = BO −
=
BC
2 BO
2

OH 2 BO 2 − AB 2
 BO 
=
= 2
÷ −1
2
BH
AB
 AB 

Vậy

P =1

, từ đó tính giá trị của

 BO  OH
P = 2
÷ −
 AB  BH


c)

Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng
lượt tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng
điểm I của đoạn thẳng

Ta thấy

∠MBN = ∠DBC

∠DBC = ∠DAC

Suy ra

MNBA

Tam giác

OAC

Từ (1), (2), (3)

luôn đi qua trung

khi điểm H di động trên đoạn thẳng

BO

(đối đỉnh)

(tứ giác DBAC nội tiếp)

∠NMB = ∠NAB ( 2 )

nội tiếp nên ta có
cân tại O nên

∠BCA = ∠OAC ( 3)

⇒ ∠NAB = ∠OAC ⇒ ∠OAC + ∠BAO = ∠NAB + ∠BAO ⇔ ∠BAC = ∠NAO

∠BAC = 90° ⇔ ∠NAO = 90° ⇒ NA

Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
Trong tam giác vng
bằng nhau)
Mặt khác
AI / / KE ⇒

Mà

lần

∠MBN = ∠DAC = ∠NMB = ∠BCA ( 1)

Tứ giác

Mà

AH

EC

AC , AN

⇒ ∆KEA

AH / / BK

KAB,

EA = EB; ∠EAB = ∠EBA

ta có

cân tai E

là tiếp tuyến của (O)

∠EAB = ∠EBA ⇒ ∠BKA = ∠EAK

(phụ với hai góc

⇒ AE = KE ⇒ EB = KE

(cùng vng góc với AB)

CI
AI
CI HI
AI
HI
=
[ Ta − let ] , HI / / EB ⇒ = [ Ta − let ] ⇒ =
CE KE
CE BE
KE BE

KE = EB ⇒ AI = HI → I

là trung điểm đoạn thẳng

AH


Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số dương

a, b, c

và

a + b + c = 6.

Chứng minh rằng

ab
bc
ca
+
+
≤2
a + 2b b + 2c c + 2a

ab
bc
ca
1
1
1
+
+
≤2⇔
+
+
≤ 2( do a, b, c > 0)
a
+

2
b
b
+
2
c
c
+
2a
a + 2b b + 2c c + 2a
ab
bc
ca
1
1
1
⇔
+
+
≤2
1 2 1 2 1 2
+
+
+
b a c b a c
1
1
1
⇔
+

+
≤2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ +
+ +
+ +
b a a c b b a c c

Vì

1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
+ + ≥
; + + ≥
; + + ≥
b a a b+a+a c b b c+b+b a c c a+c+c

VT ≤

Nên

1
1
1
1
1

+
+
= ( b + 2a + c + 2b + a + 2c ) = .3 ( a + b + c ) = 2
9
9
9
9
9
b + 2a c + 2b a + 2c

Dấu bằng xảy ra khi

a=b=c=2