(SKKN HAY NHẤT) phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
BỐN CHO HỌC SINH LỚP 10"



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Tốn học. Có nhiều
phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử
dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán giải phương trình có thể áp dụng nhiều
cách giải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp
một cách hợp lí.
Bài tốn giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện
luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quá trình khảo sát hàm số… Và được
sử dụng nhiều trong q trình ơn tập, đặc biệt là trong q trình học THPT… Vì vậy học
sinh cần phải nắm được những kiến thức cơ bản về giải phương trình.
Trong chương trình tốn phổ thơng nói chung và chương trình Đại số 10 nói riêng
chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên các em học sinh mới gặp các
phương trình bậc bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương, phương trình quy
hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp
các phương trình bậc bốn khơng có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều
khơng giải được.
Khi giải các bài tốn giải phương trình bậc bốn địi hỏi học sinh phải biết vân dụng
các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng phức tạp
và dạng đơn giản một cách linh hoạt.

Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy lơgíc, khả năng tổng
hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng
nhất cũng như các kiến thức về bất đẳng thức.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Thơng qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lơgíc, khả năng tưởng tượng, phát huy
được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong q trình tìm tịi, tơi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết về vấn đề
phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tơi trình bày cịn khá mới mẻ và chưa được
tìm hiểu cụ thể. Sau đây tôi xin giới thiệu vài cách giải các phương trình bậc bốn dạng
(Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0).
Từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài “ Phân loại và phương pháp giải phương
trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Tốn”. Tơi xin
trình bày để các độc giả tham khảo.
2. Mục đích nghiên cứu
Thơng qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương pháp giải
phương trình bậc bốn. Từ đó nghiên cứu tìm tịi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng học
tập mơn tốn trong trường THPT, đặc biệt đạt kết quả cao trong các cuộc thi học sinh
giỏi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 10A1, 10A2, 10A3 THPT Đinh Chương Dương – Hậu Lộc.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc bốn, đưa ra các ví dụ
minh hoạ cụ thể, các dạng bài tập củng cố và rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
- Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải phương trình bậc bốn nhằm đưa
ra phương pháp giải và dạng tổng quát cho các dạng bài tập thường gặp làm tài liệu bổ

ích cho học sinh và giáo viên tham khảo và học tập.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu cách giải phương trình
bậc bốn dạng tổng quát

(Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0).

5. Phương pháp nghiên cứu
- Thơng qua q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân tơi đã tìm hiểu
và tích luỹ được.
- Thơng qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút ra kinh
nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bài tốn giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đề kiểm tra, các kỳ
thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài liệu nâng cao và nó cũng xuất hiện
rất nhiều trong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tạp chí tốn học hiện nay.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Kỹ năng giải phương trình bậc bốn của học sinh cịn nhiều hạn chế, chưa được rèn
luyện thường xuyên. Học sinh mới tiếp cận các phương trình bậc bốn dạng đơn giản, như
phương trình trùng phương, phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể
giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn khơng có dạng
đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được.
Các tài liệu viết về dạng tốn giải phương trình bậc bốn còn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều

vào người viết cũng như cách hướng dẫn học sinh. Do đó chưa có những phương pháp cụ
thể, rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Từ thực trạng như trên việc chọn chuyên đề “ Phân loại và phương pháp giải
phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập mơn Tốn”
là cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên cũng như
của học sinh.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Vấn đề nghiên cứu được trình bày thơng qua nội dung 3 bài:
Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 3: Cơng thức nghiệm của phương trình bậc bốn

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Để giải phương trình bậc bốn dạng:

(1). Ta có thể đưa phương

trình về dạng phương trình tích mà các nhân tử ở vế trái của phương trình là các đa thức
bậc nhất và bậc hai. Ta có thể dự đốn nghiệm của phương trình (1) bằng cách như sau:
- Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1.
- Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.
- Nếu a, b,c ,d ,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ

thì p, q theo thứ tự là ước của e

và a.
- Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm khơng có tác dụng ta có thể vận dụng kiến thức
phân tích đa thức thành nhân tử.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng:
khi đó ta được tích của hai tam thức bậc hai. Do đó việc giải
phương trình bậc bốn quy về việc giải phương trình bậc hai. Đây cũng chính là cách để
giải mọi phương trình bậc bốn.
Ví dụ1: Giải phương trình
(1)
Giải:
Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do đó phương trình (1) có nghiệm
. Khi đó phương trình (1) viết được dưới dạng:

Ta thấy

là nghiệm của phương trình

.

Do đó :

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}.

Ví dụ2: Giải phương trình

Ta thấy phương trình (1) không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Giải phương trình (2) ta được

Giải phương trình (3) vơ nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là
Ví dụ3: Giải phương trình
Ta thấy hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, đây là
phương trình đối xứng bậc bốn.
Chia cả hai vế cho

( khác khơng ) ta có:

Đặt



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta được phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm:

Như vậy với các Ví dụ 1, 2, 3 ta giải được phương trình nhờ các phép biến đổi sáng
tạo phương trình để dẫn tới việc giải phương trình tích, và phương trình quen thuộc.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: 2x4 - 6x3 - x2 + 12x - 10 = 0.
Bài 2: 2x4 - 6x2 - 8x - 6 = 0.
Bài 3: x3 – 2x2 + 6x – 12 = 6.
-------------------o0o------------------BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Dạng 1: Phương trình trùng phương
Giải phương trình:

(1)

Phương pháp:

 Bước 1: Đặt t = x2 với t

0.

