CHUYÊN VĨNH LONG 2021 2022

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

77

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH LONG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN
Năm học: 2021 - 2022
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức A =

x
2x − x
x x +1
−
− 1 với x > 0, x ≠ 1. Rút gọn A và chứng
và B =
x −1 x − x
x +1

minh B > A.
b) So sánh 24 + 26 và 10.
Câu 2. (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = ( m − 1) x + m + 4 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt
(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung.

Câu 3. (1,5 điểm)
a) Giải phương trình: 43 − x = x − 1
x
−1

x + x − y = 2

b) Giải hệ phương trình: 
2 y − y = 3

x− y 2
Câu 4. (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số ngun liên tiếp khơng thể là số chính phương.
b) Tìm các nghiệm ngun dương của phương trình: x 2 y + 2 xy + y = 32 x
Câu 5. (1,0 điểm)
3
Cho hình vng ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE = BC . Tia Ax vng góc với AE tại A
4
cắt tia CD tại F.
a) Tính diện tích ∆ AEF
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: AE 2 = KF . CF
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho ( O ; R ) và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với ( O ) (A, B là các tiếp
điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C
thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của ( O ) tại C cắt OI tại Q. Chứng minh:
a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn.
b) ∆ AMB là tam giác đều.
c) OQ ⊥ MQ
Câu 7. (1,0 điểm)
3+ x 6− x

+
Cho số thực x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
x
3− x
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
--------------------------------------------

/>

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

78

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. (2,0 điểm)
x
2x − x
x x +1
−
− 1 với x > 0, x ≠ 1. Rút gọn A và chứng
và B =
x −1 x − x
x +1

a) Cho biểu thức A =
minh B > A.
b) So sánh

24 + 26 và 10.
Lời giải

Với x > 0, x ≠ 1. Ta có: A =

a)

=
và B = x x + 1 − 1 =
x +1

(

b) Ta co:

(

24 + 26

)

2

(

(

)

x 2 x −1
x
−
x −1

x x −1

(

)

x
2 x −1 x − 2 x +1
−
=
= x −1
x −1
x −1
x −1

) −1 =

x +1 x − x +1

Ta lại có: B − A = x − x −
⇒ B > A (đpcm)

)(

x
2x − x
−
=
x −1 x − x

x +1

)

( x−

x −1 = x − 2 x + 1 =

)

x +1 −1 = x − x

(

)

2

x − 1 > 0 với x > 0, x ≠ 1.

= 24 + 26 + 2. 24.26 = 50 + 2. 624 < 50 + 2. 625 = 100 = 10 2

⇒ 24 + 26 < 10
Câu 2. (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = ( m − 1) x + m + 4 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt
(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung.
Lời giải
2
2
Xét PT hồnh độ giao điểm: x = ( m − 1) x + m + 4 ⇔ x − ( m − 1) x − m − 4 = 0 ( *)

(

)

2
2
Ta có: ∆ = ( m − 1) − 4 ( −m − 4 ) = m − 2m + 1 + 4m + 16 = m + 2m + 1 + 16 = ( m + 1) + 16 > 0 ∀ m
2

2

⇒ pt (*) ln có 2 nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ∀ m
 x1 + x2 = m − 1
Theo Vi-et ta có: 
 x1 x2 = − m − 4

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì pt (*) ln có 2 nghiệm phân biệt trái dấu hay:
−m − 4 < 0 ⇔ m > − 4
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Giải phương trình:

43 − x = x − 1
x
−1

x + x − y = 2

b) Giải hệ phương trình: 
2 y − y = 3

x− y 2

Lời giải

a) ĐK: 43 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 43
 x − 1 ≥ 0
 x ≥ 1
1 ≤ x ≤ 43
1 ≤ x ≤ 43
⇔
⇔
⇔x=7
Phương trình ⇔ 


2 ⇔
2
2
x
−
7
x
+
6
=
0
(
)
(
)

43
−
x
=
x
−
2
x
+
1
x
−
x
−
42
=
0
43
−
x
=
x
−
1
(
)








