ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017-2018
Bài 1. (8 điểm)
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
571999
931999
a)
b)
1999
A = 999993 − 5555571997
2. Cho
Chứng minh rằng A chia hết cho 5
a
( a < b)
b
m
3. Cho phân số
cùng thêm đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới
a
?
b
lớn hơn hay bé hơn
155 * 710 * 4 *16
*
4. Cho số
có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu
bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số
1,2,3
một cách tùy ý thì số đó ln
chia hết cho 396.
5. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
1
1 1
a) − + − +
−
<
2 4 8 16 32 64 3
1 2 3 4
99 100 3
b) − 2 + 2 − 4 + ...... + 99 − 100 <
3 3 3 3
3
3
16
Bài 2. (2 điểm)
Trên tia
Ox,
xác định các điểm A và B sao cho
a) Tính độ dài đoạn thẳng
AB,
biết
b
OA = a (cm), OB = b(cm)
b) Xác định điểm
M
trên tia
Ox
OM =
sao cho
1
( a + b)
2
ĐÁP ÁN
Bài 1.
71999 = ( 7 4 )
499
.73 = 2401499.343 ⇒
1. a) Ta có:
571999
Vậy số
có chữ số tận cùng là 3
b)
31999 = ( 34 )
499
nên chữ số tận cùng là 3
.33 = 81499.27
nên có chữ số tận cùng là 7
2. Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc
xét chữ số tận cùng của từng số hạng
Theo câu 1b,
9999931999
có chữ số tận cùng là 7
(7 )
4 499
.7 = 2401499.7
Tương tự câu 1a, ta có:
có chữ số tận cùng là 7
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, nên A chia hết cho 5
a < b ⇒ am < bm
3. Theo bài toán cho
⇒ ab + am < ab + bm
⇒ a ( b + m) < b ( a + m)
⇒
a a+m
<
b b+m
4. Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở
hàng chẵn và vì ba chữ số đơi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng
1+ 2 + 3 = 6
Mặt khác:
396 = 4.9.11
trong đó 4;9;11 đơi một ngun tố cùng nhau nên cần
A = 155* 710 * 4 *16
chứng minh
chia hết cho 4, 9, 11
Thật vậy:
AM4
Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên
AM
9
vì tổng các chữ số chia hết cho 9
AM
11
vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là
0, chia hết cho 11
Vậy
AM
396
A=
5. a) Đặt
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
− + − +
−
= − + − + −
2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26
1 1 1 1 1
+ − + −
2 2 2 23 2 4 2 5
1 26 − 1
⇒ 2 A + A = 3A = 1 − 6 = 6 < 1
2
2
1
⇒ 3A < 1 ⇒ A <
3
⇒ 2A =1−
b) Đặt
⇒ 3A = 1 −
1 2 3 4
99 100
A = − 2 + 3 − 4 + ..... + 99 − 100
3 3 3 3
3
3
2 3 3 3
99 100
− 2 + 3 − 4 + ...... + 98 − 99
3 3 3 3
3
3
1 1 1
1
1 100
⇒ 4 A = 1 − + 2 − 3 + ...... + 98 − 99 − 100
3 3 3
3
3
3
1 1 1
1
1
⇒ 4 A < 1 − + 2 − 3 + ...... + 98 − 99
(1)
3 3 3
3
3
Đặt
1 1 1
1
1
1 1
1
1
B = 1 − + 2 − 3 + ..... + 98 − 99 ⇒ 3B = 2 + − 2 + .... + 97 − 98
3 3 3
3
3
3 3
3
3
4 B = B + 3B = 3 −
1
3
<
3
⇒
B
<
(2)
399
4
⇒ 4A < B <
Từ (1) và (2)
Bài 2.
3
3
⇒ A<
4
16
a) Vì
OB < OA ( b < a )
Do đó:
Ox
nên trên tia
thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A
OB + BA = OA ⇒ AB = a − b
Ox, OM =
1
( a + b)
2
b) Vì M nằm trên tia
1
a + b 2b + a − b
a−b
OA − OB
1
OM = ( a + b ) =
=
=b+
= OB +
= OB + AB
2
2
2
2
2
2
⇒M
chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho
AM = MB