Chủ đề 4. Giới hạn của dãy số. Giới hạn của hàm số

CHỦ ĐỀ 4. GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn đặc biệt:
1
 0;
n n
 lim q n  0 ( q  1) ;

1
 0 (k 
n  n k
 lim C  C

 lim

 lim

n 

n 

b. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b



)

 lim (un – vn) = a – b

 lim (un.vn) = a.b

 lim

un a
(nếu b  0)

vn b

b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim un  a
c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un  a
c. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u 1 q + u 1 q 2 + … =

u1
1 q

 q  1

2. Giới hạn vô cực
a. Giới hạn đặc biệt:
 lim n  
 lim nk   (k 
b. Định lí:
a) Nếu lim un   thì lim



 lim q n   (q  1)

)

1
0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

un
=0
vn

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim


un

=
vn



nếu a.vn  0
nếu a.vn  0

d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì



lim(un.vn) = 



nếu a  0
nếu a  0

Lưu ý: Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
cách khử dạng vơ định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
+ Dạng vô định

0 
, ,  – , 0. thì phải tìm
0 




PP giải: Chia cả tử mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
1
n 1
n 1
 lim
a) lim
3 2
2n  3

2
n
1

VD:

toanc3.online

n  n  3n
 lim
1  2n
2

b) lim

1
3
n
1
1
2
n

1


+ Dạng vô định  – 
PP giải: Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức



VD:

 3 a  3 b   3 a 2  3 ab  3 b 2   a  b

a  b  a  b   a  b;

lim  n2  3n  n  = lim



n 2  3n  n  n 2  3n  n 



n  3n  n 
2

3n

= lim

n  3n  n
2

=

3
2

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số
của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số
cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái
dấu.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n)
2n 2  n  3
3n2  2n  1
n4
d) lim
(n  1)(2  n)(n2  1)

a) lim

2n  1
3
n  4n2  3
n2  1
e) lim 4
2n  n  1

b) lim

3n3  2n2  n
n3  4
2n 4  n 2  3
f) lim 3
3n  2n2  1

c) lim

Bài 2. Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử mẫu cho luỹ thừa cơ số cao nhất của n)
1  3n
4  3n
2n  5n 1
d) lim
1  5n

a) lim

4.3n  7n1
2.5n  7n
1  2.3n  7n
e) lim n
5  2.7n

b) lim

4n 1  6n  2
5n  8n
1  2.3n  6n
f) lim n n1
2 (3  5)

c) lim

Bài 3. Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n)
a) lim

d) lim

4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

4n 2  1  2n
n 2  4n  1  n

b) lim

n2  3  n  4
n2  2  n

(2n n  1)( n  3)
e) lim
(n  1)(n  2)

Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) lim  n2  2n  n  1

d) lim 1  n 2  n 4  3n  1 
g) lim

4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

b) lim  n2  n  n2  2 

e) lim  n2  n  n 
h) lim

c) lim
f) lim

n2  3 1  n6
n4  1  n2

n 2  4n  4n 2  1
3n 2  1  n

c) lim  3 2n  n3  n  1

n2  3 1  n6
n4  1  n2

--------------=oOo=-------------

f) lim
i) lim

1
n2  2  n2  4

n 2  4n  4n 2  1
3n 2  1  n


§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Giới hạn hữu hạn

1.1. Giới hạn đặc biệt:
 lim x  x0 ;

 lim c  c (c: hằng số)

x  x0

x  x0

1.2. Định lí:
a) Nếu lim f ( x)  L và lim g ( x)  M thì:
x  x0

x  x0

 lim  f ( x)  g ( x)  L  M

 lim  f ( x)  g ( x)  L  M

 lim  f ( x).g ( x)  L.M

 lim

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

f ( x) L
(nếu M  0)

g ( x) M

b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x)  L thì L  0 và lim f ( x)  L
x  x0

x  x0

c) Nếu lim f ( x)  L thì lim f ( x)  L
x  x0

x  x0

1.3. Giới hạn một bên:
lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L
x  x0

x  x0

x  x0

2. Giới hạn vô cực. Giới hạn tại vô cực
2.1. Giới hạn đặc biệt:
 nếu k chẵn
 nếu k lẻ

 lim x k   ;

 lim x k  
x 

 lim c  c ;

