Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hậu giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẬU GIANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2022-2023
MƠN THI : TỐN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)
1.

x

Tìm điều kiện của để biểu thức

A = 2x −1

có nghĩa. Tính giá trị của

A

khi

x = 5−2 5

2.

B=

a

Tìm để giá trị lớn nhất của biểu thức

1
x− x +a

(với

x > 0)

bằng

2022

Câu 2. (3,0 điểm)
1.

Giải phương trình

( 2 x + 3)

2.

Giải hệ phương trình

3.

Giải phương trình

4

− 14 ( 2 x + 3 ) + 45 = 0
2

 x − y = 1

 x − y = 3

(

)(

2 ( 4x − 7) x − 2 = 2 + x − 3 x + 4 x − 3 + 2

Câu 3. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
Cho hai điểm

A, B

thuộc đồ thị

để đồ thị của hàm số

y = ax + b

( P)

Oxy,

cho hàm số

Câu 4. (2,5 điểm) Cho hình vng

ABCD

A

Đường thẳng OI cắt
1)
2)

tại F. Gọi

Chứng minh tứ giác
Chứng minh

CF

ABNH

AH

vng góc với

x A = −1; xB = 3.

BE

Tìm

a, b

I

có tâm O, cạnh bằng 1. Gọi là điểm bất
AI

cắt CD tại E.

là đường cao trong tam giác

nội tiếp

có đồ thị là

( P) .

và B

kỳ thuộc đoạn thẳng BC nhưng I khác B và C. Đường thẳng
BE

y = x2

và có hồnh độ lần lượt là

đi qua hai điểm

)

AMN


3)

Điểm

M,N

lần lượt thuộc đoạn thẳng

DM = x, BN = y.

CD, BC

Tính diện tích S của tam giác

sao cho
MAN

∠MAN = 45°.

Đặt

x, y.

theo

Tìm giá trị nhỏ

nhất của S
Câu 5. (1,5 điểm)
1)

Giả sử
a)
b)

2)

Tìm

x1 ; x2

là nghiệm của phương trình

x + x22
2
1

theo

x 2 + ax + b = 0

a, b

Tìm một phương trình bậc hai nhận

Tìm hai số nguyên tố

p, q

sao cho

x13

p+q

và

x23

p−q

và
ĐÁP ÁN

làm nghiệm
đểu là số nguyên tố

Câu 1. (2,0 điểm)
x

Tìm điều kiện của để biểu thức

3.

khi

A

2x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1
2

A = 10 − 4 5 − 1 = 9 − 4 5 =

(

có nghĩa khi và chỉ khi

x = 5 − 2 5(tmdk )

4.

, ta có :
B=

a

Tìm để giá trị lớn nhất của biểu thức
2

Ta có :
y =a+

1
3

3

y = x− x +a = x − ÷ +a+ ≥a+
2
4
4

3
⇔
4

có nghĩa. Tính giá trị của

A

x = 5−2 5

Biểu thức
Khi

A = 2x −1

x=

1
1
⇔ x=
2
4

5−2

1
x− x +a

)

2

(với

= 5 −2

x > 0)

bằng

2022


3

⇒ ymin =  a + ÷
4  min

Bmax = 2022 ⇔ a +

Vậy

3

1
3031
=
⇔a=−
4 2022
4044

Câu 2. (3,0 điểm)
4.

Giải phương trình
Đặt

t = 2 x + 3.

( 2 x + 3)

Điều kiện :

4

− 14 ( 2 x + 3 ) + 45 = 0

t≥0

2

. Phương trình đã cho trở thành :



 x = −3
2
t = 9 ⇒ ( 2 x + 3 ) = 9 ⇔ 
x = 0
t 2 − 14t + 45 = 0 ⇔ 

± 5 −3
2
t = 5 ⇒ ( 2 x + 3 ) = 5 ⇔ x =

2

5.

Giải hệ phương trình
Điều kiện

x ≥ 0

y ≥ 0

 x − y = 1

 x − y = 3

. Ta có :

 x − y = 1  x − y = 1
⇔
⇒ x+ y =3


x+ y =3
 x − y
 x − y = 3

(

)(

)

 x − y = 1
 x = 2
x = 4
⇒
⇔
⇔
(tm)
y
=
1
y
=
1
x
+
y
=
3





(

)(

2 ( 4x − 7) x − 2 = 2 + x − 3 x + 4 x − 3 + 2
6.

Giải phương trình

Điều kiện

( 8 x − 14 )

x≥3

. Ta có :

(

)(

x −2 = 2+ x −3 x + 4 x −3 + 2

)

)

(

)(

⇔ 8 ( x − 2 ) + 2  x − 2 = 2 + x − 3 

a = x − 2 ≥ 0

b = x − 3 ≥ 0

Đặt

)

x − 3 + 4 x − 3 + 5

2

. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng :

3
2
8a 3 + 2a = ( 2 + b ) ( b 2 + 4b + 5 ) ⇔ ( 2a ) + 2a = ( 2 + b ) ( 2 + b ) + 1



⇔ ( 2a ) + 2a = ( 2 + b ) + 2 + b
3

3

 2a − 2 − b = 0
2
⇔ ( 2a − 2 − b )  4a 2 + 2a ( 2 + b ) + ( 2 + b ) + 1 = 0 ⇔  2
2


 4a + 2a ( 2 + b ) + ( 2 + b ) + 1 = 0(VN )
⇒ 2a = 2 + b ⇔ 2 x − 2 = 2 + x − 3 ⇔ 4 ( x − 2 ) = 4 + x − 3 + 4 x − 3
 x −3 = 0
x = 3

⇔ 3 ( x − 3) − 4 x − 3 = 0 ⇔
⇔
 x −3 = 4
 x = 43

9

3

Câu 3. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ

( P) .

