.KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN pdf

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP
ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2011
MÔN: TOÁN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
3
3 3
( 1)(2 2 1 3 6) 2 6
2 ( ) 2 0
x y x y
x y xy x y y x

− − + + = +


− − + − + =


Câu 2 (5 điểm)
Cho dãy số (
n
x
) xác định bởi:
1
2 *
1
4
2,
n n
x

x x n
+
=


= − ∀ ∈Ν

Tìm
1
1 2
lim

n
n
x
x x x
+
Câu 3 (5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD.
a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuông góc
với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của a và BC, b và
CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt là tâm
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác I thì OI
vuông góc với CD.
Câu 4 (3 điểm)
Cho 2 số nguyên dương m, n thoả mãn m
>
n và m
+

n là số chẵn. Chứng minh
rằng các nghiệm của phương trình:
2 2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1) 0x m m x n n− − + − − − + =
đều là các số
nguyên nhưng không là số chính phương.

Câu 5 (3 điểm)
Trong mặt phẳng cho 26 điểm đôi một phân biệt nằm trong một tam giác đều
cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong số 26 điểm đã cho tồn tại 2 điểm mà khoảng
cách giữa chúng không lớn hơn 0,2.
HẾT
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Họ tên, chữ kí giám thị số 1: Họ tên, chữ ký giám thị số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC