226 đề HSG toán 6 cấp trường 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Mơn: Tốn 6
Năm học 2018-2019

Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu

a

a 3 + 2a 2 − 1
A= 3
a + 2a 2 + 2a + 1

là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu

a là một phân số tố giản
Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số
cba = ( n − 2 )

abc

sao cho

abc = n 2 − 1

và

2

Câu 3. a. (1 điểm) Tìm

n

để

n 2 + 2006

là một số chính phương
n 2 + 2006
b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
là số nguyên tố hay
hợp số.

a , b, n ∈ ¥ *

a+n
b+n

a
b

Câu 4. a) Cho
. Hãy so sánh
và
11
10
10 − 1
10 + 1
A = 12 ; B = 11
10 − 1

10 + 1
b) Cho
. So sánh A và B.
a1 , a2 ,....., a10 .
Câu 5. Cho 10 số tự nhiên bất kỳ:
Chứng minh rằng thế nào cũng có
một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10.
Câu 6. (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng
cắt nhau. Khơng có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.


ĐÁP ÁN
Câu 1.

Ta có:

( a + 1) ( a 2 + a − 1) a 2 + a − 1
a 3 + 2a 2 − 1
a) A = 3
=
=
( a ≠ −1)
a + 2a 2 + 2a + 1 ( a + 1) ( a 2 + a + 1) a 2 + a + 1
a 2 + a − 1; a 2 + a + 1

b) Gọi d là UCLN của
a 2 + a − 1 = a ( a + 1) − 1
Vì
là số lẻ nên d là số lẻ
2 =  a 2 + a + 1 − ( a 2 + a − 1) Md

Mặt khác,
d =1
a2 + a + 1 a2 + a − 1
Nên
tức là
và
là nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
Câu 2.
abc = 100a + 10b + c = n 2 − 1
(1)
cba = 100c + 10b + c = n 2 − 4n + 4(2)

⇒ 99 ( a − c ) = 4n − 5 ⇒ 44n − 5M
99

Từ (1), (2)
100.( n 2 − 1) = 999 ⇒ 4n − 5 = 99 ⇒ n = 26

, mặt khác:

abc = 675
Vậy
Câu 3.
n 2 + 2006
a) Giả sử
là số chính phương khi đó ta đặt
2
2
n + 2006 = a ( a ∈ ¢ ) ⇒ a 2 − n 2 = 2006

⇔ ( a − n ) ( a + n ) = 2006(*)

a, n

Thấy
khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên khơng thỏa mãn
(*)
( a − n ) M2, ( a + n ) M2
a, n
Nếu
cùng tính chẵn hoặc lẻ thì
nên vế trái chia hết
cho 4 và vế phải không chia hết cho 4.


n

n 2 + 2006

Vậy khơng tồn tại để
là số chính phương
n
n>3
n2
b) là số nguyên tố nên
và không chia hết cho 3. Vậy chia cho 3 dư 1
2
n + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m + 2007 = 3.( m + 669 ) M
3

do đó
n 2 + 2006
Vậy
là hợp số.
Câu 4.
a) Ta xét 3 trường hợp
a
a+n a
=1⇒ a = b ⇒
= =1
b
b+n b
Th1:
a
a+n
a−b
>1⇔ a > b ⇒ a + m > b + n
b
b+n
b+n
Th2:
, mà
có phần thừa so với 1 là
a
a−b
a−b a−b
a+n a
,
<
<

b
b
b+n
b
b+n b
có phần thừa so với 1 là
vì
nên
a
<1⇒ a < b ⇒ a + n < b + n
b
Th3:
a+n
a −b
a −b b−a
a+n a
,
<
>
b+n
b
b
b+n
b+n b
Khi đó
có phần bù tới 1 là
vì
nên
11
10 − 1

A = 12
10 − 1
b) Cho
1011 − 1) + 11 1011 + 10
(
a
a+n a
<1⇒
> ⇒ A<
= 12
b
b+n b
1012 − 1) + 11 10 + 10
(
A <1
rõ ràng
nên theo câu a,
10
1011 + 10 10 ( 10 + 1) 1010 + 1
A < 12
=
=
10 + 10 10.( 1011 + 1) 1011 + 1
Do đó
Câu 5. Lập dãy số
B1 = a1
Đặt


B2 = a1 + a2

B3 = a1 + a2 + a3
..........................
B10 = a1 + a2 + ..... + a10
Nếu tồn tại

Bi ( i = 1,2,3....10 )
Bi

nào đó chia hết cho 10 thì bài tốn được chứng minh

Nếu khơng tồn tại nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
∈ { 1,2,3,...,9}
Bi
Ta đem chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư
). Theo nguyên
Bm − Bn
tắc Dirichle, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số
chia hết cho 10
( m > n)
(đpcm)
Câu 6.
2005
2005
Mỗi đường thẳng cắt
đường thẳng cịn lại tạo nên
giao điểm. Mà có
2005.2006
2006 đường thẳng nên có:
giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2
lần nên số giao điểm thực tế là:

( 2005.2006 ) : 2 = 2011015
giao điểm.