/>

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

79

b) ĐK: x ≠ y
2x

2 x + x − y = −1

2 x ( x − y ) + 2 x = −1( x − y ) ( 1)
⇔
Hệ phương trình ⇔ 
4 y ( x − y ) − 2 y = 3 ( x − y ) ( 2 )
4 y − 2 y = 3

x− y
Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 2 x ( x − y ) + 2 x + 4 y ( x − y ) − 2 y = 2 ( x − y )
x = y
( KTM )
x − y = 0
⇔ 2( x − y) ( x + 2y) = 0 ⇔ 
⇔
x + 2y = 0
 x = −2 y ( TM )
−2 y −1

7
−7
=
⇔ y= ⇒x =
Với x = −2 y ⇒ −2 y +
−3 y 2
12
6
−7

 x = 6
( TM )
Thử lại ta thấy 
7
y =
 12
−7

 x = 6
Vậy hệ pt có nghiệm là: 
y = 7
 12
Câu 4. (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số ngun liên tiếp khơng thể là số chính phương.
b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x 2 y + 2 xy + y = 32 x
Lời giải
a) Giả sử 6 số nguyên liên tiếp lần lượt là: x ; x + 1; x + 2; x + 3; x + 4; x + 5 ( x ∈¢ )
Ta có: x 2 + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ( x + 4 ) + ( x + 5 )
2

2

2

2

2

= x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 + 10 x + 25
= x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 + 10 x + 25
= 6 x 2 + 30 x + 55

(

)

2
2
b) Ta có: x y + 2 xy + y = 32 x ⇔ y x + 2 x + 1 = 32 x ⇔ y =

32 x

( x + 1) 2

Do: x ; y ∈¢ + ⇒ 32 x M( x + 1) ⇒ 32 x ( x + 2 ) M( x + 1) ⇒ 32 x 2 + 64 x + 32 − 32 M( x + 1) ⇒ 32 M( x + 1)
2

2

⇒ ( x + 1) ∈ U ( 32 ) = { 1; 2; 4;8;16;32} ⇒ ( x + 1) ∈ { 4;16 } (Vì:

2

2

2

( x + 1) 2

2

> 1 và là số chính phương)

 x = 1 ( TM )
2
2
⇒ y = 8 ( TM )
TH1: ( x + 1) = 4 ⇔ x + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
 x = −3 ( KTM )
 x = 3 ( TM )
2
2
⇒ y = 6 ( TM )
TH2: ( x + 1) = 16 ⇔ x + 2 x − 15 = 0 ⇔ 
 x = −5 ( KTM )
Vậy nghiệm của pt là: ( x; y ) = ( 1;8 ) ; ( 3;6 )
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hình vng ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE =
cắt tia CD tại F.
/>
3

BC . Tia Ax vng góc với AE tại A
4


NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

80

a) Tính diện tích ∆ AEF
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: AE 2 = KF . CF

Lời giải

a) Ta có: ¶A1 = ·A3 (cùng phụ với ·A 2 )
 ¶A1 = ·A3
( cmt )

∆
ABE
∆
ADF
⇒ ∆ ABE = ∆ ADF ( g . c . g )
Xét
và
có: 
o
¶
¶
B
=

D
=
90
gt
( )

⇒ AD = AE (2 cạnh tương ứng) ⇒ ∆ AEF ⊥ cân tại A.
3
3
Mà: BE = BC (gt) ⇒ BE = ×4 = 3 ( cm )
4
4
AE. AF 5.5
2
2
2
2
=
= 12,5 cm 2
Theo Pi-Ta-Go ta có: ⇒ AE = AB + BE = 4 + 3 = 5 ( cm ) ⇒ S AEF =
2
2
b) Vì: ∆ AEF ⊥ cân tại A (cmt) ⇒ ¶E 1 = ¶F1 = 45o

(

)

Mà: FI = EI ( gt ) ⇒ AI là trung trực của EF ⇒ AI ⊥ EF ⇒ ∆ IAE ; ∆ IAF cân tại I.
⇒ FI = EI = AI

o
¶
¶
Xét ∆ IKF và ∆ CEF có:  I = C = 90 ⇒ ∆ IKF ∽ ∆ CEF ( g . g ) ⇒ IF = KF ⇒ KF .CF = IF .EF

CF EF
 ¶F chung
⇒ KF .CF = IF .EF = IF . ( 2 IE ) = 2 IE 2 = IE 2 + IA2 = AE 2 (đpcm)

