Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh ninh bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn thi: TỐN CHUN
Thời gian làm bài : 150 phút

 x 3
x 2
x 2   x2

A  


:
 1


x 3 x 5 x 6   x  x 2 
 x 2
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức
Với x  0, x  4, x  9

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3  2 2
Câu 2. (2,0 điểm)

2
1) Giải phương trình : x  3x  2  2  2  x  x  1  0

2 x 2  2 y 2  8 x  4 y  1
 2
2
2) Giải hệ phương trình  x  7 y  4 xy  6 y  6

Câu 3. (2,0 điểm)
1) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  2 y  3z  6 . Chứng minh rằng :
1
1
3
3
9




2
2
x  4 y  9z
49 xy 49 yz 98 zx 49
2

2
4
2) Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p sao cho a  7 p  9


 nội tiếp đường tròn   Gọi
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn

M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các
điểm P, Q (P thuộc cung nhỏ AB và Q thuộc cung nhỏ AC ). Lấy điểm D trên cạnh
BC ( D khác B và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại điểm I (I khác
B). Đường thẳng DI cắt AC tại K
1) Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp
2) Chứng minh rằng PK .PD  QB.QA
3) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (G khác P).
Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh rằng khi điểm D di
ABC AB  AC

O .

CD
chuyển trên cạnh BC thì tỉ số CE không đổi
Câu 5. (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông 3  3 (gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi
 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

tất cả các số thuộc tập hợp
vào các ô vuông của bảng, mỗi ô
vuông ghi một số, sao cho tổng các số trong mỗi bảng ô vuông con cỡ 2  2 đều
bằng nhau
1) Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu
2) Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị
lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2  2


ĐÁP ÁN
 x 3
x 2
x 2   x2


A  


:

1



x 3 x5 x 6 
 x 2
  x x 2 
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức
Với x  0, x  4, x  9

1) Rút gọn biểu thức A
Đặt a  x , ta có :

a  2   a2  2
 a3 a2
A

 2
 1
:  2
 a  2 a  3 a  5a  6   a  a  2 

a 2  9  a 2  4  a  2  a  2   a  1  a  3  .  a  1 a  1


.



a
a
 a  2   a  3
 a  3 .a

x 1
x

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3  2 2
x  3 2 2 





2

2  1  x  2  1.

Khi đó

A

2 1 1
 2 2
2 1

Câu 2. (2,0 điểm)
2
1) Giải phương trình : x  3x  2  2  2  x  x  1  0

x 2  3 x  2  2  2  x  x  1  0  x  1   x  2   x  1  2  x  2  x  1  0
x  2
x  2
x  2  0


  x  1  0   x  1 (tm)
 x 1 2 x 1  0
 x 1  2
 x  5


Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

S   1; 2;5

2 x 2  2 y 2  8 x  4 y  1
 2
2
2) Giải hệ phương trình  x  7 y  4 xy  6 y  6
2
2
2 x 2  2 y 2  8 x  4 y  1 2  x  2   2  y  1  9  1

 2

2
2
2
 x  7 y  4 xy  6 y  6
 x  2 y   3  y  1  9  2 

Trừ hai phương trình trên vế theo vế, ta được :
2  x  2    x  2 y    y  1  0
2

2

2


  x  2    x  2 y    x  2    y  1  0
2

2

2

2

  x  y  1 .4.  y  1   x  y  1  x  y  3  0
  x  y  1  x  5 y  7   0


1
1



x   2  y  2
2
 y  x  1   1  4  x  2   9  

 x  7  y   5


2
2


26  3 13
52  5 13

x
y 

2
26
26
 x  5 y  7   2   52  y  1  9  


26  3 13
52  5 13
x
y 


26
26



Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :
1 1   7 5   52  5 13 26  3 13   52  5 13 26  3 13 
; ;  ;  ;  
;
;


; 

26
26
26
26
 2 2   2 2  
 


 x; y    

Câu 3. (2,0 điểm)
1) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  2 y  3z  6 . Chứng minh rằng :
1
1
3
3