 lim

x 

c
0
x  x k
1
 lim  
x 0 x

x 

1
  ;
x 0 x
1
1
 lim  lim  
x 0 x
x 0 x

 lim



2.2. Định lí:
Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g ( x)   thì:
x  x0



f ( x )g( x )  
 xlim
 x0

0 neáu
f ( x ) 
  neáu
 xlim
 x0 g( x )

 neáu


x  x0

nếu L và lim g( x ) cùng dấu
x  x0

nếu L và lim g( x ) trái dấu
x  x0

lim g( x )  

x  x0

lim g( x )  0 vaø L.g( x )  0

x  x0

lim g( x )  0 vaø L.g( x )  0

x  x0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
khử dạng vô định.

toanc3.online

0 
, ,  – , 0. thì phải tìm cách
0 


Một số phương pháp khử dạng vô định:
1. Dạng

0
0

P( x)
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x  x0 Q( x)

a) L = lim

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD: lim
x 2

b) L = lim
x  x0

x3  8
( x  2)( x 2  2 x  4)
x 2  2 x  4 12

lim

lim
 3
x 2
x 2  4 x2 ( x  2)( x  2)
x2
4

P( x)
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Q( x)

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

 2  4  x  2  4  x 

2 4 x
1
1
 lim
 lim

x 0
x

0
x

0
x
2 4 x 4
x 2  4  x 

VD: lim
c) L = lim
x  x0

P( x)
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
Q( x)

Giả sử: P(x) =

m

u( x)  n v( x) với m u( x0 )  n v( x0 )  a .

Ta phân tích P(x) =



m

u ( x)  a    a  n v( x)  .

 3 x 1 1 1 1 x 
x 1  1 x
 lim 


x 0
x 0 
x
x
x

1
1
 1 1 5
= lim 

  
x 0  3
2
3
1  1  x  3 2 6

(
x

1)

x

1

1



P( x)
2. Dạng : L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x  Q( x)

3

VD: lim

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất
của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD:

5 3
2  2
2 x2  5x  3

x x 2
 lim
a) lim 2
x  x  6 x  3
x 
6 3
1  2
x x
3
2
2x  3
x
b) lim
 lim
 1
2
x 
x 
1
x 1  x
 1 2 1
x

3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD: lim  1  x  x   lim
x 

x 



1  x  x  1  x  x 
1
 lim
0
x  1  x 
1 x  x
x

4. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
VD: lim ( x  2)
x 2



x
 lim
x  4 x  2
2

x  2. x 0. 2

0
2
x2


B. BÀI TẬP

Bài 1. Tìm các giới hạn sau: Khơng phải dạng vô định thay số
1 x  x  x
x 0
1 x
2

a) lim

d) lim

x 1

b) lim

3x  1  x
x 1

e) lim

x  x 1
x 1

2

3

x 1

x 1
4

x  x 3

x 2

x2 2
x7 3

x 0

b) lim

e) lim
x 1

Bài 4. Tìm các giới hạn sau: Dạng
a) lim

1 x  3 1 x
x

3

b) lim
x 2

 x  x  x
c) lim  x  1  x  1 
2

2

3

3

x 

e) lim  3 2 x  1  3 2 x  1 
x 

toanc3.online

1  x2  1
c) lim
x 0
x

f) lim

8 x  11  x  7
x 2  3x  2

c) lim

3

h) lim

x 

Bài 6. Tìm các giới hạn sau: Dạng  – 
x 

x5  1
x 1 x 3  1
xm 1
f) lim n
x 1 x  1
x 4  16
i) lim 3
x 2 x  2 x 2

c) lim

2 x  2  3x  1
x 1

8 x  11  x  7
e) lim
x 2
2 x2  5x  2
1  2x.3 1  4x 1
h) lim
x 0
x

Bài 5. Tìm các giới hạn sau: Dạng

2
x 1

2x2  x  1
a) lim
b)
lim
x  2 x 2  x  1
x 
x2
2
x  2x  3  4x 1
4x2  2x  1  2  x
lim
d) lim
e)
x 
x 
4x2  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