/>

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

81

Câu 6. (2,0 điểm)
Cho ( O ; R ) và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với ( O ) (A, B là các tiếp
điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C
thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của ( O ) tại C cắt OI tại Q. Chứng minh:
a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn.
b) ∆ AMB là tam giác đều.
c) OQ ⊥ MQ
Lời giải

a) Ta có: IC = ID ( gt ) ⇒ OI ⊥ CD tại I (Đường kính vng góc với dây cung đi qua trung điểm)
⇒ OI là đường trung trực của CD ⇒ OQ là đường trung trực của CD ⇒ QD = QC
Xét ∆ DOQ và ∆ COQ có: QD = QC ( cmt ) ; OC = OD = R ( gt ) ; OQ chung
⇒ ∆ DOQ = ∆ COQ ( c.c.c ) ⇒ ·OCQ = ·ODQ = 90o ⇒ ·OCQ + ·ODQ = 180o
⇒ Y DOCQ nội tiếp.
OA

R 1
=
= ⇒ ·M1 = 30o
b) Xét ∆ AOM ⊥ tại A có: sin ·M1 =
OM 2 R 2
Gọi H là giao điểm của AB và OM ta có: MA = MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Mà: OA = OB = R ⇒ OM là đường trung trực của AB ⇒ OM ⊥ AB tại H
⇒ ·HAM = 90o − ·M = 90o − 30o = 60o hay ·BAM = 60o
1

Mặt khác: ∆ ABM cân tại A (Vì: MA = MB) ⇒ ∆ ABM đều (đpcm)
c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
OI .OQ = OD 2 = R 2
OI OM
⇒ OI .OQ = OH .OM ⇒
=

2
2
OH OQ
OH .OM = OA = R
Xét ∆ OHI và ∆ OQM có: OI = OM ( cmt ) ; ¶O chung
OH OQ
⇒ ∆ OHI ∽ ∆ OQM ( c . g . c ) ⇒ ·OQM = ·OHI = 90o
⇒ OQ ⊥ MQ (đpcm)
Câu 7. (1,0 điểm)

/>

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN

82

Cho số thực x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =

3+ x 6− x
+
x
3− x

Lời giải
Ta có: T =

(

3 + x 6 − x ( 3 + x ) ( 3 − x ) + ( 6 − x ) x 9 − x2 + 6x − x2 2x2 − 6 x − 9
+
=
=
=
x
3− x
x ( 3 − x)
3x − x 2
x 2 − 3x

)

⇒ T x 2 − 3 x = 2 x 2 − 6 x − 9 ⇔ Tx 2 − 3Tx − 2 x 2 + 6 x + 9 = 0 ⇔ ( T − 2 ) x 2 + ( 6 − 3T ) x + 9 = 0 ( *)

(

2
2
Có: ∆ = ( 6 − 3T ) − 4 ( T − 2 ) .9 = 36 − 36T + 9T − 36T + 72 = 9 T − 8T + 12
2

)

T ≤ 2
2
2
Để phương trình (*) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ 9 T − 8T + 12 ≥ 0 ⇔ T − 8T + 12 ≥ 0 ⇔ 
T ≥ 6
2 x2 − 6x − 9
Với T = 2 ⇔
= 2 ⇔ 2 x 2 − 6 x − 9 = 2 x 2 − 6 x ⇔ − 9 = 0 (vô lý)
2
x − 3x
2 x2 − 6x − 9
3
Với T = 6 ⇔
= 6 ⇔ 2 x 2 − 6 x − 9 = 6 x 2 − 18 x ⇔ 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇔ x = ( TM )
2
2
x − 3x
3
⇒ TMin = 6 ⇔ x =
2
2 x 2 − 6 x − 9 13

Vì: 1 ≤ x ≤ 2 . Thay x = 2 vào T ta được: T =
= = 6,5 ⇔ 2 2 x 2 − 6 x − 9 = 13 x 2 − 3 x
2
x 2 − 3x
x = 1
⇔ 4 x 2 − 12 x − 18 = 13x 2 − 39 x ⇔ 9 x 2 − 27 x + 18 = 0 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
( TM )
x = 2
x =1
⇒ TMax = 6,5 ⇔ 
x = 2

(

)

(

--------------------------------------------

/>
)

(

)