Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh yên bái

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI
NĂM HỌC 2022-2023
Môn thi: TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

x
2
2x − x x − 2
+
+
x −1
x −2 x −3 x + 2

P=

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức
a)

với

x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4

Rút gọn biểu thức P
P −P=0

b)

Tìm tất cả các giá trị của x để

Câu 2. (3,0 điểm)
1) Cho phương trình x:
số

m

x 2 − 5mx − 4m = 0

(m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 ; x2

thỏa mãn

x12 + 5mx2 + 16m − 5 = 0

 x 2 + y 2 = 2 y − xy

 x − y + 2 = xy

2) Giải hệ phương trình :
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn
cạnh
của

AC

ABC ( AB < AC ) .

và AB lần lượt tại

E

và F. Gọi

Đường trịn tâm O đường kính BC cắt các

H

là giao điểm của

BE

và CF, I là trung điểm

AH

a)
b)
c)
d)

Chứng minh rằng tam giác
Chứng minh rằng

AH

IE

IHE

cân

là tiếp tuyến của đường tròn

cắt BC và EF lần lượt tại

D

( O)

và M. Chứng minh rằng

IC cắt đường tròn (O) tại N (khác C). Chứng minh

IF 2 = IM .ID

B, M , N

thẳng hàng

Câu 4. (1,0 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

( a; b )

B = 9.52 n + 13.3n

sao cho

ab

luôn chia hết cho 22

là ước của

a2 + b


Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số dương

1)

a , b, c

1 1 1
+ + = 1.
a b c

thỏa mãn

Chứng minh rằng

b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥3
ab
bc
ca

Cho

2)

X

là tập hợp gồm

26

số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn
x, y

hơn 100. Chứng minh rằng trong X luôn tồn tại hai số
hợp

sao cho

{ 5;10;15}

x− y

thuộc tập

ĐÁP ÁN
x
2
2x − x x − 2
+
+
x −1
x −2 x −3 x + 2

P=

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức P

c)

P=
x

(

x
2
2x − x x − 2
+
+

x −1
x −2 x−3 x + 2

) ( x − 1) + 2 x − x
( x − 1) ( x − 2 )
2 ( x − 2)
2
=
=
( x − 1) ( x − 2 ) x − 1
=

x −2 +2

x −2

=

x x − 2x + 2 x − 2 + 2x − x x − 2

(

P −P=0

Tìm tất cả các giá trị của x để

d)

Ta có :
P −P=0⇔

⇒

với

x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4

2
x −1

2
2
−
=0⇔
x −1
x −1

2
=
x −1

> 0 ⇔ x −1 > 0 ⇒ x > 1

Kết hợp với điều kiện suy ra

x > 1, x ≠ 4

2
x −1

)(

x −1

x −2

)


Câu 2. (3,0 điểm)
1) Cho phương trình x:
m

tham số

x 2 − 5mx − 4m = 0

(m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 ; x2

thỏa mãn

x + 5mx2 + 16m − 5 = 0
2
1

Phương trình

x 2 − 5mx − 4m = 0 ( 1)

có hai nghiệm phân biệt

16

m<−

⇔ ( −5m ) − 4.1. ( −4m ) > 0 ⇔
25 ( *)

m > 0

⇔∆>0

2

Mặt khác,
Mà

x1 , x2

x1

. Theo định lý Viet, ta có :

là nghiệm của phương trình (1) nên:

thỏa mãn

x12 + 5mx2 + 16m − 5 = 0 ( 3)

x12 − 5mx1 − 4m = 0 ⇔ x12 = 5mx1 + 4m ( 2 )

, nên thay (2) vào (3) ta có :

5mx1 + 4m + 5mx2 + 16m − 5 = 0 ⇔ 5m ( x1 + x2 ) + 20m − 5 = 0
1

m=

⇔ 5m.5m + 20m − 5 ⇔ 5m + 4m − 1 = 0 ⇔
5 (tm(*))

 m = −1
2

Vậy

1
m = ; m = −1
5

2) Giải hệ phương trình :

 x1 + x2 = 5m

 x1 x2 = −4m

 x 2 + y 2 = 2 y − xy


 x − y + 2 = xy

( x + y ) 2 − 2 xy = 2 y − xy
( x + y ) 2 = 2 y + xy
 x 2 + y 2 = 2 y − xy
⇔
⇔

 x − y + 2 = xy
 xy = x − y + 2
 xy = x − y + 2
  x + y = −1
2
2
( x + y ) = 2 y + x − y + 2
( x + y ) − ( x + y ) − 2 = 0

⇔
⇔
⇔  x + y = 2
 xy = x − y + 2
 xy = x − y + 2
 xy = x − y + 2


 y = − x − 1
  x + y = −1
 2


 xy = x − y + 2
  x + 3 x + 3 = 0(VN )

⇔
⇔
 x + y = 2
y = −x + 2
x = 0
 

⇔
2
  x = 0
y = 2
  xy = x − y + 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( x; y ) = ( 0; 2 )


Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn
cạnh

AC

E

và AB lần lượt tại

điểm của

e)

ABC ( AB < AC ) .

