(SKKN HAY NHẤT) phương pháp giải toán xác suất lớp 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11"

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến
chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất
học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng đồng thời phải
biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn vào những tình huống cụ
thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình cơ bản mơn
Tốn tơi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không
gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết
giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử
dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống
cụ thể.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc
thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các
bài tốn đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài tốn xác suất học
sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em
đã làm xong vẫn băn khoăn cũng khơng dám chắc mình đã làm đúng.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về
xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết
nhiều tình huống khác nhau, tơi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài tốn xác suất lớp
11”.
Đề tài của tôi gồm 3 phần:
Phần I: Lời nói đầu

Phần II: Nội dung
A: Cơ sở lý thuyết
B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11
C: Một số bài tập tham khảo
Phần III: Kết luận
2. Mục đích yêu cầu
Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng
thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn vào những tình
huống cụ thể.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các
bài toán xác suất.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình
SGK cơ bản và nâng cao mơn tốn lớp 11.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu.
a) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất
b) Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tình huống
cụ thể.
5.Phương pháp nghiên cứu
a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán ở những lớp trước.
Phần II: NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1) Biến cố và phép thử biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được
kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
khơng gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  .
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh
đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử ln có hai biến cố đặc biệt:
- Tập  được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
 Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết
quả của phép thử là đồng khả năng.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


+ Tập
chỉ khi

\ A

được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và

xảy ra khi và

không xảy ra.

+Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập
được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là
A.B.
+ Nếu

thì ta nói

+ Hai biến cố

và

và

là xung khắc.

được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

2) Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả
đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
Vậy

P( A) 

n( A)
n()

là xác suất của biến cố , kí hiệu là P(A).

n( A)
n ( )

3) Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
 P(  ) = 0
 P(  ) = 1
 0  P (A)  1 với mọi biến cố A.
 P ( A ) = 1- P(A)
b) Quy tắc cộng xác suất
 Nếu A và B xung khắc thì: P ( A  B )  P ( A)  P ( B)
 Nếu A  B =  thì P ( A  B )  P ( A)  P ( B)
 Với mọi biến cố

và

bất kì ta có:

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A.B)

c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P ( A.B )  P ( A).P ( B )

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
B1. Dạng 1: Các bài tốn tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển
của xác suất. Xác suất của biến cố A là: P( A) 

n( A)
n()

Bài toán 1.
Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6
thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các
điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Phân tích:
Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của một
lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng có thể tạo ra được C62 = 15 đoạn thẳng.
Do đó nếu gọi:
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là
cạnh của lục giác”
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là
đường chéo của lục giác”
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là
đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”.
Và ta có

n() =

n(A) = 6

 P(A)

B= A

 P(B)

15,
=

n( A)
= 6 2
n() 15 5

= 1 – P(A) = 1 -

2 3

5 5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


n (C )  3  P(C) =

n (C ) 3 1
 
n() 15 5

Bài toán 2.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng
ngang. Tìm xác suất sao cho.
Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

a)
b)
Phân tích:

Đây tuy là một bài tốn xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài tốn đếm trong
tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:
(1)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang
( Đáp số:
cách).
(2)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau.
( Đáp số:
cách).
(3)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
( Đáp số: 4.
cách)
Như vậy bài toán trên được giải như sau:
Lời giải:
Gọi

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng

ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”
Và

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng

ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”
Ta có n(  ) = 720, n(A) = 72, n(B) = 144
Suy ra P(A) =

72
1
n( A)
 ,
=
n() 720 10

P(B) =

n( B) 144 1

=
n() 720 5

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài tốn sử dụng cơng thức và kĩ
thuật của tốn tổ hợp. Đối với các bài tốn như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững
công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bên cạnh đó, có những bài tốn chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài toán 3.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất
hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Hướng dẫn học sinh:
Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
Không gian mẫu:

(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) 
(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) 




...................................................
(6,1), (6, 2), (6, 3),..............(6, 6) 

gồm 6.6=36 phần tử

Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
Tập  A các kết quả thuận lợi của A :
 A  (2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4) suy ra  A  5

Xác suất của A: P( A) 

5
36

Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố
là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử
Bài toán 4. ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013)
Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một số từ S,
tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Lời giải : Gọi A là biến cố ” Số được chọn là số chẵn”
Số phần tử của S là A73 = 210

 n ( ) 

210

Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách
Xác suất cần tính là P =

 n( A) 

