216 đề HSG toán 6 việt yên 2019 2020

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN THI: Tốn 6

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (4 điểm) Tính:
a) A = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ..... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016
b) B =

2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20
3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30

Câu 2. (6 điểm)

a) So sánh

b) Tìm

x

102014 + 2016
A = 2015
10 + 2016

biết:

102015 + 2016

B = 2016
10 + 2016

và
1
1
1
119
 1

+
+
+ ..... +

÷.x =
7.8.9.10 
720
 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6

p
c) Chứng minh rằng: nếu
nguyên tố
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên

n

và

p2 + 2

để phân số

là các số nguyên tố thì

2n + 1
n+2

p3 + 2

cũng là số

là phân số rút gọn được
THCS ,
b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường
tổng số học sinh giỏi của
2
1
6 A,6 B,6C
5
3
ba lớp
là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng
1
2
số học sinh giỏi của lớp 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số
học sinh giỏi mỗi lớp.
Câu 4. (4 điểm)
·ACB = 600 , AB = 6cm.
ABC

Cho tam giác
có
Trên cạnh AB lấy điểm D(D
A, B), sao
AD = 2cm
khác
cho
BD
a) Tính độ dài đoạn thẳng


·
DCB

·ACD = 200

b) Tính số đo của
biết
·
·ACx
Cx
DCx
= 900.
c) Dựng tia
sao cho
Tính
A, C )
CD
E
d) Trên cạnh AC lấy điểm (E khác

. Chứng minh hai đoạn thẳng
và
BE cắt nhau.
1 1 1 4
+ + =
a , b, c
a b c 5
Câu 5. (2 điểm) Tìm bộ ba số nguyên dương
sao cho

ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) A = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + .... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016

( 2016 − 1) :1 + 1 = 2016

Tính được số số hạng của A là:
(số hạng)
Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm:
A = ( 1 + 2 − 3 − 4 ) + ( 5 + 6 − 7 − 8 ) + .... + ( 2013 + 2014 − 2015 − 2016 )
= −4 + ( −4 ) + ..... + ( −4 ) = −4.504 = −2016
1 4 4 42 4 4 43
co 504 so

Vậy

A = −2016

b) B =

2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 8.( 1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10 )
8
=
=
3.6.5 + 6.9.12 + 21.24.30 27. ( 1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10 ) 27

B=

8
27

Vậy
Câu 2.
a) Ta có:

2014
2016
102014 + 2016 ( 10 + 2016 ) . ( 10 + 2016 )
A = 2015
=
10 + 2016 ( 102015 + 2016 ) .( 102016 + 2016 )

=

104030 + 2016.( 102014 + 102016 ) + 20162

( 10

2015

+ 2016 ) .( 102016 + 2016 )

=

104030 + 2016.102014.101 + 20162
(1)
2015
2016
10
+
2016
.
10
+
2016
(
)(
)


Lại có

2015
2015
102015 + 2016 ( 10 + 2016 ) .( 10 + 2016 )
B = 2016
=
10 + 2016 ( 102016 + 2016 ) . ( 102015 + 2016 )

104030 + 2.2016.102015 + 20162 104030 + 20.2016.10 2014 + 2016 2

=
=
( 102015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 ) ( 102015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 )

(2)

⇒ A> B
Từ (1) và (2)
b)
Ta có:
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
7.8.9.10
1 1
1
1
1
1
1 
= .
−
+
−
+ .... +

−
÷
3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
7.8.9 8.9.10 
1 1
1  1 119
= . −
÷= .
3  6 720  3 720

1 119
119
.
.x =
⇒ x=3
3 720
720

Nên từ đề suy ra :
x = 3.
Vậy
c) Ta nhận xét rằng với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia cho 3 đều có dạng
p = 3k + 2 ( k ∈ ¥ *)
p = 3k + 1
hoặc
p = 3k + 1
p 2 + 2 = 9k 2 + 6 k + 3
Với
thì
chia hết cho 3

2
2
p = 3k + 2
p + 2 = 9k − 6 k + 6
Với
thì
chia hết cho 3
p≥2
p2 + 2
Vì p ngun tố nên
, khi đó trong cả 2 trường hợp trên thì
đền lớn hơn
2
p +2
3 và chia hết cho 3. Tức là
là hợp số
2
⇒ p +2
p=3
p 2 + 2 = 11
chỉ là số nguyên tố khi
(khi đó
là số nguyên tố)
3
⇒ p + 2 = 27 + 2 = 29
là số nguyên tố.


