Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh tiền giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH TIỀN GIANG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2022-2023
Mơn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1. (3,0 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức
1
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
+
1+ 2
2+ 3
3+ 4
14 + 15
15 + 16

M=
N=

2

(

(

)

3 −1

6 3 + 10

3

10 − 2

)

3+ 5

2. Giải phương trình

( 1 + 3x

3. Giải hệ phương trình
Bài 2. (3,0 điểm)

9 x2 + 1

)(

)

9 x 2 + 1 − 3x = 1

2
2 x + xy + 1 = 4 x
 3
2
 x + x y + y = 3x

Oxy ,
1. Trong mặt phẳng tọa độ

thẳng

1
( d) : y = − x+m
2

( P) ,

cho parabol

( P ) : y = ax 2

2. Gọi

x1 , x2

A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B )

là hai nghiệm của phương trình
x + nx + 1 = 0,
2

phương trình
minh rằng

m

3;3

)

và đường

( d)

để đường thẳng

x 2 + mx + 1 = 0

và

x3 ; x4

y A yB 25
+
=
xB x A 16

là hai nghiệm của

m ≥ 2, n ≥ 2

m, n

với

( P)

cắt parabol

khác gốc tọa độ, sao cho

là các tham số thỏa mãn

( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n
x, y

3. Cho hai số

qua

(

(với m là tham số). Xác định phương trình của parabol

từ đó tìm tất cả các giá trị của tham số
tại hai điểm phân biệt

M

liên hệ với nhau bởi đẳng thức

2

x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 10 ( x − y ) + 21 = 0

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên

( x; y )

−m

. Chứng

2

S = x− y+2

y=

thỏa mãn

2x −1
x − x +1
2

Tìm


Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn

ABC ( AB < AC )

AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB )
P, Q

gọi

lần lượt là hình chiếu của
DH

1)

là tia phân giác của

M

nội tiếp đường trịn tâm O, có ba đường cao

cắt nhau tại H. Tia

AO

cắt BC tại M và cắt

AB, AC

trên

. Chứng minh :

∠EDF

HE NB
=
HF NC

2)

HE.MQ.HB = HF .MP.NC

3)

ĐÁP ÁN
Bài 1. (3,0 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức
1

M=

1

+

1+ 2

2+ 3

1

+

3+ 4

+ ..... +

1
14 + 15

1

+

15 + 16

M = 2 − 1 + 3 − 2 + ...... + 16 − 15 = 16 − 1 = 3
N=

2

(

(

)

3 −1

6 3 + 10

3

10 − 2

)

3+ 5

2. Giải phương trình
1 + 3x 9 x2 + 1
9 x + 1 + 3x
2

⇔ ( 3 x − 1)

Vậy

(

=

(
(

2

) ( 3 + 1)
5 − 1) 6 + 2 5
3 −1

( 1 + 3x

3

9 x2 + 1

)(

3

=

)(
( 5 − 1) (

2

1

3 x − 1 = 0
x=

9x +1 −1 = 0 ⇔  2
⇔
3

9 x + 1 = 1  x = 0


)

1 
S =  ;0 
3 

3. Giải hệ phương trình

3 −1

)

9 x 2 + 1 − 3x = 1

= 1 ⇔ 1 + 3x 9 x2 + 1 = 9 x 2 + 1 + 3x
2

(

2 x 2 + xy + 1 = 4 x
 3
2
 x + x y + y = 3x

) = 4 =1

3 +1

)

5 +1

4

( O)

tại N,


Ta có

( 0; y )

khơng là nghiệm của hệ nên :


1

1

x + y ) +  x + ÷= 4
(
2
x
+
y
+

=
4
x + y = 2


x
x = 1



x
⇔
⇔
⇔

1
y =1
 x 2 + xy + y = 3 ( x + y )  x + 1  = 4
 x + x = 2

÷

x

x


Vậy hệ có tập nghiệm (x;y)=
Bài 2. (3,0 điểm)
4.

( 1;1)

Trong mặt phẳng tọa độ

1
x+m
2

( d) : y = −
đường thẳng
của parabol
thẳng

M

(

( d)

( P) ,

Oxy,

cho parabol

gốc tọa độ, sao cho

)

( P)

)

tại hai điểm phân biệt

m

và

để đường

A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B )

( 3)

2

⇔ a =1

khác

. Vậy parabol

( P)

( d ) : x2 = −
và

( P ) : y = x2

1
x+m
2

∆ = 1 + 16m

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
⇔m>−

khác gốc tọa độ

3;3

(với m là tham số). Xác định phương trình

Phương trình hồnh độ giao điểm của
có

qua

(

y A y B 25
+
=
xB x A 16

3;3 ∈ ( P ) : y = ax 2 ⇔ 3 = a

⇔ 2 x + x − 2m = 0

M

từ đó tìm tất cả các giá trị của tham số

cắt parabol

2

( P ) : y = ax 2

1
,m ≠ 0
16

A ( xA ; y A )

. Theo định lý Vi-et, ta có :

1
x A + xB = − ; x A x B = − m
2
y A yB 25
x 2 x 2 25
x 2 + x2 25
+
=
⇔ A+ B =
⇔ A B =

xB xA 16
xB x A 16
x A . xB
16

và

B ( xB ; y B )


3

(x +x )
⇔ A B
5.