90

90 3

210 7

Phân tích: Trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử
của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân
Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :
Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp
thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính
xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải :

Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8
Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12
Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P =

8  12 10

42
21

Bài toán 6.
Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36.
Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi
quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần
quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2.
Phân tích: Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp
liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập
hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính tốn.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 24 cách chọn j ( từ 13 đến 36 có 24 số)
do đó theo quy tắc nhân: n(A) = 6.24 = 144
khi đó P(A) =

n( A)
= 144 = 1
n() 1296 9

Bài toán 7.
Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất

hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mơ tả khơng gian mẫu.
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng khơng biết cách xác
định khơng gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài
toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh
bằng các câu hỏi như:
o Nếu khơng có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh khơng thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo
100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại
nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học
sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được
không gian mẫu.
Lời giải:
a) Không gian mẫu



=  N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS 

b) Ta có: A =  N , SN , SSN  , n(A) =3
B

SSSSN  , n(B) = 1  P(B) =

C = SSSSSN , SSSSSS  , n(C) = 2

 P(A)

=

3
7

1
7

 P(C)

=

2
7

Bài toán 8. Một người say rượu bước bốn bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước
nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau. Tính xác suất để sau bốn
bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát.
Hướng dẫn :
Anh ta trở lại điểm xuất phát khi và chỉ khi trong 4 bước, anh ta có 2 lần bước
tiến ( T) và 2 lần bước lùi ( L). Dễ thấy có 6 trường hợp để trong 4 bước có 2 tiến, 2

lùi là :
T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T,
L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L .
Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là
1 1 1 1
. . . = 1.
2 2 2 2 16

Khi đó xác suất cần tìm là P =

1
, nên
2
6 3
 .
16 8

mỗi trường hợp có xác suất là

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


B2. Dạng 2: Biến cố đối
Trong tốn học, có những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất dài dịng và phức tạp. Khi
đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp
sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy
Bài toán 9.
Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

Phân tích:
Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện
mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện
mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:

Suy ra P( A) 

n( A) 7
= .
n() 8

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý
rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”.
Do đó bài tốn này sẽ được giải như sau:
Lời giải:
Không gian mẫu
a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
Và ta có A = SSS



n( A ) = 1



P( A ) = 1 . Vậy P(A) =
8

b) Tương tự ta có: B = SSS , NNN   n( B ) = 2

 P( B )

=

7
8
1
4

suy ra P(B) = 3
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài toán 10.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một
chấm”
b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là
một số nhỏ hơn 11”
Phân tích: Đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương
pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp
o Đối với biến cố A
 Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất
 Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai
 Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm

trong cả hai khả năng trên)
o Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức
là có 10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10
Lời giải:
Khơng gian mẫu
Ta có biến cố đối

a) Ta có:

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên đểvận dụng được
phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
o Nhận dạng loại tốn: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn
hơn thì ta dùng biến cố đối
o Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài toán 11 . Chon ngẫu nhiên 3 người biết rằng khơng có ai sinh vào năm nhuận. Hãy
tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau
( cùng ngày, cùng tháng).
Hướng dẫn :
Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đơi một khác nhau”.
Số trường hợp có thể là 3653. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363
Vậy P = 1-

365.364.363
 1  0,9918  0, 0082

3653

Bài toán vận dụng
Bài toán 12. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi
vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn khơng
có đủ 3 màu.
Lời giải: Số kết quả có thể là:  = C154 = 1365.
Gọi A là biến cố “4viên bi lấy được có đủ 3 màu”, khi đó các kết quả thuận lợi cho
biến cố A là :  A = C41 .C51.C62  C41.C52 .C61  C42 .C51.C61 = 720
Ta có A là biến cố “ 4 viên bi lấy ra khơng có đủ 3 màu”
Do đó xác suất cần tìm là P( A ) = 1 – P(A) = 1-

720
= 43 .
1365 91

B3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Bài tốn 13.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Phân tích:
a) Đối với bài tốn này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử của
biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất nhiên là cách
giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh khá hơn thì sử dụng
tính tốn để đếm số phần tử như sau:
Ta có
Chọn

là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Do đó

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


, với mỗi cách chọn ta có 3 cách chọn . Do đó có 9 cách

Có 3 cách chọn
chọn

Tơi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài tốn này có thể được giải
quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho nên giáo viên có thể
gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng này như sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Thấy rằng

và

là hai biến cố độc lập và

3 1

6 2

(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Do vậy ta có:

b) Gọi

là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
mặt lẻ.
 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
chẵn.
 Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có

“Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai

con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.
Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.
Ta có

và ,

độc lập nên ta có:

Và do đó P(Y) = 1- P( Y ) = 1-

1 3

4 4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Nhận xét: Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử dụng được quy
tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố thường độc lập
trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà chỉ đưa ra một số
trường hợp quen thuộc
*)Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong
lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con súc
sắc.
*) Hai xạ thủ bắn súng thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh
hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố
liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát súng
*) Có hai cái hịm đựng bóng. Lấy từ mỗi hịm ra một quả bóng thì biến cố
lấy ra bóng của hịm này sẽ độc lập với biến cố lấy bóng ra ở hịm kia. Tương tự đối
với bài toán lấy bi, lấy cầu...
Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì và ; và B; A và cũng độc lập Cũng giống
như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến cố xảy ra khả năng
này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác suất. Còn với biến cố thực hiện
lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân
Bài tốn14.
Trong hịm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu
nhiên 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng nghĩa là khơng cóchi tiết
nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài tốn này khơng thể giải theo dạng 1 mà phải
sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài tốn dùng quy tắc cộng xác suất
Lời giải
Gọi

là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết nào hỏng”
là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có khơng q 1 chi tiết hỏng”

Khi đó

. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên P(A) = P(A1) + P(A2)

Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là

C106  N ()  C106

= 210

Có 8 chi tiết không bị hỏng nên n( A1 )  C86 = 28
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C85
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là C21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Theo quy tắc nhân ta có n( A2 )  C85C21 = 112
Do vậy ta có: P( A1 ) 

2
n( A1 )
= 28  2  P(A) = P(A1) +P(A2) = 2  8 =
3
n ( )
210 15
15 15

Bài toán 15.

Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu
xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1
quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài tốn này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài dòng và
phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc giải quyết bài
tốn trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi:
A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”
X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”
Ta có

,

Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) =

7 3
. = 7
12 5 20

b) Gọi:
Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có

. Mặt khác

Thấy rằng

và

độc lập nên

nên

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài tốn
ln tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua
các biến cố này). Chúng ta để ý các xác suất sau:
o Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì
 Xác suất xuất hiện mặt sấp là

1
2

 Xác suất xuất hiện mặt ngửa là

1
2

o Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì
 Xác suất xuất hiện từng mặt là

1
6

 Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn:
 Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ:

1
2

1
2

 Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3:

1
2

Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài tốn ta sẽ tính được
xác suất này. Và cũng có nhiều bài tốn cho trực tiếp xác st. Bài tốn sau là một ví
dụ
Bài tốn 16.
Có 2 lơ hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được
sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là
. Hãy tính xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép tốn
tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ
nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
“Lấy được sản phẩm tốt từ lơ hàng thứ hai”

Khi đó ta có: P(A) = 0,7
P(B) = 0,8

 P ( A)

 P( B)

= 1 – 0,7 = 0,3

= 1 – 0,8 = 0,2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có

a) Gọi

chất lượng tốt”. Suy ra
Do ba biến cố

là độc lập nên ta có

là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có

b) Gọi

chất lượng tốt”. Suy ra
xung khắc và biến cố

Do

và B; A và

độc lập nên ta có

Bài tốn 17.
Một phịng được lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, một hệ
thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm
thấy rằng xác suất chng báo khói là
, chng báo lửa là
và cả 2 chng báo
là

. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chng sẽ báo.

Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chng báo khói báo hoả hoạn hoặc chng
báo lửa báo lửa sẽ báo hỏa hoạn. Do đó bài tốn này chắc chắn là dùng quy tắc cộng.
Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lại không xung khắc. Trong trường hợp này ta phải sử
dụng quy tắc cộng mở rộng
Lời giải
là biến cố “Chng báo khi thấy khói”

Gọi

là biến cố “Chng báo khi thấy lửa”
là biến cố “Ít nhất một trong hai chơng báo khi hỏa hoạn”

Theo giả thiết bài tốn ta có
Do đó ta có:

B4.Luyện tập chung:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài 18. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai
số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.
Hướng dẫn :
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai thẻ
được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn”
là: C  A  B .
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên
5 thẻ lẻ nên ta có:

P( A) 

P(C )  P( A  B)  P( A)  P( B) .

C51C41 20
C42
6
.

;
P
(
B

)


2
2
C9
36
C9 36

Vậy

Vì có 4 thẻ chẵn và

P (C )  P ( A  B ) 

20 6 13


36 36 18

Bài 19 . Trên giá sách có 4 quyển sách Tốn, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa.
lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho:
a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau
b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Tốn
c) Ít nhất một quyển sách Tốn
Hướng dẫn : Khơng gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 9 quyển sách nên
n()  C93  84 . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng câu a), b), c)
a) Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại
sách một quyển).
Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 và

P( A) 

2
7

b) Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên n( B )  C43  P ( B) 
c) Gọi

C

1
21

là biến cố: “Trong ba quyển khơng có quyển sách Tốn nào”, ta

có: n(C )  C53  10 , và

P (C )  1  P (C )  1 

10 37

84 42

Bài tốn 20: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn ngẫu
nhiên 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai
trong 3 lớp.
8
Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm C19 phần tử
8

Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó  A  C8  1
8
Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc B khi đó  B  C14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


8
Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc C khi đó  C  C13
8
Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C, hoặc B khi đó  B  C11

A,B,C,D là các biến cố xung khắc A  B  C  D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc
vào không quá hai trong 3 lớp .
Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:
P( A  B  C  D)  P( A)  P( B)  P(C)  P( D) 


1 C148 C138 C118



C198 C198 C198 C198

Giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi
của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các
biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính
xác suất của biến cố A.
Bài toán 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong
7

. Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B
10
9
trong một lần bắn là . Tính xác suất để mục tiêu khơng trúng đạn
10

một lần bắn là

Hướng dẫn học sinh:
Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì
Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì
A  A1  A2

P( A1 ) 

P( A2 ) 

3
10

3
.
10

A1, A2 là độc lập

là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn

3
P( A)  P( A1 ).P( A2 )  ( ) 2

10

B  B1  B2  B3

là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn

1
P( B)  P( B1 ).P( B2 ) P( B3 )  ( )3 .
10

A, B là

độc lập
A B

là biến cố mục tiêu không trúng đạn

32
P( A  B )  P( A).P( B)  5
10

 Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả thuận
lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có
thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , ..., An độc lập tương ứng. Sau đó
sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài tốn 22: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp

học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học khơng đủ ánh
sáng.
Hướng dẫn học sinh:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
4
Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của C6 biến cố con,

P ( A1 )  C64 .0, 75 4.0, 252
5
Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của C6 biến cố
con, P ( A2 )  C65 .0, 755.0, 251

Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng P ( A3 )  C66 .0, 756
A  A1  A2  A3

là biến cố lớp học đủ ánh sáng

A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng
P ( A)  1  P ( A)  0,8305

Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008,
xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vịng dưới 8 là 0,4.
Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
1
Hướng dẫn: Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của C3 biến cố
con, P ( A1 )  C31.0, 2.0, 252
1
Gọi A2 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A2 là biến cố hợp của C3 biến cố con,

P ( A2 )  C31 .0, 2 2.0, 25

1
Gọi A3 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A3 là biến cố hợp của C3 biến cố con,

P ( A3 )  C31 .0, 2 2.0,15

Gọi A4 là biến cố 3 viên 10, P ( A4 )  0, 008
A  A1  A2  A3  A4

là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy

P( A)  0, 0935

Bài toán 24. Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp X = 1, 2,3...11
a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
b) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ.
Hướng dẫn: Số kết quả có thể là

C113

=165

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


a)Các bộ ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 là ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7),
( 1, 5 , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5). Vậy P =

7
.
165

b)Tổng a + b + c là lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc trong
ba số có 1 số lẻ và 2 số chẵn. Ta có
số lẻ và 2 số chẵn. Vậy P =

C63 =20
20  60 16
 .
165
33

cách chọn 3 số lẻ và

C61.C52 =

60 cách chọn 1

C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1/ Từ cỗ bài 52 con, rút ngẫu nhiên 3 con. Tính xác suất để
a/ Có ít nhất một con át
b/ Có đúng một con K
c/ Cả 3 con có số khác nhau đều thuộc tập hợp {2,3,…10}
2/ Trong một chiếc hộp có 5 bóng trắng, 6 bóng xanh, 7 bóng đỏ lấy ngẫu nhiên
4 quả bóng. Tìm xác suất để có 4 quả bóng có đủ 3 mầu.
3/Gieo ngầu nhiên con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần: Tính xác suất của các
biến cố:
a/ A: “ Có ít nhất một mặt lẻ”
b/ B: “ Có một mặt chẵn và một mặt lẻ”
c/ C: “ Tổng số chấm hai mặt là một số chẵn”
4/ Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần, tính xác suất để:

