Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hải phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2022-2023
ĐỀ THI MÔN : TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1. (2 điểm)
A

x  4 x x  8 x 2  2 x x  8 x  16  x  0 


 x  4
x
x2 x
4 xx x



1) Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A và chứng minh A  8
2) Cho phương trình
Chứng minh
Bài 2. (2 điểm)

ax 2  bx  c  0  a  0 

3  a  b   2a  c 

2
4
a  a  b  c

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 0  x1 , x2  1 .

2
1) Giải phương trình x  10 x  14  2 2 x  1
2
2

 x  4 y  4 y  33
 2
2
2) Giải hệ phương trình  x  2 y  3xy  4 x  5 y  3  0
ABC  AB  AC  BC 

O
nội tiếp đường tròn   . Các

Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác cân

O
đường phân giác trong BD, CE của tam giác cắt nhau tại I , BI cắt đường tròn   tại
F  F  B .

Điểm H đối xứng với C qua D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt BI tại


K
2
a) Chứng minh DC  DI .DB và D là trung điểm của đoạn thẳng IK
KB


 . Chứng minh M là điểm đối xứng với I qua AC
b) Kẻ KM song song với
c) Gọi N là giao điểm của FC và AI ; gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE .
Chứng minh bốn điểm M , N , J , D cùng thuộc một đường tròn
Bài 4. (1 điểm)
AC M  AC

3x 2  2  y 2  4 yz  z 2 
Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất

P

y2



z2



4

3x  20 xy  12 y
3 x  20 xz  12 z
 y  z
của biểu thức
Bài 5. (2 điểm)
n
1) Chứng minh rằng nếu 2  10a  b với a, b, n là các số tự nhiên thỏa mãn 0  b  10 và
n  1 thì ab chia hết cho 6
2) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3;.....; 229 . Từ các số đã viết xóa đi 4 số
2

2

bất kỳ x; y; z; t rồi viết lên bảng số

2

2

2

x y zt
2
(các số còn lại trên bảng giữ nguyên).


Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ cịn lại đúng một số; gọi
số đó là a. Chứng minh a  2022

ĐÁP ÁN
Bài 1. (2 điểm)
x  4 x x  8 x 2  2 x x  8 x  16  x  0 




x
x2 x
4 xx x
 x  4

A

3) Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A và chứng minh A  8
A

x4

x




x.

  x  2  x  2 x  4
x  2
x. 2  x   2  x 

x  4 x  2 x  4  x  2



x 2 x2 x 4

 

x 2

2

x4 x2


x
x

Do x  0, x  4 nên



x 2



x
2

x

0 x4 4 x  A8

2
4) Cho phương trình ax  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 0  x1 , x2  1 .

Chứng minh

3  a  b   2a  c 

2
4
a  a  b  c

b
c
x1  x2   ; x1 x2 
a
a
Có

c
 b 
1  2  

a

b
2
a


c


   a  a    1  x1  x2   2  x1x2 
M 
b c
a  a  b  c
1  x1  x2  x1 x2
1 
a a
  3  x1  x2  x1 x2
b
M 2 
0 M 2
c  0; 0    1
1  x1  x2  x1 x2
a
. Đẳng thức xảy ra khi

3 5  1  x1  x2    7  4 x1  4 x2  x1 x2 5  1  x1  x2   15 x1 x2    8  4 x1  4 x2  x1 x2


0
4
4  1  x1  x2  x1 x2 
4  1  x1  x2  x1 x2 
3
M 
4 . Đẳng thức xảy ra khi a  c, b  2a

M

Bài 2. (2 điểm)
2
3) Giải phương trình x  10 x  14  2 2 x  1
Điều kiện :

x

1
2 . Đặt

2 x  1  a  a  0

PT  x 2  10 x  14  2a   x 2  8 x  16    a 2  2a  1  0

 x  3  a  x  3  2 x  1  x  4  2 2(tm)
2
2
  x  4    a  1  x  4    a  1  
 x  a  5  x  5  2 x  1  x  6  2 3(tm)

Vậy



S  4  2 2;6  2 3



 x 2  4 y 2  4 y  33  1
 2
x  2 y 2  3xy  4 x  5 y  3  0  2 
4) Giải hệ phương trình 
Pt  2    x  y   x  2 y   3  x  y    x  2 y   3   x  y  1  x  2 y  3  0
 y  2  x  3
x  y  1  0   1   y  1  4 y  4 y  33  
 y  16  x  11
5
5

 y  1  x  5
2
x  2 y  3  0   1   2 y  3   4 y 2  4 y  33  
y  3 x  3
2

2



Vậy hệ phương trinh có 4 nghiệm

11 16 

; ;  5; 1 ;  3;3 
5 5


 x; y    3; 2  ; 

Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác cân



ABC  AB  AC  BC 

O
nội tiếp đường tròn   . Các

O
đường phân giác trong BD, CE của tam giác cắt nhau tại I , BI cắt đường tròn   tại
F  F  B .