(2 x  1) x 2  3
g) lim
x 
x  5x2

x 1

x2  1 1
x 2  16  4

x 0

0
0

1 4x  3 1 6x
d) lim
x 0
x2
1  4x. 1  6x 1
g) lim
x 0
x

a) lim

x2  2x  3
x 1

f) lim

0
0

x4 1
x 1 x3  2 x 2  1
x  5 x5  4 x 6
e) lim
x 1
(1  x)2
x  x 2  ...  x n  n
(1  x)(1  2 x)(1  3x)  1

g) lim
h) lim
x 1
x 0
x 1
x
0
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: Dạng
0
3
x 1
4x 1  3
lim
.
a) lim
b)
2
3
x

1
x2
x 4
4x  4  2
x3  x 2  x  1
x 1
x 2  3x  2
x3  5 x 2  3x  9
d) lim
x 3

x4  8x2  9

a) lim

x2

2

2

Bài 2. Tìm các giới hạn sau: Dạng

d) lim



sin  x  

4
c) lim
x
x

x 2  2 x  3x
4x2  1  x  2

2 1 x  3 8  x
x 0
x

5  x3  3 x 2  7
f) lim
x 1
x2 1
3
x 1  1 x
i) lim
x 0
x

2 x2  1
x  x3  3 x 2  2
x x 1
f) lim 2
x  x  x  1

c) lim

x2  5x  2
i) lim
x 
2 x 1



b) lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3
x 







d) lim  x  x  x  x 
x 
f) lim  3 3x3  1  x 2  2 
x 




Bài 7. Tìm các giới hạn sau: Giới hạn một bên
x  15
a) lim
x 2 x  2
x2  4
d) lim
x 2
x2

x  15
b) lim
x 2 x  2
2 x
e) lim 2
x 2 2 x  5 x  2

1  3x  2 x 2
c) lim

x 3
x 3
2 x
f) lim 2
x 2 2 x  5 x  2

Bài 8. Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 1 x 1
3

a) f ( x )   1  x  1
3
 2
 x2  2x

3
c) f ( x )   84  x
 x  16
 x  2

khi x  0

taïi x  0

khi x  0

 9  x2
khi x  3

b) f ( x )   x  3

1  x khi x  3


taïi x  3

 x 2  3x  2
khi x  1

2
x

1
taïi x  1
taïi x  2 d) f ( x )  
x


khi x  1
khi x  2
 2

khi x  2

Bài 8. Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
 x3  1
khi x  1

a) f ( x )   x  1
mx  2 khi x  1


taïi x  1

x  m
khi x  0
 2
b) f ( x )   x  100 x  3
taïi x  0
khi x  0

x 3


--------------=oOo=------------§2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x) , lim f ( x) )
x  x0

x  x0

x  x0

B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.
x  x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:
y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b)
x a

x b 

4. Định lí
 Hàm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của
chúng.
 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
+ Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
+ Hàm số y =

f ( x)
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.
g ( x)

 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b):
f(c) = 0.


Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0
có ít nhất một nghiệm c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi đó với
 a ;b

 a ;b

mọi T  (m; M) ln tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
x 3

a) f ( x )   x  1
1


khi x  1

taïi x  1

khi x  1

 2  7 x  5x 2  x 3

c) f ( x )   x 2  3x  2
1


khi x  2

taïi x  2

khi x  2

1  cos x khi x  0


e) f ( x )  
khi x  0

 x 1

taïi x  0

 x 3 2
khi x  1


b) f ( x )   x  1
taïi x  1
1

khi x  1

4
 x 5
khi x  5

d) f ( x )   2 x  1  3
taïi x  5
( x  5)2  3 khi x  5


 x 1

f) f ( x )   2  x  1
2 x



khi x  1

tại x  1

khi x  1

Bài 2. Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 x 2
khi x  1
a) f ( x )  
2mx  3 khi x  1

 x3  x2  2x  2

b) f ( x )  
x 1
3x  m


taïi x  1

m
khi x  0
 2
x  x 6
khi x  0, x  3
c) f ( x )  
x

(
x

3)

n
khi x  3
 x2  x  2
khi x  2

d) f ( x )   x  2
m
khi x  2


khi x  1

taïi x  1

khi x  1

taïi x  0 và x  3

tại x  2

Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 x3  x  2
 3
a) f ( x)   x  1
4