9




2
2
x  4 y  9z
49 xy 49 yz 98 zx 49
2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si – Schwarz ta có :
4
36
9
1
1
3
3
1



 2
 49  49  49
2
2
2
x  4 y  9z
49 xy 49 yz 98 zx x  4 y 2  9 z 2 4 xy 12 yz 6 zx

2

 2 6 3
1    
182 1
9
 7 7 7
 2

. 2 
 x  y  z 1
2
2
2
x  4 y  9 z  4 xy  12 yz  6 zx 7 6
49
2
4
2) Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p sao cho a  7 p  9

a; p    11; 2 
a; p    24;3
Dễ thấy 
và 
thỏa mãn
a  3   a  3  7 p 4
Xét p  3, khi đó a chẵn và 

Đặt

d  UCLN  a  3; a  3  6Md

Nếu d  1   a  3, a  3  1
a  3  1
p7
(ktm)
5
a

3

7

Nếu

3Md   a  3 M3  7 p 4 M3  p M3
mà a  3 lẻ nên
(vô lý)


 a  3  1
 7 p 4  7( ktm)

4
 a  3  7 p
p  7, p 4  7  
a 3  7
 
 p 4  13(ktm)
 a  3  p 4

Nếu

a; p    11; 2  ,  24;3
Vậy 

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Đường thẳng MN cắt (O)
tại các điểm P, Q (P thuộc cung nhỏ AB và Q thuộc cung nhỏ AC ). Lấy điểm D
trên cạnh BC ( D khác B và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại
điểm I (I khác B). Đường thẳng DI cắt AC tại K

1) Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp
Do các tứ giác IPBD, APBC nội tiếp nên KIP  PBD  KAP . Vậy tứ giác AIPK
nội tiếp
2) Chứng minh rằng PK .PD  QB.QA


Do tứ giác AKPI , BDIP nội tiếp nên PKD  PBA và PDK  PBA. Suy ra
PK PA

PD PB
Ta cũng có tứ giác APBQ nội tiếp nên MAP  MQB và MPQ  MBQ
PA AM
PB BM
 AMP ∽ QMB 


QB QM . Tương tự ta cũng có : QA QM . Do AM  BM
PA PB
PA QB




QB QA hay PB QA
PKD ∽ PAB 

PK PA QB


PD
PB
QA
Vậy
3) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (G khác P).
Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh rằng khi điểm D
CD
di chuyển trên cạnh BC thì tỉ số CE khơng đổi
Do tứ giác IPBG nội tiếp nên BIG  BPG  BAC  IG / / AC.
CD KD

Theo định lý Ta-let, ta có : CE KI
Lấy điểm J trên AB sao cho APJ  KPI  BAC , khi đó J cố định và do
KD AB

KD
,
KB
PKD ∽ PAB và I, J chia
theo cùng tỉ số nên KI AJ
CD AB


Vậy CE AJ cố định
Câu 5. (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông 3  3 (gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi
 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

tất cả các số thuộc tập hợp
vào các ô vuông của bảng, mỗi ô
vuông ghi một số, sao cho tổng các số trong mỗi bảng ô vuông con cỡ 2  2 đều
bằng nhau
1) Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu
Cách điền số sau thỏa mãn bài toán. Tổng mỗi bảng con 2 X 2 là 24
1
8
4
6
9
3
2
7
5
2) Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài tốn, tìm
giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2  2
Giả sử ta có cách điền các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu như sau


a

b

c

d

e

f

g

h

i

Theo giả thiết, tồn tại số A sao cho

A  abd e bce f  d e g h  e f hi
 4 A   a  b  c  d  e  f  g  h  i   b  d  f  h  3e  45  b  d  f  h  3e

 4 A  45  b  d  f  h  e  2e  45   9  8  7  6  5   3  9  98
 A  24

Kết hợp với cách điền ở ý a, ta được GTLN của tổng các số ở mỗi bảng ô vuông
con 2  2 là 24.