Chứng minh rằng tam giác
AEHF

IE = IH ⇒ ∆IHE

IHE

BE

cân

nội tiếp đường tròn đường kính

Suy ra I là tâm đường trịn
Suy ra

là giao điểm của

AH

Chứng minh tứ giác

f)

và F. Gọi

Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các

H

( AEHF ) ( 1)

cân

Chứng minh rằng

IE

AH

là tiếp tuyến của đường tròn

( O)

và CF, I là trung


BE ⊥ AC , CF ⊥ AB ⇒ AH ⊥ BC

Mà

∆IAE , ∆OCE

cân nên

nên

∠ACB + ∠HAC = 90° ( 2 )

∠ACB = ∠OEC , ∠HAC = ∠AEI ( 3)

∠AEI + ∠OEC = 90°

Từ (2) và (3) suy ra
hay
Suy ra IE là tiếp tuyến của đường trịn (O)
AH

g)

Vì

IE

và M. Chứng minh rằng

là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên

∠FEI = ∠MFI ( IE = IF ) ; ∠FBE = ∠FDH

Mà

Suy ra

Từ đó
h)

cắt BC và EF lần lượt tại

D

∠IEO = 90°

∠FDH = ∠MFI ⇒ ∆IFM ∽ ∆IDF

IF 2 = IM .ID

 1 » 
∠FEI = ∠FBE  = sd FE
÷
 2


(tứ giác

BDHF

nội tiếp)

IF ID
=
⇒ IF 2 = IM .ID ( 4 )
IM IF

IC cắt đường tròn (O) tại N (khác C). Chứng minh

B, M , N

thẳng hàng

Chứng minh tương tự câu b ta có IF là tiếp tuyến của đường trịn (O)
∆IFN ∽ ∆ICF ⇒

Suy ra
Từ (4) và (5) suy ra
Mà

IF IN
=
⇒ IF 2 = IC .IN ( 5 )
IC IF

IC.IN = IM .ID ⇒ ∆IMN ∽ ∆ICD

∠ADC = 90° ⇒ ∠INM = 90°

Lại có

BN ⊥ IC

nên

B, M , N

hay

MN ⊥ IC

thẳng hàng

Câu 4. (1,0 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số

B = 9.52 n + 13.3n

luôn chia hết cho 22

Ta có :
B = 9.52 n + 13.32 n = 9.25n + 13.3n

= 22.25n − 13.25n + 13.3n = 22.25n − ( 13.25n − 13.3n ) = 22.25n − 13. ( 25n − 3n ) M22


Vì

(a

n

− b n ) M( a − b )

với mọi số tự nhiên n
B = 9.52 n + 13.3n

Vậy, với mọi số tự nhiên n, số

( a; b )

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
a

Gọi UCLN của và b là d, suy ra

(a

2

luôn chia hết cho 22
sao cho

a = a1d , b = b1d

với

ab

là ước của

( a1; b1 ) = 1

a2 + b

. Theo đề bài ta có :

+ b ) Mab ⇒ ( a12 d 2 + b1d ) Md 2 .a1b1 ⇒ ( a12 d + b1 ) Mda1b1

⇒ a12 d M
b1

và

b1 Mda1

mà

( a1 , b1 ) = 1

nên

a1 = 1, d = b1

⇒ 2d Md 2 ⇒ d ∈ { 1; 2} ⇒ ( a, b ) = ( 1;1) , ( 2; 4 )

Câu 5. (1,0 điểm)

3)

Cho các số dương

a, b, c

thỏa mãn

1 1 1

+ + = 1.
a b c

Chứng minh rằng

b + 2a
c + 2b
a + 2c
+
+
≥3
ab
bc
ca
2

Đặt

2

2

2

2

1
1
1
= x, = y; = z ⇒ x + y + z = 1

a
b
c

b 2 + 2a 2
= x2 + 2 y 2 =
ab

Tương tự :

(x

2

2

. Khi đó :

+ y 2 + z 2 ) .3
3

3 ( 2z + y )
c 2 + 2b 2
≥
( 2) ;
bc
3

≥

( x + 2y)
3

2

=

3. ( x + 2 y )
( 1)
3

3. ( 2 x + z )
a 2 + 2c 2
≥
( 3)
ca
3

Cộng (1), (2), (3) ta có :
3. ( 3 x + 3 y + 3 z )
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥
= 3(dfcm)
ab
bc
ca

3


4)

Cho

X

là tập hợp gồm

26

số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không

lớn hơn 100. Chứng minh rằng trong X luôn tồn tại hai số
thuộc tập hợp

{ 5;10;15}

Chia 26 số nguyên trong tập hợp X thành 5 đoạn

x, y

sao cho

x− y

[ 1; 20] , [ 21; 40] , [ 41;60] ; [ 61;80 ] ; [ 81;100 ]

Vì 26 số chia 5 đoạn nên theo ngun lý Dirichlet có ít nhất 1 đoạn có ít nhất 6 số
Vì một số chiaa 5 chỉ có thể dư 0,1,2,3,4. Nên trong 6 số đó có ít nhất 2 số x,y có cùng
số dư khi chia cho 5 nên

x − y M5 ( 1)

Mà trong mỗi đoạn hiệu hai số lớn nhất là 19 nên
Từ

( 1) , ( 2 ) ⇒ x − y ∈ { 5;10;15}

x − y ≤ 19 ( 2 )