004 đề HSG toán 6 kinh môn 2017 2018

UBND HUYỆN KINH MƠN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN – LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (2,0 điểm)
1
1 
 1  1 

A =  1 + ÷.  1 + ÷.  1 + ÷...... 1 +
÷
 3   8   15 
 2499 

1) Rút gọn biểu thức

1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ +
−
3 9 27 :
7 49 343
B=
2 2 2
1 1
1

2+ + +
1+ + −
3 9 27
7 49 343

2) Tính nhanh
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Tìm x, biết

1
1
1 
23
 1
+
+
+ ...... +

÷x =
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4

E=

2) So sánh:
Câu 3: (2,0 điểm)

201899 − 1
2018100 − 1

1) Tìm số tự nhiên

x, y

2) Tìm số nguyên tố
Câu 4: (3,0 điểm)

F=

và

biết

201898 − 1
201899 − 1

5x + 11y = 26

ab ( a > b > 0 )

biết

ab − ba

là số chính phương

OA = 6 cm, OB = 10 cm.

1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho

Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF.
2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, OZ sao cho
·
·
xOy
= 500 ; xOz
= 1000

·y ' Oz

. Vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy. Tính số đo
3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm
ta kẻ được một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho

abc

A=

là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của
--hết---

abc
+ 1918
a+b+c


ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TỐN 6 KINH MƠN 2017-2018

Câu 1.
1
1 
 1  1 

1) A = 1 + ÷. 1 + ÷. 1 + ÷.......... 1 +
÷
 3   8   15 
 2499 
4 9 16
2500 2.2 3.3 4.4
50.50
A = . . ........
=
.
.
......
3 8 15
2499 1.3 2.4 3.5
49.51
2.3.4.........50 2.3.4.........50 50 2 100
=
.
= . =
1.2.3.........49 3.4.5........51 1 51 51
A=

Vậy

100

51

1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ + −
3 9 27 :
7 49 343
2) B =
2 2 2
1 1
1
2+ + +
1+ + −
3 9 27
7 49 343
1 
 1 1 1 
 1 1
1. 1 + + + ÷ 4.  1 + + −
÷
3 9 27 
7 49 343 
B= 
: 
1 
 1 1 1   1 1
2.  1 + + + ÷ 1. 1 + +
−

÷
 3 9 27   7 49 343 
1
1
B = :4 =
2
8
B=

Vậy
Câu 2.

1
8

1
1
1 
23
 1
1) 
+
+
+ ...... +
÷x =
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4
1 1
23

1 1 1 1 1 1
 − + − + − + ...... + − ÷x =
8 9
45
1 2 2 3 3 4
23
1 1 
 − ÷x =
45
1 9 
8
23
23 8 23
x=
⇒x=
: =
9
45
45 9 40
x=

Vậy

23
40


E=

2)Ta có:

F=

Vì

201899 − 1
2018100 − 2018
2017
⇒
2018
E
=
⇒ 2018.E = 1 −
100
100
2018 − 1
2018 − 1
2018100 − 1

201898 − 1
201899 − 2018
2017
⇒
2018.
F
=
⇒ 2018.F = 1 −
99
99
2018 − 1
2018 − 1

201899 − 1
2017
2017
2017
2017
<
⇒ 1−
> 1−
100
99
100
2018 − 1 2018 − 1
2018 − 1
201899 − 1

2018 E > 2018 F ⇒ E > F

Hay
Vậy E > F
Bài 3

1. +Với

y=2

, ta có

112 = 121 > 26 ⇒ y = 2

Do y là số tự nhiên nên

5 x + 11 = 26 ⇒ 5x = 15

+) Với y = 1, ta có:
nào của x thỏa mãn
+)Với
Vậy

y=0

y ∈ { 0;1}

5x = 15 ⇒ y = 1

vì x là số tự nhiên

nên x=2 (thỏa mãn)

ab − ba = 9 ( a − b )

ab

Do a, b là các chữ số,
phương khi
+) Với
+)Với

là số nguyên tố, nên

3 ≤ b ⇒ 9. ( a − b )

a − b ∈ { 1; 4}

a −b =1
a −b = 4

mà
mà

ab = { 43;73}

Vậy
Bài 4.
Câu 1

khơng có giá trị

x

x = 2; y = 0

2. Ta có:

⇒

khơng thỏa mãn

5 + 1 = 26 ⇒ 5 = 25 = 52
x

ta có

khơng thỏa mãn

ab

là số ngun tố

ab

là số nguyên tố

⇒

ta được số

⇒

ta được số

ab = 43
ab = 73

là số chính


Vì hai điểm A, B cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB
A nằm giữa hai điểm O và B
Thay số

. Vậy

EA =

Vì E là trung điểm OA nên
AB

nên

nên điểm

⇒ OA + AB = OB

6 + AB = 10 ⇒ AB = 4 cm

F là trung điểm của

( 6 cm < 10 cm )

OA
2

AB = 4cm

, thay số

EA = 6 : 2 = 3 cm

AB
AF =

2

AF = 4 : 2 = 2 cm

Thay số:
Do A nằm giữa O và B. Mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB
nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F
⇒ EF = EA + AF = 3 + 2 = 5 (cm)

Vậy

EF = 5 cm.

Câu 2

Oz , Oy

Vì hai tia
cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox vfa Oz

Ox

, mà

·
·
xOy
< xOz

·
·
⇒ xOy
+ ·yOz = xOz

Do tia

Oy '

. Thay số

là tia đối của tia

⇒ ·y ' Oz + ·yOz = 1800
·y ' Oz = 1300

500 + ·yOz = 1000 ⇒ ·yOz = 500
Oy ⇒ ·y ' Oz, ·yOz

. Thay số :

là hai góc kề bù

·y ' Oz + 500 = 1800 ⇒ ·y ' Oz = 1300

Vậy
Câu 3.
Giả sử trong 2018 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng
Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như

2018.2017 = 4 070306

vậy với 2018 điểm ta được
đường thẳng
Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là :
2 035153

đường thẳng.
Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua
3 điểm phân biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt khơng thẳng
hàng thành 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là :
3 −1 = 2

Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số
2 035153 − 2 = 2 035151

đường thẳng thực tế kẻ được là :
Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng.
Câu 5
A=

abc
100a + 10b + c
+ 1918 =
+ 1918
a+b+c
a+b+c

+)Nếu

b=c=0

thì

A = 100 + 1918 = 2018
0

+)Nếu b hoặc c khác thì
A<

100a + 100b + 100c
+ 1918 = 100 + 1918 = 2018
a+b+c

Nên

A ≤ 2018

Giá trị lớn nhất của A là

2018 khi a ∈ { 1; 2;.......;9} ; b = c = 0