Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh vĩnh long

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH LONG

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG
NĂM HỌC 2022-2023
MÔN : TỐN (chun)
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

a)

 x+3 x +2
1  1
P = 
−
÷:
x −2÷
 x x −8
 x

P và tìm giá trị của P tại

Tính giá trị biểu thức

b)

Tìm

3− 2 2
3+ 2 2
−
17 − 12
17 + 12 2

x2 + ( m − 2) x + m − 3 = 0 x

( là ẩn số,

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A = 2 x1 x2 − ( x1 − x2 ) + 3

. Rút gọn biểu thức

x = 14 + 6 5

Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình
m

với

x > 0, x ≠ 4

x1 , x2

m

là tham số

sao cho biểu thức

2

đạt giá trị lớn nhất

Câu 3. (1,5 điểm)
a)

Giải phương trình :

Giải hệ phương trình
Câu 4. (1,5 điểm)
b)

a)
b)

Cho

x −1 + 2x − 1 = 5
 x ( x + 3) ( 2 x + y ) = 30
 2
 x + 5 x + y = 13

A = 2 ( 12023 + 2 2023 + ..... + 20222023 )

. Chứng minh rằng

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2 x 2 + 5 y 2 + 4 x = 21

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính
thẳng

AO ( H ≠ A; H ≠ O ) .

a)

Chứng minh

M

AB.

Gọi

H

là điểm thuộc đoạn

Qua H vẽ đường thẳng vng góc với

này cắt đường trịn (O) tại C và D. Hai đường thẳng
N là hình chiếu của

AM2022

lên đường thẳng

∠ACN = ∠AMN

AB

BC

và

AD

AB,

đường thẳng

cắt nhau tại M. Gọi


Chứng minh

b)

CH 2 = NH .OH
A

Tiếp tuyến tại

c)

EB

của đường tròn

lấy điểm E sao cho

giao điểm của
thẳng

AE

cắt

đi qua trung điểm của đoạn thẳng
ABCD

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình vng
DC

( O)

BM

DC = 3DE ,

DC ,

và

vẽ

OH

nội tiếp đường trịn

đường thẳng

vng góc với

AE

( O; R )

cắt cung nhỏ

DM

DC

, trên dây cung
I

tại M. Gọi là

tại H. Tính độ dài các đoạn

và DI theo R

Chứng minh
Biết

a, b

a + b ≤ 2 ( a 2 + b2 )

a + b = 6.
2

b)

tại E. Chứng minh đường thẳng

CH

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hai số thực khơng âm
a)

NC

P=

2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ĐÁP ÁN

2ab
a +b+ 2

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

c)

 x+3 x +2
1  1
P = 
−
÷:
x −2÷
 x x −8
 x

thức P và tìm giá trị của P tại

Với

x > 0; x ≠ 4

(

)(

x −2

x −2 x+2 x +4

)

. x=

x = 14 + 6 5 ⇒ x =

Ta có

x > 0, x ≠ 4

. Rút gọn biểu

x = 14 + 6 5

ta có :


 x+3 x +2
1  1 
P = 
−
=
÷:
x −2÷
 x x −8
 x 
=

với

(

x+3 x +2

)(

x −2 x+2 x +4

x
x+2 x +4

( 3+ 5)

2

= 3+ 5

−

) (


. x
x −2 x+2 x +4 

x+2 x +4

)(

)

⇒P=

3+ 5
1
=
14 + 6 5 + 6 + 2 5 + 4 8

Tính giá trị biểu thức

d)

3− 2 2
3+ 2 2
−
=
17 − 12
17 + 12 2

3− 2 2
3+ 2 2
−
17 − 12
17 + 12 2

3−2 2

( 3− 2 2)

2

3+ 2 2

−

( 3+ 2 2)

Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình
số Tìm

m

2

=

1
1
−
=2
2 −1
2 +1

x2 + ( m − 2) x + m − 3 = 0 x

( là ẩn số,

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A = 2 x1 x2 − ( x1 − x2 ) + 3

x1 , x2

2

đạt giá trị lớn nhất

∆ = ( m − 2 ) − 4 ( m − 3) = m 2 − 8m + 16 = ( m − 4 ) ≥ 0
2

Ta có

2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Theo định lý Vi-et ta có :

∆>0⇔m≠4

 x1 + x2 = 2 − m

 x1 x2 = m − 3

A = 2 x1 x2 − ( x1 − x2 ) + 3 = 6 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 3 = −m 2 + 10m − 19
2

2

⇒ A = 6 − ( m − 5 ) ≤ 6∀m
2

Max A = 6 ⇔ m = 5

Vậy
Câu 3. (1,5 điểm)
c)

Giải phương trình :

Ta có

x −1 + 2x −1 = 5

x −1 + 2x −1 = 5

 x ≥ 1
⇔
3x − 2 + 2

 x ≥ 1
⇔
( x − 1) ( 2 x − 1) = 25 2 2 x 2 − 3 x + 1 = 27 − 3 x

1 ≤ x ≤ 9
⇔ 2
⇔ x=5
 x − 150 x + 725 = 0

m

là tham

sao cho biểu thức


d)

Giải hệ phương trình

Hệ đã cho tương đương với
x + 3x ; 2 x + y

 x ( x + 3) ( 2 x + y ) = 30
 2
 x + 5 x + y = 13

( x 2 + 3 x ) ( 2 x + y ) = 30
 2
 x + 3x + 2 x + y = 13

2

Suy ra
Vậy

là hai nghiệm của phương trình

t = 10

t 2 − 13t + 30 = 0 ⇔ 
t = 3

  x 2 + 3 x = 10
 x = 2; y = −1
⇔

 x = −5; y = 13
 2 x + y = 3


−3 + 21
 2
x=
; y = 13 − 21

 x + 3x = 3
2
  2 x + y = 10 ⇔ 
−3 − 21

x=
; y = 13 + 21


2


Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm
Câu 4. (1,5 điểm)

c)

Cho

A = 2 ( 12023 + 2 2023 + ..... + 2022 2023 )

Với hai số nguyên dương
2 1

 −3 + 21
  −3 − 21

;13 − 21 ÷
;
;13
+
21


÷
÷
÷; ( 2; −1) ; ( −5;13)
2
2

 


a, b

. Chứng minh rằng

bất kỳ, ta có

a 2023 + b 2023 M( a + b )

AM2022

. Ta có

 M2022
2  22023 + 20202023  M2022
2023

+ 2021

2023

...............
2 10102023 + 10122023  M2022

Và

2.10112023 M2022; 2022 2023 M2022

⇒ A = 2 ( 12023 + 22023 + ..... + 2022 2023 ) M2022

d)

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2 x 2 + 5 y 2 + 4 x = 21( 1)


2 x 2 + 5 y 2 + 4 x = 21 ⇔ 2 ( x + 1) = 5 ( 4 − y 2 )
2

2 ( x + 1) ≥ 0 ⇒ 5 ( 4 − y 2 ) ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 4 ⇔ y 2 ∈ { 1; 4}
2

Mà

x = 2
y 2 = 1 ⇒ ( 1) ⇔ 2 x 2 + 4 x − 16 = 0 ⇔ 
 x = −4
y 2 = 4 ⇒ ( 1) ⇔ 2 x 2 + 4 x − 1 = 0 ⇒ x =

−2 ± 6
2

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là

( 2;1) ; ( 2; −1) ; ( −4;1) ; ( −4; −1)

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính
đoạn thẳng

AO ( H ≠ A; H ≠ O ) .

AB.

Gọi

H

là điểm thuộc

Qua H vẽ đường thẳng vng góc với

thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng
tại M. Gọi N là hình chiếu của

M

lên đường thẳng

AB

BC

và

AB,

AD

đường

cắt nhau

d)

Chứng minh

Tứ giác

MNAC

Nên tứ giác
e)

có

∠MNA + ∠MCA = 90° + 90° = 180°

MNAC

là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Ta có :

⇒ ∠ACN = ∠AMN

CH 2 = NH .OH

∠ACN = ∠AMN

∠AMN = ∠ADC

AB ⊥ CD ⇒ H

Tam giác
Suy ra

∠ACN = ∠AMN

(do

MN / / DC

vì cùng vng góc với

AB )

là trung điểm của CD

ACD

là tam giác cân do AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

∠ADC = ∠ACD

. Tứ đó ta có

∠ACN = ∠ACD

. Ta có :

∠NCO = ∠ACN + ∠ACO = ∠ACD + ∠OAC = 90° ⇒ CN ⊥ CO

⇒ ∆NCO

vuông tại C suy ra

CH 2 = NH .OH


Tiếp tuyến tại

f)

thẳng

EB

A

của đường tròn

Gọi F là giao điểm của
C

đường kính

FE = EA

nên

DC

và

CH

CK = KH .

I

Gọi là giao điểm của
AE

CH

cân tại E nên E thuộc trung trực AC
FA.

và BE. Ta có

Nên đường trung trực của

CH / / FA

E

BM

ABCD

DC = 3DE ,

và

DC ,

và DI theo R

vẽ

nên

phải cắt

FA

CK KH  BK 
=
=
÷
FE EA  BE 

CH

nội tiếp đường tròn

đường thẳng

OH

AC

là trung điểm của

Vậy BE đi qua trung điểm của

lấy điểm E sao cho

các đoạn thẳng

tại E. Chứng minh đường

BM

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình vng
cung

NC

tại tâm của đường trịn này. Suy ra

Gọi K là giao điểm của
Mà

AE

thuộc đường trịn đường kính
FA

cắt

đi qua trung điểm của đoạn thẳng

 1

∠ACE = ∠EAC  = sd »AC ÷ ⇒ ∆AEC
 2


Ta có

( O)

AE

vng góc với

( O; R )

, trên dây

cắt cung nhỏ
DM

DC

tại M.

tại H. Tính độ dài

AD = R 2; DE =

Ta có
∠DOH =

Ta có

R 2
2R2 2 5
; AE = AD 2 + DE 2 = 2 R 2 +
=
R
3
9
3

1
1 ¼
∠DOM = sd DM
= ∠DAM
2
2

⇒ ∆OHD ∽ ∆ADE ⇔

DH DE
R 10
R 10

=
⇒ DH =
⇒ DM =
OD AE
10
5
ME DE MD
=
=
CE AE AC

∆DEM ∽ ∆AEC ( g .g ) ⇒

Ta có
⇒

ME DE MD 2 1
ME 1
ME 1
.
=
= ⇒
= ⇒
=
2
AE CE AC
10
AE 5
AM 6

EI ME 1
1
R 2
=
= ⇒ EI = AB =
AB AM 6
6
6
R 2 R 2 R 2
⇒ DI = DE + EI =
+
=
3
6
2
EI / / AB ⇒

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hai số thực không âm
c)

Chứng minh

a, b

a + b ≤ 2 ( a 2 + b2 )

2ab ≤ a 2 + b 2 ⇔ ( a + b ) ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) ⇔ a + b ≤ 2 ( a 2 + b 2 )
2

Ta có :

a + b = 6.
2

d)

Biết

P=

2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2ab
a+b+2

( a + b ) − ( a 2 + b2 ) ( a + b ) 2 − 4 − 2
2ab
2
P=
=
=
= a+b− 2−
a+b+2
a+b+2
a+b+2
a+b+2
2
1

a+b ≤ 2 3 ⇒ a+b+2≤ 2+2 3 ⇒
≥
a + b + 2 1+ 3
2

P ≤ 2 3 −2−

Vậy

1
−3 + 3 3
=
2
1+ 3

Dấu bằng xảy ra khi

a 2 + b2 = 6
⇒a=b= 3

a = b


Max P =

Vậy

−3 + 3 3
⇔ a=b= 3
2