a/ Có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm
b/ Tổng các số chấm trên 3 mặt là số lẻ
5/ Trong một hộp có 10 chiếc thẻ được đánh số 0,1,2,….9. Lấy ngầu nhiên liên
tiếp 4 thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải tìm xác suất để 4 thẻ xếp
thành 1 số tự nhiên sao cho trong đó chỉ một chữ số 1
6/ Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở
cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1, còn mỗi động cơ ở cánh
trái có xác suất hỏng là 0,05. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Tính xác suất
để máy bay thực hiện chuyến bau an toàn trong các trường hợp sau:
a/ Máy bay bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc
b/ Máy bay bay được nếu có ít nhất mỗi động cơ trên mỗi cánh làm việc

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


7/ Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó chỉ
có một câu đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm
.Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú hoạ một câu trả lời. Tính xác suất để:
a/ Học sinh đó được 13 điểm
b/ Học sinh đó được điểm âm
8/ Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bong xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học
có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 5 bóng đèn. Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng
9/ Một đồn tầu có 4 toa đỗ ở một sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tầu, mỗi
người độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1
toa có một người và2 toa cịn lại khơng có ai.
10/ Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 chọn ngầu nhiên ra 10 tấm thẻ tính xác
suất để:
a/ Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn
b/ Có đúng 5 số chia hết cho 3
c/ Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ một tấm thẻ

mang số chia hết cho 10.
11/ Từ một hộp có 7 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả.
Tính xác suất của các biến cố:
a) A: “Trong 5 quả lấy ra có cả hai mầu”
b) B: “Trong 5 quả lấy ra có ít nhất 2 quả màu đỏ”
12/ Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là ; trúng điểm 9 là
; trúng điểm 8 là

và ít hơn điểm 8 là

. Xạ thủ ấy bắn một viên đạn. Tìm

xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


KẾT LUẬN
Các bước thực hiện đề tài:
Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến
cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các quy tắc cộng và quy tắc nhân
xác suất
Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài toán
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài tập bổ
sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán.
Kết quả sau khi thực hiện đề tài:
Trên đây là một vài phương pháp giải các bài tốn xác xuất mà tơi đã nghiên cứu
và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11A1, tại trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.
Trước khi dạy các phương pháp trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra,
kết quả như sau:

Điểm

Điểm dưới 5 Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

37%

10,5%

0%

Lớp
11A1

52,5%

Sau khi giảng dạy các phương pháp này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả như
sau:
Điểm

Điểm dưới 5 Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

4%

50 %

28%

Lớp
11A7

18 %

Đây là một kết quả đáng mừng, thể hiện rằng học sinh đã tự tin hơn và giải quyết các
bài toán xác suất tốt hơn.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


4. Giải pháp đề nghị :
Bài toán xác suất mới được đưa vào chương trình tốn lớp 11 THPT , hầu hết
học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh nắm vững
các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến
thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tơi xin nêu một số giải pháp đề nghị
sau:
1. Hệ thống hóa khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp
các kết quả thuận lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển , giải thích thơng qua
các ví dụ từ mơ hình cụ thể đến các mơ hình trừu tượng. Sau đó hướng dẫn học sinh
Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dông công thức xác suất cổ điển .
2. Nêu các quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng các quy tắc này
để tính xác suất trong một số ví dụ điển hình, từ đó giúp học sinh rút ra nhận xét về
cách sử dụng các quy tắc này một cách linh hoạt hợp lí trong từng trường hợp cụ thể.

3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài
tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài
tốn.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tơi qua q trình giảng dạy các bài tốn xác suất
ở lớp 11 THPT. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học
sinh. Xin chân thành cảm ơn.
Đề tài tơi trình bày ở trên là ý tưởng hình thành trong quá trình giảng dạy và trải
nghiệm thực tế qua kết quả học tập của học sinh, tôi cam đoan là sáng kiến kinh
nghiệm này do cá nhân tự nghiên cứu. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
Ân thi ngày 3 tháng 4 năm 2014
Tác giả

Vũ Thị Hương Lan

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG
THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN
CHỦ TỊCH
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán lớp 11- Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Đề thi Đại học các năm – Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số và giải tích 11- NXB Giáo dục –
Tác giả Nguyễn Xuân Liêm và Đặng Hùng Thắng.
4. Xác suất thống kê – NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Tác giả Đào Hữu Hồ .
5. Chuyên đề toán Tổ hợp – Thống kê – Xác suất- Số phức. NXB Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh. Tác giả: PGS – TS Nguyễn Văn Lộc.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add