Tích phân hàm một biến doc

6.1. Tích phân bất định
6.2. Tích phân xác định
6.4. Tích phân suy rộng
NỘI DUNG
6.3. Một số ứng dụng hình học của
tích phân xác định
6.1. Tích phân bất định
6.1.1. Khái niệm
6.1.2. Các phương pháp tính
6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ
6.1.4. Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ
6.1.1. Khái niệm.
1. Định nghĩa tích phân bất định
2. Bảng các tích phân cơ bản
3. Các tính chất của tích phân bất định
6.1.2. Các phương pháp tính TPBĐ
1. Phương pháp đổi biến số.
2. Phương pháp tích phân từng phần
1. Phương pháp đổi biến số.
a. Ph¬ng ph¸p ®Æt x =
ϕ
(t):
Ví dụ:
Tính:
∫
−
dxx
2
1
∫

−
dxxa
22
∫
+
22
1 xx
dx
Đặt x = sint
Đặt x = asint
Đặt x = tgt
ϕ
(t) là hàm liên tục,
có đạo hàm liên tục,
có hàm số ngược.
b. Phương pháp đặt u = u(x):
u(x) là hàm liên tục,
có đạo hàm liên tục.
Ví dụ:
Tính:
∫
++
3
11 x
dx
3
1
+
x
Đặt u =

∫
+
x
x
e
dxe
2
Đặt u = 2+ e
x
∫
xx
dx
ln
Đặt u = lnx
2. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàm
u’(x), v’(x) liên tục thì:
∫ ∫
−=
vduuvudv
* Các dạng tích phân từng phần thường gặp:
•
Dạng:
dx
ax
ax
e
xP
ax
n

∫










cos
sin)(
Đặt u = P
n
(x)
Ví dụ:
Tính:
∫
xdxx cos
2
∫
+
dxex
x2
)32(
Đặt u = 2x +3
dv = e
2x
dx

Đặt u = x
2
dv = cosx dx
•
Dạng:
dx
arctgx
x
x
x
xP
n
∫














arccos
arcsin
ln

)(














=
arctgx
x
x
x
u
arccos
arcsin
ln
Đặt
Ví dụ:
Tính:
∫
xdxx ln
2

∫
xdxxarcsin
x.arctg xdx
∫
Đặt u = lnx
dv = x
2
dx
Đặt u = arcsinx
dv = xdx
Đặt u = arctgx
dv = xdx
•
Dạng:
dx
bx
bx
e
ax
∫






cos
sin
Đặt u = e
ax

Ví dụ:
Tính:
∫
xdxe
x
cos
Đặt u = e
x

dv = cosxdx
6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ.
1. Các định nghĩa. (Xem giáo trình)
2. Phân tích 1 phân thức hữu tỉ thực sự thành những phân
thức đơn giản. (Xem giáo trình)
3. Tích phân các phân thức hữu tỉ.
* Tích phân các phân thức đơn giản:
dx 1
ln ax b C , a 0.
ax b a
= + + ≠
+
∫
( )
k
k 1
dx 1 1
C , k 1 , a 0.
1 k a(ax b)
ax b
−

= + ≠ ≠
− +
+
∫
( )
2
Ax B dx
x bx c
+
+ +
∫
)04(
2
<−=∆
acb
Đặt t = x +b/2
∫
++
+
k
cbxx
BAx
)(
2
)04,2(
2
<−=∆≥
acbk
Đặt t = x + b/2
* Để tính tích phân các hàm hữu tỉ thực sự, ta phân tích nó

thành tổng của các phân thức đơn giản, rồi tính tích phân.
6.1.4. Tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ
* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách
đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức
hữu tỉ.
a. Dạng
(với R(sinx,cosx) là biểu thức
hữu tỉ của sinx và cosx)
∫
dxxxR )cos,(sin
Đặt t = tg(x/2)
Ví dụ:
Tính:
∫
+− xx
dx
22
sin5cos34
1. Tích phân hàm lượng giác
Đặt biệt:
Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = cosx
Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = sinx
Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), Đặt t = tgx hoặc
t =cotgx
Ví dụ:
Tính:
∫
x2cosxsin
dx
∫

xdxcosxsin
32
∫
xcosxsin
dx
24
Đặt t = cosx
Đặt t = sinx
Đặt t = tgx
b. Dạng
∫
∈ ),(cossin Zmndxx
mn
Áp dụng trường hợp đặc biệt trên:
- Nếu n hoặc m là số lẻ thì đổi biến t = cosx hoặc t = sinx
- Nếu n và m là hai số chẵn và dương thì dùng CT hạ bậc.
-
Nếu n và m là hai số chẵn và có 1 số âm thì đổi biến
t = tgx hoặc t = cotgx
Ví dụ:
Tính:
∫
xdx
23
cossin
Đặt t = cosx
∫
dx
x
x

4
2
cos
sin
Đặt t = tgx
∫ ∫ ∫
bxdxsinaxcos,bxdxsinaxsin,bxdxcosaxcos
c. Dạng
Biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành tổng
d. Dạng
∫
xdxsin
n
∫
xdx
n
cos,
Dùng công thức hạ bậc
2. Tích phân hàm vô tỉ.
a. Dạng
dx
dcx
bax
dcx
bax
xR
s
r
n
m

])(, ,)(,[
+
+
+
+
∫
trong đó, a, b, c, d là những hằng số thoả mãn điều kiện
ad – bc ≠ 0, m, n, , r là những số nguyên.
dcx
bax
t
k
+
+
=
Đặt
(k là mẫu số chung của m/n,…, r/s)
Ví dụ:
Tính:
3
1
dx
x x+
∫
Đặt t
6
= x
∫
−
4

3
2
xx
dxx
Đặt t
12
= x
dx)cbxax(,x(R
2
∫
++
b. Dạng
đưa về 1 trong 3 dạng sau:Bằng cách đổi biến: u = x + b/2a
∫
−
duuauR ),(
22
•

, đặt u = asint
•

∫
+
duuauR ),(
22
, đặt u = a tgt
•

∫

−
duauuR ),(
22
, đặt u = a/cost
Ví dụ:
Tính:
∫
+++
22)1(
22
xxx
dx
∫
++
32
)74( xx
dx
Đặt u = x + 1
Đặt u = x + 2