Vậy nếu p và
Câu 3.

p2 + 2

là các số nguyên tố thì

p3 + 2

cũng là số nguyên tố

( 2n + 1, n + 2 ) ( d ∈ ¥ *)

a) Gọi d là UCLN
2n + 1Md , n + 2Md ⇒ ( 2n + 4 ) − ( 2n + 1) Md ⇒ 3Md
Ta có:
2n + 1
d ∈ { 1;3} .
n+2
d ∈¥ *
d =3
Vì
nên
Để phân số
rút gọn được thì
⇒ n + 2 = 3k ⇒ n = 3k − 2 ( k ∈ ¥ *)

Vậy với

n = 3k − 2 ( k ∈ ¥ *)

2n + 1

n+2

thì phân số
là phân số rút gọn được.
2 1 6
: =
5 3 5
b) Số học sinh giỏi lớp 6B bằng:
(số học sinh giỏi 6A)
2 1 4
: =
5 2 5
Số học sinh giỏi lớp 6C bằng:
(số học sinh giỏi lớp 6A)
6 4
1+ + = 3
5 5
Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng:
(số học sinh giỏi lớp 6A)
90 : 3 = 30
Vậy số HSG lớp 6A:
(học sinh)
Của lớp 6B là 36 học sinh, 6C là 24 học sinh


Câu 4.

Trường hợp 1

Trường hợp 2

AD + BD = AB ⇒ BD = 6 − 2 = 4cm

a) D nằm giữa A và B suy ra
·
·
CA, CB ⇒ ·ACD + DCB
= ·ACB ⇒ DCB
= 400
b) Tia CD nằm giữa hai tia
c) Xét hai trường hợp:
CD Cx
- Trường hợp 1: Hai tia
và
nằm về một phía so với đường thẳng CB
·ACx = 900 − ·ACD = 700
Tính được góc
CD, Cx
- Trường hợp 2: Hai tia
nằm về hai phía so với đường thẳng CB
·ACx = 900 + ·ACD = 1100
Tính được :
d) Xét đường thẳng CD
Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt
phẳng có bờ CD chứa điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A
⇒ tiaCA
thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A
AC ⇒ E
E thuộc đoạn
thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A
⇒E

⇒
và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD đường thẳng CD cắt đoạn EB
Xét đường thẳng BE


Lập luận tương tự: ta có đường thẳng
Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.
Câu 5.

EB

cắt đoạn CD
3 4
15
≥ ⇒a≤
a 5
4

a≤b≤c
Khơng làm mất tính tổng qt, ta giả sử
, khi đó ta có:
a =1
a=2
a=3
Nếu
thì khơng thể được ,do đó
hoặc
1 1 3
2 3
20

+ =
≥ ⇒b≤
b c 10
b 10
3
a=2
Nếu
thì
, suy ra
3 1
<
b=4
b=5
b = 6 10 3
Suy ra
hoặc
hoặc
vì
( a = 2, b = 4, c = 20 ) ( a = 2, b = 5, c = 10 )
a , b, c
Suy ra các số
thỏa mãn là
và
1 1 7
+ =
b c 15
a=3
Nếu
thì
b = 3

2 7
30
≥ ⇒b≤
b = 4

b 15
7
Từ đó
suy ra
. Khơng có trường hợp nào thỏa mãn
( 2, 4,20 ) ( 2,5,10 )
Vậy có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ ba số
và