Bài 3 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

HƯỚNG DẪN GIẢI.
Vấn đề 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị
hàm số..
Bài 1:
1. * lim y   và lim y   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận
x2

x2

đứng của đồ thị hàm ( khi x  2 và khi x  2 )
y  3 và lim y  3 nên đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang
* xlim

x

của đồ thị hàm số (khi x   và khi x   )
2
3
y
* lim y  lim 3x  2  lim
x  0 và lim  0 nên đồ thị hàm
x x
x x x x(x  2) x x  2
khơng có tiệm cận xiên
lim y  
lim y  
1
2. *
và

nên đường thẳng x   là tiệm cận
1
1
x
x
3
3
3




đứng của đồ thị hàm ( khi x   1 và khi x   1 )
3
3
2
2
2
* lim y   và lim y   nên đường thẳng y   là tiệm cận
x
x
3
3
3
ngang của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )
y
y
* lim  0 , lim  0 nên đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên.
x x
x x

Bài 2:
1. * lim y   và lim y   nên đường thẳng x = 5 là tiệm cận
x5

x5

đứng của đồ thị hàm (khi x  5 và khi x  5 )
y   và lim y   ,suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
* xlim

x
ngang
1
1
)  0 và lim [y  (x  1)]  lim (
) 0
x
x x  5
x 5
nên đường thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x
  và khi x   ).
lim y  
lim y  
1
2. *
và
nên đường thẳng x   là tiệm cận
1
1
x

x
3
3
3
* lim [y  (x  1)]  lim (
x

x





đứng của đồ thị hàm (khi x   1 và khi x   1 )
3
3

49


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

y   và lim y   ,suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
* xlim

x
ngang .

2

20  
29
 0 và
* lim  y   x    lim
x 
9   x 9(3x  1)
3

2
20  
29
2
20
lim  y   x    lim
 0 nên đường thẳng y = x 
là
x 
x

3
9
9(3x

1)
3
9


tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )
Bài 3:

1. * lim y   và lim y   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận
x2

x2

đứng của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2 )
* lim y   và lim y   nên đường thẳng x = - 2 là tiệm cận
x2

x2

đứng của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2 ).
y  0 và lim y  0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang
* xlim

x
của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )
y
y
2x  3
2x  3
 0 và lim  lim
 0 nên đồ thị
* lim  lim
2
x x x x(x  4)
x x x x(x2  4)

khơng có tiệm cận xiên.
y  0 và lim y  0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang

2. * xlim

x
của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )
y
y
4x
4
4
 lim
 0 và lim  lim
 0 nên
* lim  lim
2
2
2
x x x x(x  8) x x  8
x x x (x  8)
đồ thị khơng có tiệm cận xiên.
Bài 4:
1. * lim y   và
x1

lim y   nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận

x1

đứng của đồ thị hàm (khi x  1 và khi x  1 )
y   và lim y   ,suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
* xlim


x
ngang .
* lim [y  (2x  3)]  lim

2x  4

50

x

3

 0 và lim [y  (2x  3)]  lim

2x  4

0
x 1
x3  1
nên đường thẳng y = 2 x  3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x
  và khi x   ).
x

x

x


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2. * lim y   và

lim y   nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận

x0

x0

đứng của đồ thị hàm (khi x  0 và khi x  0 ).
* lim y   và
x2

lim y   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng

x2

của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2 ) .
y   và lim y   ,suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
* xlim

x
ngang .
* lim [y  (x  2)]  lim

4x  2

x

x2

2

 0 và lim [y  (x  2)]  lim

4x  2

0
x  2x
x2  2x
nên đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x
  và khi x   ).
Bài 5:
1. * lim y   và lim y   nên đường thẳng x = - 2 là tiệm cận
x

x

x

x2

đứng của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2 ).
* lim y   và
x2

lim y   nên đường thẳng x =2 là tiệm cận đứng

x2

của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2 ) .
y   và lim y   ,suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
* xlim

x
ngang.
* lim [y  2x]  lim

7x  4

x

 0 và lim [y  2x]  lim

7x  4

 0 nên đường
x
x x2  4
x 4
thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x   và khi x
  )
y  1 và lim y  1 nên đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang
2. * xlim

x
x

2

của đồ thị hàm (khi x   và khi x   ).
1 1
2
1 1
2
x3( 
 )


y
x2  x  2
x x2 x3
x x2 x3
 lim
 lim
0
* lim  lim
2 3
2 3
x x x x(x2  2x  3) x
x
x3(1  )
1 
x x2
x x2
nên đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên.
Bài 6:
1. D  ( ;1]U [2; ).
Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm khơng có tiệm cận
đứng .

Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt của tiệm
cận xiên khi a = 0 ,do đó ta chỉ cần tiệm cận xiên của đồ thị hàm
,nếu đường tiệm cận có dạng y = b thì đó là tiệm cận ngang .

51


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.



4
3 2

4
3 2
y  x  4  x2  3x  2  x 1  x2  1 
  x 1  x 1  2
2
x
x x 
x
x x




4
3 2

x  1   x 1 

y
x
x x2
4
3 2
và
lim  lim 
 lim  1  1 
 2
2


x x x
x
x
x
x x 

 

 

 
3 2
3 2
lim (y  2x)  lim  x 1 1 
 2 4  lim x  1 
 1  4

  x  

x
x  
x x2
x x2

 
 

 
 




3 2
2
  1 


1  

3

5
x x2






x
 lim x
 4  lim
 4 






x
x
2
3 2
3 2
  1 

 1 

 1
1



2
2
x x
x x

 




Vậy đường thẳng y = 2x 
 ) .

5
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x
2


4
3 2
x 1  x 1 

y
x
x x2
4
3 2 
lim  lim 
 lim  1  1 
 0.
x x x
x 
x
x
x x2 



 

3 2
lim y  lim x  1 1 
 4
2
x
x  
x x 

 

 



3 2  
2
  1  1   2   


3

x x  
11





x
 lim x
 4  lim
 4  .






x
x
2
3 2
  1 3  2  1  
 1 

1



2
2
x x
x x
 
 



11
Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y =
là đường tiệm cận ngang
2
(khi x   )
Cách khác.Trong bài toán này ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm
tiệm cận xiên của đồ thị hàm
b
b
2
 ax2  bx  c  a x 
Với a > 0 ,ta có ax  bx  c  a x 
2a
2a
2
Đặt (x)  ax  bx  c  a x 

lim (x)  0

x

Áp dụng vào bài tốn
52

b
2a

thì ta chứng minh được rằng

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ta có

x2  3x  2  x 

3
3
 x2  3x  2  x  .
2
2

2
Đặt (x)  x  3x  2  x 

3
,ta có:
2


9
1
x2  3x  2   x2  3x  

4

4
lim (x)  lim
 lim
x

x
x
3
3
2
x  3x  2  x 
x2  3x  2  x 
2
2
1

 lim 


3 2
3 
4 x  1 
 1

2

x x
2x 


3
Suy ra y  x  4  x   (x) .
2
x

Khi x   thì y = x  4  x 

 0.

3
5
 (x)  2x   (x) .
2
2

5
5
lim [y  (2x  )]  lim (x)  0 nên đường thẳng y = 2x  là tiệm
x
x
2
2


)
cận xiên của đồ thị hàm (khi x
3
11
Khi x   thì y = x  4  x   (x)   (x)
2
2
11
11
Vì lim (y  )  lim (x)  0 nên đường thẳng y =
là tiệm cận

x
2 x
2
ngang của đồ thị hàm ( khi x   )
Vì

2. Ta có

x2  4  x  x2  4  x

Đặt (x)  x2  4  x ,ta có
 2

x  4  x2 
4
lim (x)  lim  x2  4  x   lim 
 lim
x
x 
 x  x2  4  x 
 x 2 
4


x  1
 x

x2 
 lim

x

1


4
x  1
 1
2


x



0

Suy ra y  3x  x2  4  3x  x  (x)
Khi x   thì y = 3x  x  (x)  4x  (x)

53


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Vì

lim (y  4x)  lim (x)  0 nên đường thẳng y = 4x là tiệm cận xiên
x

x

của đồ thị hàm (khi x  )
Khi x   thì y = 3x  x  (x)  2x  (x)
(y  2x)  lim (x)  0 nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên
Vì xlim

x

của đồ thị hàm ( khi x   )
Đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang .
2x
lim y  lim
x

x

3. *
3 .
x 1
x2
2x
2
lim y  lim
 lim
2
x
x
x


, suy ra đường thẳng y = 2 là
3
3
x 1
1
2
2
x
x
tiệm cận ngang của đồ thị hàm.
2x
2
lim y  lim
 lim 
 2
x
x
x

, suy ra đường thẳng y = - 2
3
3
 x 1
1
2
2
x
x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm.

y
2
 0 , suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
* lim  lim
x x x
x2  3
xiên .