Khi đó
Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)
Nếu (2) có nghiệm t0

0 thì (1) có nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải: Đặt x2 = t với t
Ta được:

0
có 2 nghiệm:

Kết hợp với điều kiện t

0 ta có: t1 = -1 không thoả mãn

Với t2 = 5 ta có:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
2. Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng

Phương pháp:
 Bước 1:
Nhận xét x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế của
phương trình cho x2
(1)

0 ta được:
(2)

 Bước 2:
Đặt



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Khi đó:

(3)

Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
 Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1).
*Chú ý:
- Trong trường hợp đặc biệt

tức là đối với những phương trình có dạng:

ta cũng có cách giải tương tự.
- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu khơng phải là phương trình hồi quy, tuy nhiên
với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi quy. Từ đó
áp dụng phương pháp đã biết để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải: Nhận thấy

do đó phương trình này là phương trình quy hồi

Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của phương
trình cho x ta có:

Đặt
Với



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Với
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = 2; x = 4
3. Dạng 3: Phương trình có dạng

Phương pháp:
 Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:

 Bước 2:

Khi đó ta có:
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
 Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải:

Đặt:

ta có phương trình:



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Phương trình này vơ nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
4. Dạng 4: Phương trình có dạng
Phương pháp:

 Bước 1:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
 Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phương trình
Giải:
Đặt

Đặt

Phương trình trở thành:

ta được phương trình:



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và đa dạng tuỳ
thuộc vào đặc thù mỗi bài tốn, phương pháp được trình bày ở trên chỉ minh hoạ được
một vài dạng thường gặp.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: a)
b)
c)
Bài 2: a)
b)
c)
Bài 3: a)
b)
c)
Bài 4: Cho phương trình
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1.
BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN


LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Sau đây ta sẽ tìm cơng thức nghiệm của phương trình bậc bốn

Trong đó a, b, c, d là các số thực.
Phương pháp:
Biến đổi đa thức về dạng

Tam thức trong dấu móc vng có dạng:
có thể viết dưới dạng
Khi và chỉ khi :

Đây là phương trình bậc ba đối với h nên có ít nhất một nghiệm thực. Khi đó:

Giải (3) và (4) để tìm tập nghiệm của phương trình.


LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ví dụ:

Giải phương trình

Giải: Dựa vào cơng thức (2) ta xác định được h:

Phương trình có 1 nghiệm là h = 5
Với h = 5, a = -1, b = -7, c = 1, d = 6 ta tính được:

Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -1, x= -2, x=1, x= 3
Như vậy với việc tìm ra số h từ cơng thức (2) ta có thể giải các phương trình bậc bốn
khơng có dạng đặc biệt như đã phân loại ở bài 1 và bài 2.
BÀI TẬP ÁP DỤNG



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Giải các phương trình sau:

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Những kết quả đạt được
Qua q trình tìm tịi nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân loại và phương
pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập
mơn Tốn” đã tác động tích cực đến học sinh. Phát huy được tính tích cực, sáng tạo tư
duy logic của các em. Học sinh không cảm thấy lung túng khi gặp các phương trình bậc
bốn khơng có dạng đặc biệt, từ đó các em các em thích thú hơn với bài tốn giải phương
trình, đặc biệt là phương trình bậc bốn.
Đối với bản thân, nhờ quá trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồng nghiệp, nghiên
cứu tích luỹ kinh nghiệm, tơi đã thường xuyên nâng cao chất lượng của chuyên đề nghiên
cứu thành một chuyên đề có hiệu quả và chất lượng.
* Thống kê kết quả lớp bồi dưỡng



LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Như vậy rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả học tập của học sinh có sự
tiến bộ rõ rệt.
II. Bài học kinh nghiệm
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy do đối tượng học sinh trong một lớp không đồng
đều về mức độ nhân thức nên giáo viên nên đưa ra các dạng đi từ dễ đến khó, kết hợp ơn
tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh.
Nội dung kiến thức về đề tài là kiến thức mở do đó giáo viên nên đưa vào cuối các
giờ luyện tập, hoặc buổi học phụ đạo bồi dưỡng.
Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức
cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh những kĩ năng làm bài tập cho học sinh.
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, mỗi giờ học chỉ nên giới thiệu một dạng
toán, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả đạt được

không cao.
III. Những kiến nghị và đề xuất
Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách tham khảo và các bài
toán nâng cao trên các tạp chí của bộ mơn tốn.


LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi trên nhiều kênh thông
tin, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân. Thường xuyên
quan tâm đến việc giải các bài tập theo các dạng ở trên.
Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những cách giải
mới, các lời giải hay. Biết khắc sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp nhằm đưa về
dạng tổng quát hoá.
Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tập các lớp nâng cao
trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ
trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá trị, đúng trọng tâm
để giáo viên có tài liệu tham khảo.
Đề tài này đã được các đồng nghiệp góp ý bổ sung, nhưng chắc chắn khơng tránh khỏi
thiếu sót. Trong pham vi khn khổ, đề tài cịn ít ví dụ minh hoạ cũng như chưa đi hết
các cách giải. Tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến cũng như các nhận xét của tất
cả các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa nhưng chỗ sai, những chỗ cịn
thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chun đề thiết
thực và có hiệu quả cao.
Tơi xin chân thành cảm ơn!



LUAN VAN CHAT LUONG download : add

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006
[2]. Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006
[3]. Phạm Văn Điều, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB
ĐHQGHN, 2000.
[4]. Thiết kế bài giảng tốn bậc THCS.
[5]. Tạp chí tốn học tuổi trẻ.



LUAN VAN CHAT LUONG download : add