Gọi

3

− 3 x A xB ( x A + xB )
x A xB

x1 , x2

 1
 1
− ÷ − 3 ( −m )  − ÷

25

2
 2  = 25 ⇔ m = 2(tm)
=
⇔
16
−m
16
x 2 + mx + 1 = 0

là hai nghiệm của phương trình
x + nx + 1 = 0,
2

nghiệm của phương trình
m ≥ 2, n ≥ 2

. Chứng minh rằng

Theo định lý Vi-et , ta có

 x1 + x2 = −m

 x1 x2 = 1

với

m, n

và

x3 ; x4

là hai

là các tham số thỏa mãn

( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n 2 − m2

và

 x3 + x4 = − n

 x3 x4 = 1

VT = ( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n − m
2

Ta có :

2

=  x1 x2 − x3 ( x1 + x2 ) + x23   x1 x2 + x4 ( x1 + x2 ) + x42 

= ( 1 + mx3 + x32 ) ( 1 − mx4 + x42 ) = ( mx3 − nx3 ) ( − mx4 − nx4 )
= ( n − m ) x3 ( m + n ) x4 = n 2 − m 2 = VP
x, y
6.

Cho hai số

liên hệ với nhau bởi đẳng thức

x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 10 ( x − y ) + 21 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Viết lại biểu thức đã cho thành
x

Như vậy với mọi và mọi
Suy ra

y

( x − y + 2)

ta ln có

( S + 5) ( S + 1) ≤ 0 ⇔ −5 ≤ S ≤ −1

2

S = x− y+2

+ 6 ( x − y + 2) + 5 = − y2

S 2 + 6S + 5 ≤ 0

(với

S = x − y + 2)

. Do đó :

 x = −7
 x = −3
Min S = −5 ⇔ 
; Max S = −1 ⇔ 
y = 0
y = 0

Bài 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên
y=

Ta có :
y =0⇒ x=

2x −1
⇔ yx 2 − ( y + 2 ) x + y + 1 = 0
x − x +1
2

1
( ktm )
2

( x; y )

y=

thỏa mãn

2x −1
x − x +1
2


⇔ ∆ = ( y + 2 ) − 4 y ( y + 1) ≥ 0 ⇔ −
2

y ≠ 0,

Vì

phương trình có nghiệm

2
2
≤ y≤
3
3


x = 0
y =1⇒ 
x = 2
y ∈ ¢, y ≠ 0 ⇒ 

 x = −1
 y = −1 ⇒ 
x = 0



Vậy có 4 cặp số cần tìm là
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn
đường cao
M và cắt
minh :

( 1;1) , ( 2;1) , ( −1; −1) , ( 0; −1)

ABC ( AB < AC )

nội tiếp đường trịn tâm O, có ba

AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB )

( O)

tại N, gọi

P, Q

cắt nhau tại H. Tia

lần lượt là hình chiếu của

M

trên

AO

cắt BC tại

AB, AC

. Chứng


4)

DH

là tia phân giác của

∠EDF

Chứng minh đúng hai tứ giác
Suy ra
Mà
Vậy
5)

BFHD, CEHD

∠HDF = ∠HBF , ∠HDE = ∠HCE

∠HBF = ∠HCE
DH

(cùng phụ

là tia phân giác của

nội tiếp

∠A) ⇒ ∠HDF = ∠HDE
∠EDF

HE NB
=
HF NC

Ta có :

NC ⊥ AC ⇒ NC / / BH

hành , tứ giác

BCEF

∠FEH = ∠BCH

và

, tương tự, ta có

NB / /CH

nên

BHCN

nội tiếp, suy ra :

∠FBH = ∠ECH ⇒ ∆HFE ∽ ∆HBC

∆HFE ∽ ∆NCB ⇒

Do đó,

HE NB
=
HF NC

HE.MQ.HB = HF .MP.NC

6)

MQ / / NC ( ⊥ AC ) ⇒

MQ AM
MP AM
=
; MP / / NB ( ⊥ AB ) ⇒
=
NC
AN
NB AN

MQ MP
NB MP
=
⇒
=
NC NB
NC MQ

Lại có :
Vậy

HB = NC

(do

, ,mà

HBNC

HE NB
HE MP
=
→
=
⇒ HE.MQ = HF .MP
HF NC
HF MQ

là hình bình hành)

HE.MQ.HB = HF .MP.NC

là hình bình