Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hà nam

UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học 2022-2023
Mơn : Tốn (Đề chuyên)
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức
 x 2
 x  0; x  1 
x 3
9 x 
1
A  


:





 x 3 2 x x x 6  x  2 x 3 x  4

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm tất cả các giá trị của x để A  2
Câu II. (2,0 điểm)
1. Cho đường thẳng  d  có phương trình y   m  2  x  2m  1 (với m là tham số) và điểm

A  1; 2 

d
. Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  
đạt giá trị lớn nhất

2. Giải hệ phương trình

2
2
2
2

 x  y  1  x  y  1  x  y  x  y  3

2

 x  6  y  3  x  2x  8

Câu III. (4,0 điểm) Cho tam giác

ABC  AB  AC 

có các góc nhọn nội tiếp đường trịn

 O; R  . Các đường cao AK , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn
 O; R  tại các điểm lần lượt là M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C)
1. Chứng minh EF / / PN
EF .R
2. Chứng minh diện tích tứ giác AEOF bằng 2

AM BN CP


3. Tính giá trị biểu thức AK BE CF

4. Gọi S và Q là chân đường vng góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC . Đường

 tại điểm J (J khác A).
thẳng QS cắt BC tại G, đường thẳng GA cắt đường tròn 
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng
hàng
O; R

Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn
x 4  6 x3  18 x 2  y 2  32 x  4 y  20  0


2
2
2
Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  ab  2bc  2ca  0 .

Chứng minh :

a2  b2  c2
c2
ab


3

2
2
2
a b
 a  b  c a  b

ĐÁP ÁN
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức
 x 2
 x  0; x  1 
x 3
9 x 
1
A  


:





 x 3 2 x x x 6  x  2 x 3 x  4
3) Rút gọn biểu thức A
 x 2
 x  0; x  1
x 3
9 x 
1
A  



:





 x 3 2 x x x 6 x2 x 3x  4




  x  3  x  3  9  x . x  3 x  1



 x  3  x  2 
 x  4 x  4  x  9  9  x   x  1   x  4 x  4  

x 2
 x  2
 x  2 .  x  1  x  2 x  1  x  3 x  2




x 2
2

x 2 



x 1

2

4) Tìm tất cả các giá trị của x để A  2

A  2  x  3 x  2  2  x  3 x  4  0
2

3 7

  x     0  x  0, x  4; x  1  x  ¡ / x  0, x  4; x  1
2 4


Câu II. (2,0 điểm)

d
y   m  2  x  2m  1
3. Cho đường thẳng   có phương trình
(với m là tham số) và

điểm

A  1; 2 

. Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường

d
thẳng   đạt giá trị lớn nhất

Gọi

M  x0 ; y0 

là điểm cố định nằm trên đường thẳng d

 yo   m  2  x0  2m  1

có nghiệm với mọi m

 m  x0  2   2 x0  y0  1  0  m 

 x0  2  0
 x0  2


 M  2;3
2 x0  y0  1  0
 y0  3
Gọi H là hình chiếu của A trên d  AH  AM


Khoảng cách AH lớn nhất là AM khi H  M  AM  d
Phương trình đường thẳng AM : y   x  1
AM   d    m  2  .  1  1  m  3

2
2
2
2

 x  y  1  x  y  1  x  y  x  y  3  1

x  6  y  3   x 2  2x  8  2
4. Giải hệ phương trình 
 x  6

ĐK:  y  3

 x  y  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  x  y  3
  x  y  2   x 2  y 2  2   0  x  y  2  0  y  x  2(do x 2  y 2  2  0)

Thay

y  x2

vào phương trình (2) ta được :

x  6  x  1   x 2  2 x  8  x  1

 x  6  3  x  1  2  x2  2 x  3  0
x3
x3



  x  3  x  1  0
x6 3
x 1  2
1
1


  x  3 

 x  1  0
x 1  2
 x6 3

1
1


 x  3  do

 x  1  0, x  1 
x6 3
x 1  2


 x  3 y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm

 x; y    3;1

Câu III. (4,0 điểm) Cho tam giác

ABC  AB  AC 

có các góc nhọn nội tiếp đường trịn

 O; R  . Các đường cao AK , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn
 O; R  tại các điểm lần lượt là M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C)


5. Chứng minh EF / / PN
BEC  BFC  90  tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC

 CBE  CFE (góc nội tiếp cùng chắn cung EC )

Mà CBE  CPN (góc nội tiếp cùng chắn cung CN )
 CFE  CPN  EF / / PN
EF .R
6. Chứng minh diện tích tứ giác AEOF bằng 2

ABN  ACP (cùng phụ với BAC )  AN  AP
ON  OP  R  A, O nằm trên đường trung trực của PN

