CHUYÊN BÌNH ĐỊNH 2021 2022

Đề thi TS 10

: 0905.884.951 – 0929.484.951

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUN
Năm học: 2021 – 2022
Mơn: TỐN (Chun Tốn – Tin) – Ngày: 11/06/2021
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát
đề)

-------------------- oOo -------------------Bài 1. (2.0 điểm)
æ x- y
ỗ
1. Cho biu thc: A = ỗ
ỗ
ỗ x+ y
ố

ổ1 1ử
x + yử
ữ
ữ
.ỗ
- ữ
ữ.
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ữ
x - y ứ ốx yứ

Tớnh giỏ tr biểu thức A với x =

2021+ 2 505 , y =

2021- 2 505 .
1 1 1
1
2. Cho các số thực a, b, c¹ 0 và a + b+ c ¹ 0 thỏa mãn + + =
.
a b c a + b+ c
1
1
1
1
Chứng minh rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021
.
2021
a
b
c
a + b + c2021
Bài 2. (2.5 điểm)
1. Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 số bất kỳ
lớn hơn
tổng của 10 số còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A . Tìm các

số cịn lại của tập
hợp A .
2. Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x2 - x +13 là số chính phương.
Bài 3. (1.5 điểm)
ìï 2 2xy- y + 2x + y = 10
ï
Giải hệ phương trình: í
.
ïï 3y + 4 - 2y +1+ 2 2x - 1 = 3
ïỵ
Bài 4. (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , D là điểm bất kì thuộc cạnh BC (
D khác
B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC .
Đường thẳng MN
cắt đường tròn ( O) tại P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BDP cắt AB tại I (khác B ). Các đường thẳng
DI và AC cắt nhau tại K .
a) Chứng minh 4 điểm A , I , P , K nằm trên một đường tròn.
QA PD
=
b) Chứng minh
.
QB PK
c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ).
Đường
thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trên
CD
đoạn BC thì tỉ

số
khơng đổi.
CE
Bài 5. (1.0 điểm)
Cho a , b là các số dương thỏa mãn a+ 2b³ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3
.
2
P=
ab
----------  HẾT  ---------ĐÁP ÁN THAM KHẢO – CHUYÊN TOÁN TIN – BÌNH ĐỊNH 2021 – 2022
Bài 1. (2.0 điểm)
GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 1


thi TS 10

: 0905.884.951 0929.484.951

ổ x- y
ỗ
ỗ
A
=
1. Cho biu thc:

ỗ
ỗ x+ y
ố

ổ1 1ử
x + yử
ữ
ữ
.ỗ
- ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ.
ỗ
ữ
x - y ø èx ỳ

Tính giá trị biểu thức A với x =

2021+ 2 505 , y =

2021- 2 505 .
1 1 1
1
2. Cho các số thực a, b, c¹ 0 và a + b+ c ¹ 0 thỏa mãn + + =
.
a b c a + b+ c
1
1

1
1
( *) .
Chứng minh rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021
2021
a
b
c
a + b + c2021
1. Điều kiện: x> 0 ; y> 0 và x ạ y .
ổ x- y
ổ1
x + yử
ữ
ỗ
ữ
.ỗ
Ta cú: A = ỗ
ữ
ỗ
ỗx
ữỗ
ỗ
ố
x- yứ
ố x+ y
Thay x =
A=

2021+ 2 505 , y=

4
2021+ 2 505.

Vậy A =

x - 2 xy + y- x - 2 xy - y y- x
1ư
4
÷
=
.
=
÷
.
÷
ỳ
x- y
xy
xy

2021- 2 505 vào biểu thức đã thu gọn, ta được:
4
=
= 4.
2021- 4.505
2021- 2 505

ìï
4
ï x=

x
¹
y
(với x> 0 ; y> 0 và
) và A = 4 khi ïí
ïï
xy
ïỵ y =

1 1 1
1
1
1
1 1
+ + =
Û
+ + =0 Û
a b c a + b+ c
a a+ b+ c b c
ổ
1
1ử
ữ
ỗ
ữ
( b+ c) ç
+
=0
÷
ç

÷
ç
a
a
+
b
+
c
bc
(
)
è
ø

2. Ta có:

2021+ 2 505
2021- 2 505

.

