kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt cấp tỉnh năm 2008

UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Khóa ngày 25/11/2008
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 02 trang, gồm 07 câu.

Câu 1: (2,0điểm)
Giải phương trình:
.
.
.
( x 1)
( x 1)
(x 1)
(x + 1)
+
+
+
= 4
Câu 2: (3,0 điểm)
Trên các cạnh AB, BC, CA của một tam giác ABC có diện tích S người ta
chọn lần lượt các điểm M, N, P thoả mãn điều kiện:
AM BN CP
k
MB NC PA
= = =
với k
là số thực dương cho trước.

1) Tính diện tích của tam giác MNP theo k và S.
2) Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất.
Câu 3: (3,0 điểm)
Tìm một cặp số nguyên dương (a, b) thoả mãn các điều kiện sau:
1) Tích ab(a + b) không chia hết cho 7;
2)
7 7 7
(a b) a b+ − −
chia hết cho
7
7
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

xz y
y
z
2
y
z(x 1)
2
11 25 71
11 25 21
11 5 16
−

− =



+ =



+ =

Câu 5: (3,0 điểm)
Tìm hàm f:
[ ] [ ]
a; b a; b→
, biết rằng
f (x) f (y) x y− ≥ −
với mọi x, y
thuộc đoạn
[ ]
a; b
.
Đề chính thức
Câu 6: (3,0 điểm)
Cho phương trình
3 2 3
x 3xy y n− + =
với n nguyên dương. Chứng minh
rằng nếu phương trình có một cặp nghiệm nguyên (x, y) thì nó có ít nhất ba cặp
nghiệm nguyên.
Câu 7: (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có DA = BC = a; DB = CA = b; DC = AB = c.
1) Tìm thể tích tứ diện ABCD.
2) Định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trên.
H[T

* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
2