Cho hai điểm

Tìm

a, b

A, B

thuộc đồ thị

để đồ thị của hàm số

( P)

y = ax + b

Oxy,

cho hàm số

y = x2

và có hồnh độ lần lượt là
đi qua hai điểm

A

có đồ thị là
x A = −1; xB = 3.

và B

x A = −1 ⇒ y A = 1; xB = 3; yB = 9

Ta có hệ

− a + b = 1  a = 2
⇔

3a + b = 9
b = 3

Câu 4. (2,5 điểm) Cho hình vng

ABCD

bất kỳ thuộc đoạn thẳng BC nhưng I khác B và C. Đường thẳng
E. Đường thẳng OI cắt

BE

tại F. Gọi

AH

I

có tâm O, cạnh bằng 1. Gọi là điểm
AI

cắt CD tại

là đường cao trong tam giác

AMN


4)

Chứng minh tứ giác
Ta có

∠ABN = 90°

Suy ra tứ giác
5)

Chứng minh
Kẻ

Vì

BK ⊥ AE ,

∠OAB = 45°

nên

⇒ ∠OKF = 135°

Suy ra tứ giác

và

ABNH

CF

với

ABNH

OLIC

nên

∠ABN + ∠NHA = 180°

nội tiếp

vng góc với

BE

K ∈ AE

∠OKB = 135°

,do đó

nội tiếp

∠NHA = 90°

, mà

∠OCI = 45°

nội tiếp

( I)

∠BKA = 90°

. Suy ra

nên

∠AKO = 45°

∠OKI + ∠OCI = 180°


Do

∠BKE = ∠BCE = 90°

Từ (I) và (II) ta có
⇒ ∠CBF = ∠COF .

Suy ra
6)

nên tứ giác

Điểm

nội tiếp (II)

∠CBF = ∠CBE = ∠CKE = ∠CKI = ∠COI = ∠COF

Suy ra tứ giác

∠BOC + ∠BFC = 180°
M,N

CKBE

mà

CEFB

nội tiếp

∠BOC = 90°

nên

lần lượt thuộc đoạn thẳng

∠CFB = 90°

CD, BC

DM = x, BN = y.

Tính diện tích S của tam giác
nhỏ nhất của S

. Vậy

sao cho
MAN

CF ⊥ BE

∠MAN = 45°.
x, y.

theo

Tìm giá trị

AM = y 2 + 1; AN = x 2 + 1

Theo đề bài, ta có
sin 45° =

NH
2
2
2
=
⇒ NH =

AN =
x2 +1
AN
2
2
2

S = S AMN =

⇒S=

2
4

. Khi đó, ta có :

1
2
NH . AM =
x2 +1 y2 +1
2
4

x2 + 1 y 2 +1 =

(

1 1
− xy ⇔ 1 = x 2 + y 2 + 4 xy − x 2 y 2 ≥ xy − x 2 y 2 + 4 xy
2 2

⇔ x 2 y 2 − 6 xy + 1 ≥ 0 ⇔ xy − 3 − 2 2

) ( xy − 3 + 2 2 ) ≥ 0

 xy ≥ 3 + 2 2(ktm do 0 ≤ x, y ≤ 1)
⇔
 xy ≤ 3 − 2 2(tm)

⇒ S min ⇔ xymax ⇔ x = y; xy = 3 − 2 2 ⇔ x = y = 2 − 1

Do đó

S min = 2 − 1 ⇔ x = y = 2 − 1

Câu 5. (1,5 điểm)
3)

Giả sử
c)

Tìm

x1 ; x2

là nghiệm của phương trình

x + x22
2
1

theo

x 2 + ax + b = 0

a, b

x1 + x2 = −a, x1 x2 = b ⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = a 2 − 2b
2

Ta có:

Đặt


d)

Tìm một phương trình bậc hai nhận
Ta có :

x13 x23 = ( x1 x2 ) = b 3
3

Do
Nếu

và

Nếu
+Với

+Với
Vậy

Tìm hai số nguyên tố
là số nguyên tố,

p=5

p>5

thì

x 2 + ( a 3 − 3ab ) x + b3 = 0

thì p là số lẻ nên

p = 3k + 2,
p = 5; q = 2

ta có :
ta có :

sao cho

p + q, p − q

p − 2 = 3; p + 2 = 7

p = 3k + 1,

làm nghiệm

3

p, q

p, q

và

x23

x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = −a 3 − 3b ( −a ) = 3ab − a 3

Phương trình bậc hai cần tìm là
4)

x13

p+q

và

p−q

đểu là số nguyên tố

cũng là số nguyên tố nên

q =2⇒ p≥5

đều là số nguyên tố

p = 3k + 1

hoặc

p = 3k + 2,

p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3 ( k + 1)
p − 2 = 3k − 2 − 2 = 3k

với k là số nguyên dương

không là số nguyên tố

không là số nguyên tố