b+ c
b+ c
+
= 0.
a( a + b+ c)
bc

Û ( b+ c) ( bc+ a2 + ab+ ca) = 0 (do a, b, c¹ 0 và a+ b+ c ¹ 0 )
éa =- b

ê
Û ( b+ c) ( a+ b) ( c+ a) = 0 Û êb =- c .
ê
êc =- a
ë
ìï 1
1
1
1
1
1
1
ïï 2021 + 2021 + 2021 = 2021 - 2021 + 2021 = 2021
ïa
b
c
a
a
c
c
 Với a =- b, suy ra: ïí
; do đó ( *) đúng.
ïï
1
1
1
= 2021 2021 2021 = 2021
ïï 2021
2021
2021

a - a +c
c
ïỵ a + b + c
 Tương tự trong hai trường hợp còn lại là: b =- c và c =- a thì ( *) cũng đúng.
Do đó bài toán được chứng minh.
Bài 2. (2.5 điểm)
1. Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 số bất kỳ
lớn hơn
tổng của 10 số còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A . Tìm các
số cịn lại của tập
hợp A .
2. Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x2 - x +13 là số chính phương.
1. Giả sử A = { a1 ; a2 ; a3 ;...; a21} với a1 ; a2 ; a3 ;...; a21 Ỵ ¥ và a1 < a2 < a3 < ... < a21 .
Từ đề, suy ra: a1 + a2 +... + a11 > a12 + a13 +... + a21 Û a1 > a12 - a2 + a13 - a3 +... + a21 - a11 ( 1) .
Vì a1 ; a2 ; a3 ;...; a21 ẻ Ơ nờn a12 - a2 10 ; a13 - a3 ³ 10 ; ... ; a21 - a11 ³ 10 ( 2) .
+102444444
+... +10
1444444
3= 100 mà a1 là số nhỏ nhất trong các số của
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra: a1 > 10
10 sè 10

tập hợp A nên a1 = 101 ( 3) .
GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 2

Đề thi TS 10

: 0905.884.951 – 0929.484.951

Từ ( 1) và ( 3) , suy ra: a12 - a2 + a13 - a3 +... + a21 - a11 <101 ( 4) .
Từ ( 2) và ( 4) suy ra: a12 - a2 = a13 - a3 = ... = a21 - a11 = 10 ( 5) .
10 = a12 - a2 = ( a12 - a11) +( a11 - a10 ) +... +( a3 - a2 ) ³ 10 .

Ta có:
Þ

a12 - a11 = a11 - a10 = ... = a3 - a2 = 1 ( 6) .

Vì a1 = 101 m 102 ẻ A ị a2 = 102 ( 7) .
Từ ( 5) , ( 6) và ( 7) suy ra A = {101; 102; 103;...; 121} .
2. Theo đề, đặt x2 - x +13 = a2 (với x, a Î ¢ + ).
2
2
Û 4x2 - 4x + 52 = 4a2 Û ( 2a) - ( 2x - 1) = 51 Û ( 2a- 2x +1) ( 2a+ 2x - 1) = 51.
Vỡ x, a ẻ Â + ị 2a- 2x +1ẻ Â ; 2a+ 2x - 1ẻ Â + và 2a- 2x +1< 2a+ 2x - 1.
Do đó ta có bảng sau:
2a+ 2x - 1
51
17
2a- 2x +1
3
1
a
13
5

x
13
4
thỏa
thỏa
Vậy số cần tìm là: x Ỵ { 4;13} .
Bài 3. (1.5 điểm)
ìï 2 2xy- y + 2x + y = 10
( 1)
ï
Giải hệ phương trình: í
.
ïï 3y + 4 - 2y +1+ 2 2x - 1 = 3 ( 2)
ïỵ
1
Điều kiện: x ³ ; y³ 0 .
2
Ta có: ( 1) Û 2x - 1+ 2 y. 2x - 1+ y = 9 Û

Thay

2x - 1 = 3-

(

)

2

2x - 1+ y = 9

Û

2x - 1 + y = 3 (do

Û

2x - 1 = 3-

2x - 1 + y ³ 0 ).

y ( *) .

y vào ( 2) ta được:

2y +1+ 6- 2 y = 3 Û 2 y - 3y + 4 + 2y +1- 3= 0
éy- 4 = 0
( 3)
ê
2( y- 4)
y- 4
+
=0 Û ê
Û
1
2
.
ê
2 y + 3y + 4
2y +1+ 3

ê2 y + 3y + 4 + 2y +1+ 3 = 0 ( 4)
ê
ë
 Từ ( 3) suy ra y = 4 (thỏa), thay vào ( *) suy ra 2x- 1 = 1 Û x = 1 (thỏa).
1
 Nhận thấy VT( 4) > 0 với mọi x ³ ; y³ 0 Þ phương trình ( 4) vơ nghiệm.
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( x ; y) = ( 1;4) .
3y + 4 -

Bài 4. (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , D là điểm bất kì thuộc cạnh BC (
D khác
B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC .
Đường thẳng MN
cắt đường tròn ( O) tại P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BDP cắt AB tại I (khác B ). Các đường thẳng
DI và AC cắt nhau tại K .
a) Chứng minh 4 điểm A , I , P , K nằm trên một đường tròn.

GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 3


Đề thi TS 10

: 0905.884.951 – 0929.484.951

QA PD
=
.
QB PK
c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ).
Đường
thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trên
CD
đoạn BC thì tỉ
số
khơng đổi.
CE
·
·
a) Vì tứ giác APBC nội tiếp Þ PAC
+ PBC
= 180° ( 1) .
b) Chứng minh

·
·
Vì tứ giác BDIP nội tiếp Þ PID
+ PBC
= 180° ( 2) .
·
·
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra: PID
.

= PAC
·
·
·
·
Lại có: PID
+ PIK
= 180° ; PAC
+ PAK
= 180°
.
·
·
Do đó: PIK
; mà hai góc này cùng
= PAK
nhìn cạnh PK Þ tứ giác AIPK nội tiếp
hay 4 điểm A , I , P , K nằm trên 1
đường trịn.
·
·
·
·
b) Ta có: APK
.
= AIK
= BID
= BPD
 Xét D PBD và D PAK , ta có:
·

·
·
·
(cmt); APK
(cmt).
PBD
= PAK
= BPD
PB PD
Þ D PBD # D PAK (g – g) Þ
=
( 3)
PA PK
.
 Vì tứ giác APBQ nội tiếp, suy ra:
ìï PB MP
ïï
=
PB QB
PB QA
ïï QA MA
.
=1 ị
=
ị
( 4) .
ớ
ùù QB MB
QA PA
PA QB

=
ùù
ùợ PA MP
QA PD
=
.
QB PK
·
·
c)  Trên AB xác định điểm H sao cho APH
.
= KPI
·
·
Vì tứ giác AIPK nội tiếp, nên KPI
.
= BAC
·
Lại có A , P và BAC
khơng đổi nên H là điểm cố định.
KI
KP
 Dễ dàng chứng minh được D KPI # D APH (g – g) Þ
( 5) .
=
AH
AP
KP KD
=
( 6) .

Dễ dàng chứng minh được D PKD # D PAB (g – g) Þ
AP
AB
KD
KI
KD
AB
Þ
=
=
( 7) .
Từ ( 5) và ( 6) suy ra:
AB AH
KI
AH
CD KD
·
·
·
=
 Ta có: PGI
nên GI P AC hay IE P AC Þ
( 8) .
= PBI
= PCA
CE
KI
CD
AB
AB

CD
=
 Từ ( 7) và ( 8) suy ra
mà
không đổi nên
không đổi.
CE AH
AH
CE
Bài 5. (1.0 điểm)
Cho a , b là các số dương thỏa mãn a+ 2b³ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3
.
2
P=
ab
Từ ( 3) và ( 4) , suy ra:

GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 4


Đề thi TS 10

: 0905.884.951 – 0929.484.951

9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3
3a
9b 8b2
Ta có:
2
P=
= + a+ +
+ b2
ab
b
2
a
2
8b
4b.2b 4b( 3- a) 12b
Theo đề a+ 2b³ 3 Þ 2b³ 3- a Þ
=
=
=
- 4b .
a
a
a
a
3a
9b 8b2
3a
9b 12b
3a 12b 2 3b

Do đó: P = + a+ +
+ b2 ³
+ 3- 2b+ +
- 4b+ b2 = +
+b +3
b
2
a
b
2
a
b
a
2
2
3a 12b ổ
3ử
39
39 231
ữ
ỗ
.
2.
.
+ỗb- ữ
+ 12+ =
ữ
ỗ
b a ố 4ứ 16
16 16

ỡù a, b> 0
ïï
ï 3a 12b
3
=
Û a = 2b = .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ïí
ïï b
a
2
ïï
ïỵ a+ 2b = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

ỉ3 3ư
231
; ữ
khi ( a;b) = ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 4ứ
16

---------- CHC CC EM HỌC TỐT  ----------

GV: Lê Hồng Quốc

" Cần cù bù thông minh "

Trang 5