Điểm H đối xứng với C qua D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt BI

K  B
tại K 

a) Chứng minh DC  DI .DB và D là trung điểm của đoạn thẳng IK
2
Có DCI ∽ DBC ( g.g )  DC  DI .DB
2
Tứ giác BCKH nội tiếp nên DK .DB  DC.DH  DC  DI .DB  DK  DI
2

AC  M  AC 
b) Kẻ KM song song với
. Chứng minh M là điểm đối xứng với I qua AC

MCA  FCA  FBA  FBC  KBC  KHC


 KHCM là tứ giác nội tiếp và là hình thang cân
 MC  KH  CI ; MCH  ICH  KHC
CMI cân tại C, phân giác CD  M , I đối xứng nhau qua AC
c) Gọi N là giao điểm của FC và AI ; gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE .
Chứng minh bốn điểm M , N , J , D cùng thuộc một đường tròn
1
 180  EJI  
2
M,I, J thẳng hàng
JBI  JIB  DIM  DMI  D; M ; B; J cùng thuộc một đường tròn
MIC  90  ACI  90  ABI 

MDB  2CDB  2.  180  DBC  DCB   2  180  ECA  DCB 
 2BCN  180  BNC  180  BNM
 B; D; M ; N cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

Bài 4. (1 điểm)
Xét

x, y, z là

các số thực dương thỏa mãn
P

nhất của biểu thức

y

2

3x  20 xy  12 y
2

2



3x 2  2  y 2  4 yz  z 2 

z

2

3x  20 xz  12 z
2

2



. Tìm giá trị nhỏ

4

 y  z

2

2  y 2  4 yz  z 2   3  y  z   x 2   y  z   x  y  z
2

2

3 x 2  20 xy  12 y 2  4  x  2 y    x  2 y   4  x  2 y 
2

2

2

2
2
Hoàn toàn tương tự : 3x  20 xz  12 z  4  x  2 z    x  2 z   4  x  2 z 
2

P

Suy ra

2

2

y2
z2
4

y2
z2
4





2
2  x  2 y  2  x  2z   y  z 
2  3 y  z  2  3z  y   y  z  2

 y  z  y  z  P  y  z  4
y2
z2


2
3 y  z 3z  y 4 y  4 z
4
8
 y  z
2

Lại có :

yz
4
yz yz
4

yz yz
4
3
3




 33
.
.
 P
2
2
2
8
16
16
16
16  y  z 
4
4
 y  z
 y  z
Pmin 

3
 x  4; y  z  2
4

Vậy
Bài 5. (2 điểm)
n
3) Chứng minh rằng nếu 2  10a  b với a, b, n là các số tự nhiên thỏa mãn
0  b  10 và n  1 thì ab chia hết cho 6
n
Ta có 2  10a  bM2  bM2
Đặt

n  4k  r  k  ¥ ; r   0;1; 2;3 

Th1: r  0 : 2 n  1  16 k  1M5  2 n  6M5  n n  6M
10  b  6  ab M6
Th 2 : r   1; 2;3  2 n  2 r  2r  16 k  1 M
5  2n  2r M
10




Mà
(vì bM2)
4) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3;.....; 229 . Từ các số đã viết xóa đi 4
2r   2; 4;8  b  2 r  10a  2 n  2 r  2r 16 k  1 M
3  aM
3  ab M6

x y  z t
2
số bất kỳ x; y; z; t rồi viết lên bảng số

(các số còn lại trên bảng giữ

nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại
đúng một số; gọi số đó là a. Chứng minh a  2022

x ; x ;.....; xn 
P x ; x ;......; xn   x12  x22  ......  xn2
Với mỗi tập hợp  1 2
. Xét biểu thức  1 2
2

 x y  z t 
x  y  z t  
:
2


Chú ý rằng
2

2

2

2

Suy ra mỗi lần xóa đi 4 số bất kỳ x; y; z; t ồi viết lên bảng số

x y zt
2

thì giá trị biểu thức

P của các số trên bảng không tăng lên (1)

2
2
2
2
Biểu thức P ban đầu : P  1; 2;.....; 229   1  2  .....  229  2022  2 

Từ (1) và (2) suy ra

P  a   a 2  P  1; 2;....; 229   20222  a  2022