 3
 x2  4

c) f ( x)   x  2
4


khi x  1
khi x  1
khi x  2
khi x  2

 x 2  3x  4

b) f ( x)  5
2 x  1

 x2  2

d) f ( x)   x  2
2 2


khi x  2
khi x  2
khi x  2
khi x  2
khi x  2

Bài 4. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

 x2  x  2
khi x  2

a) f ( x)   x  2
m
khi x  2

 x3  x 2  2 x  2
khi x  1

c) f ( x)  
x 1
3x  m
khi x  1


toanc3.online

 x2  x

b) f ( x)  2
mx  1

 x2

d) f ( x)  

2mx  3

khi x  1

khi x  1
khi x  1
khi x  1
khi x  1


Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3  3x  1  0
b) x3  6 x 2  9 x  1  0
c) 2 x  6 3 1  x  3
Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:
a) x5  3x  3  0
b) x5  x  1  0
c) x4  x3  3x2  x  1  0
5
3
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: x  5x  4 x  1  0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham
số:
a) m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  0
b) x4  mx 2  2mx  2  0
c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0
d) (1  m2 )( x  1)3  x 2  x  3  0

------=oOo=-----BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
 n  2 sin n 


 n  1 2n 

25n1  3
e) lim 5n2
3
1

1  2  3  ...  n
3n3
n 2  2n
d) lim 2
2n  3n  1

n 2  2n
3n2  n  1
(1)n  4.3n
f) lim
(1)n1  2.3n

a) lim

b) lim 

g) lim  n2  3n  n2  1 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

g) lim  3 n3  3n2  n  h) lim 1 n2  n4  n 

x2  5x  6
a) lim 2
x 3 x  8 x  15
2 x 4  5 x3  3x 2  1

x 1 3x 4  8 x 3  6 x 2  1
x3  2 x  1
g) lim 5
x 1 x  2 x  1

d) lim

8x2  1
b) lim1 2
x 6 x  5 x  1

c) lim

x3  4 x 2  4 x  3
x 2  3x

c) lim
x 3

2

x3  3x  2
x 1 x 4  4 x  3
x2
h) lim 2
x 2 2 x  5 x  2

e) lim

x3  2 x 2  4 x  8

x 2
x 4  8 x 2  16
( x  2)2  1
i) lim
x 1
x2 1

f) lim

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
x2
x 2 3 
x7

1  x2  1
x

a) lim

b) lim

1 2x  3
d) lim
x4
x 2

2x  7  3
e) lim
x 1
x3 2

x  7  5  x2
x 1
x 1
3
x 1
k) lim
x 0
x 1

x 0

3

g) lim

x 0

3

l) lim
x 0

x 1

f) lim
x 0

x8 3
x  2x  3

2

x2  1 1
4  x 2  16

1 x  3 1 x
x

i) lim

1  x2  1
x2

m) lim

3

h) lim

c) lim

3
x 2

x 2

4x  2
x2
x  2  x 7 5
x2

Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
2 x 2  3x  2
x 2
x2
2
2 x  5x  2
d) lim
x 2
( x  2)2

a) lim

x 1
2
x 1 x  3 x  4
3x  4
e) lim
x 3 3  x

b) lim

3x3  4 x  1
x 1
x 1
x x
f) lim
x 0 x 
x

c) lim


Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số:
1  x

a) f ( x)   x 2  2 x  3

 2x  6
 12  6 x

c) f ( x)   x 2  7 x  10
2

trên R

1  cos x
khi x  0

2
sin
x
b) f ( x)  
tại x = 0
1
khi x  0
 4

trên R

2

khi x  0
x
d) f ( x)  
tại x = 0

1  x khi x  0

khi x  3
khi x  3
khi x  2
khi x  2

Bài 6. Tìm a để hàm số liên tục trên R:
 2a 2  1
khi x  1
 3 2
a) f ( x)   x  x  2 x  2
khi x  1

x 1

 x2  x  2
khi x  2

c) f ( x)   x  2
a
khi x  2


 x2  1
khi x  1

b) f ( x)   x  1
x  a
khi x  1

 x2  4x  3
khi x  1

d) f ( x)   x  1
ax  2
khi x  1


Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: x3  6 x 2  9 x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình:
a) m( x  1)3 ( x 2  4)  x 4  3  0 ln có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) x3  mx 2  1  0 ln có 1 nghiệm dương.

toanc3.online