Vấn đề 2 Một số dạng toán khác.
Bài 1:

4x0  1
1. M  (C)  M  x0 ;
.
3  x0 


TCĐ của (C) : x – 3 = 0  d(M ,TCD)  x0  3 .
TCN của (C): y + 4 = 0  d(M ,TCN) 
 d(M ,TCD).d(M ,TCN)  x0  3

54

3  x0

4 

13
.
3  x0

13
 13 (đpcm).
x0  3

2. T  d(M ,TCD)  d(M ,TCN)  x0  3 
T  2 13  x0  3 

4x0  1

13 Cauchy
13
 2 x0  3
 2 13.
x0  3
x0  3

13
 (x0  3)2  13  x0  3   13  x0  3  13.
x0  3


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 13 khi và chỉ khi M( 3  13;  13  4)
hoặc M( 3  13; 13  4) .
Bài 2:
m2  1
, suy ra (C) có tiệm cận xiên (d)  m  0 . Khi
x1

đó phương trình của (d) : y = mx+3.
1. A(1;4)  (d)  4  m  3  m  1 (thõa mãn điều kiện m  0) .
Ta có y = mx  3 

3
;0) .
m
1
1 3
9

Diện tích tam giác vng OMN: S = OM.ON  3.
.
2
2 m 2m
2. Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là M(0;3) và M( 

Theo giả thiết : S  6 

9
1
1
 9  m   m   (thỏa mãn điều kiện
2
2
2m

m  0) .
3. d(O;(d))  3 

3
2

 3  m2  1  3

m 1
 m  1 3  m   2 (thỏa mãn điều kiện m  0) .
2

(m  1)x2  (2m  1)x  2 (m  1)x  m  2
=
,suy ra (C) có
x 1
x 1
hai đường tiệm cận x = - 1 (d1),
y = (m+1)x+m (d 2).
2
).
1. M  (C)  M(x0;(m  1)x0  m 
x0  1
Bài 3: y =

 d(M ,(d1)).d(M ,(d2))  x0  1 (m  1)x0  m  (m  1)x0  m 


2
(m  1)2  1

2
1

.
x0  1 (m  1)2  1

.

d(M ,(d1)).d(M ,(d2))  2 

2
2

 2  (m  1)2  1  1  m  1.

(m  1)  1
2. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-1; -1). Vì tọa độ I thỏa
mãn phương trình (P) nên I  (P).
3. (C) có tiệm cận xiên  m  1  0  m  1.
1
Đường trịn ( ) có tâm là gốc tọa độ O , bán kính R = ,suy ra
2
Tiệm cận xiên tiếp xúc đường tròn
m
1
1
( )  d(O;TCX)  

2
2
2
(m  1)  1
55

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

 4m2  (m  1)2  1  3m2  2m  2  0  m 
m  1).
Bài 4:
1. Gọi M(x0;y0)  (C)
M cách đều hai trục tọa độ  x0  y0 


3x0  1



3x0  1

x0  2
x0  2

1 7
(thỏa mãn điều kiện
3

3x0  1
x0  2

 x0  x02  5x0  1  0  x0 

5  21
2

 x0  x02  x0  1  0  x0 

1 5
2

 5  21 5  21 
 1 5 1m 5 
;
;
,M 3,4 
.
Vậy có bốn điểm cần tìm: M 1,2 
 2
2
2 
2 



2. Gọi M(x0;y0)  (C) Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:
d  x0  y0  x0 
Với x0 

x0  2

1
1

1
1
 d  nên với x0   d  .
3
3
3
3

Ta xét x0 
Mà

3x0  1

3x  1 x02  x0  1
1
 d  x0  0

3
x0  2
x0  2

x02  x0  1 1 3x02  2x0  1 (3x0  1)(x0  1)
 

 0 với
x0  2
3
3(x0  2)
3(x0  2)

1
1
1
x0 : x0  .
. Suy ra d 
3
3
3
1 
Vậy M  ;0 là giá trị cần tìm.
3 
x0 : x0 


5 
5
3. Ta có A  2  a;3  , B 2  b;3   (với a,b  0 ) là hai điểm nằm về
a
b

 

hai nhánh của (C).
2

 5 5
25
5
AB2  (a  b)2      (a  b)2(1
)  4ab.2.  40

2 2
a
b
ab


ab
a  b

Đẳng thức xảy ra khi 
25  a  b  5 .
1  2 2
 ab
56


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt


3 5 
.
Vậy A 2  5;3  5 , B 2  5;









3m  1
4. Ta có M  m;
 (C)
m 2 

3m  4
d(M , ) 

3m  1
1
m 2
1 3m2  17m  2

5
5
m 2

12
 3m2  17m  2  12 m  2
5

26
 3m2  29m  26  0  m  1;m 
3


2
 3m  5m  22  0
 m  2;m  11


3
Vậy có bốn điểm thỏa yêu cầu bài toán
 16 15 

7
 11 
M 1(1; 2),M 2  ; ,M 3 2; ,M 4  ;6 .
4
 3 4

 3 
Suy ra d(M , ) 

57