 AO  PN , mà

EF / / PN  AO  EF  S AEOF 

EF .R
2

AM BN CP


7. Tính giá trị biểu thức AK BE CF

BAM  BCM (góc nội tiếp cùng chắn cung BM )

 BAM  BCF (cùng phụ với ABC )  BCF  BCM
MCH có CK vừa là đường phân giác vừa là đường cao

 MCH cân tại C  K là trung điểm của MH


AM BN CP AK  KM BE  EN CF  FP





AK BE CF
AK
BE
CF
KM EN FP
KM KH S ABH
 3






AK BE CF
AK
AK S ABC
EN S AHC FP S AHB

;

BE
S
CF
S ABC
ABC
Chứng minh tương tự :
S
 S AHC  S AHB
AM BN CP


 3  BHC
 3 1  4
AK BE CF
S ABC

8. Gọi S và Q là chân đường vng góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC . Đường
thẳng QS cắt BC tại G, đường thẳng GA cắt đường tròn  O; R  tại điểm J (J khác
A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm
I , K , J thẳng hàng

*Hình vẽ phục vụ

ASK  AQK  90  90  180 nên ASQK là tứ giác nội tiếp  ASQ  AKQ

AKQ  BCQ (cùng phụ với CKQ ). Do đó ASQ  BCQ  BSQC là tứ giác nội tiếp
 GBS  GQC

GBS ∽ GQC ( g .g ) 

GB GS

 GB.GC  GS .GQ  1
GQ GC

Vì ASKQ là tứ giác nội tiếp nên GQK  BAK mà BAK  GKS (cùng phụ với SBK )
Mà BAK  GKS (cùng phụ với SBK ) nên GQK  GKS


GQK ∽ GKS ( g.g ) 

GQ GK

 GK 2  GS .GQ  2 
GK GS

2
Từ (1) và (2) suy ra GK  GB.GC , GJB  GCA

 GJB ∽ GCA 

 GK 2  GJ .GA 

GJ GB

 GJ .GA  GB.GC
GC GA

GK GJ

 GKJ ∽ GAK
GA GK

 GJK  GKA  90  AJ  JK
O
JK cắt (O) tại D (D khác K) thì AD là đường kính của  

Gọi I là trung điểm KD, L là trung điểm QC
Khi đó OI là đường trung bình của AKD  OI / / AK  OI  BC
Mà OB  OC nên OI là trung trực BC  3
Vì KQ / / DC (cùng vng góc với AC ) nên KQCD là hình thang
 IL là đường trung bình của hình thang KQCD  IL / / KQ  IL  QC

 IL là trung trực của QC  4 

Từ (3) và (4) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC
Vậy I , K , J thẳng hàng
x; y
Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên   thỏa mãn
x 4  6 x3  18 x 2  y 2  32 x  4 y  20  0

x 4  6 x3  18 x 2  y 2  32 x  4 y  20  0

 x 4  6 x 3  18 x 2  32 x  24  y 2  4 y  4
  x  2

2

x

2

 2x  6   y  2

2

Với y  2  x  2
2
Với y  2 , ta có  y  2  và  x  2  là số chính phương khác 0 nên x  2 x  6 là số chính
x 2  2 x  6  m 2  m  ¥ *
2

2

phương. Đặt

  x  1  5  m 2   x  1  m   x  1  m   5
2




y  5

 x  1  m  5
x  3  
 y  1
  x  1  m  1  



m  3



 y  11
 x  1  m  0
 x  1  
 y  7
  x  1  m  5  



m  3


x; y
2; 2 , 3;5 , 3; 1 ,  1;11 ,  1; 7 
Vậy các bộ   nguyên thỏa yêu cầu bài toán là     
2
2
2
Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  ab  2bc  2ca  0 .

Chứng minh :

a 2  b2  c 2
c2
ab


3
2
2
2
a b
 a  b  c a  b

a 2  b2  c2
c2
ab
c2
c2
ab



3



2
2
2

2
2
2
2
a b
a  b  a  b  c
ab
 a  b  c a  b

Đặt

x

a
b
, y   x, y  0   a 2  b 2  c 2  ab  2bc  2ca  0
c
c

 x 2  y 2  1  xy  2 x  2 y  0   x  y  1  xy
2

Áp dụng bất đẳng thức Co si, ta có

 x  y  1
P


2

 x  y

4

2

 x  y
xy 
4

2

. Do đó :

 3  x  y   2   2   x  y    0 

2
 x y  2
3

c2
c2
ab


2
2
2
a  b  a  b  c
ab

xy
xy
1
1
1
1


 2
 
2
2
2
x  y  x  y  1
x y x  y
xy x  y
2

xy 
 1
1   1
4
1
 2




2




2
2


2 xy   2 xy x  y   x  y 
2  x  y  xy
x y
P

4
1
2
2
2
2
2.2

Dấu bằng xảy ra khi x  y  1  a  b  c