ly thuyet hinh binh hanh moi 2022 bai tap toan 8

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

I. Hình bình hành lớp 8
+ Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

II. Tính chất hình bình hành
Trong hình bình hành:
+ Các cạnh đối bằng nhau.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
III. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (được suy ra từ định nghĩa)
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
Bài tốn: Cho tứ giác ABCD, có AB = CD và AD = BC. Chứng minh rằng ABCD là
hình bình hành.
Chứng minh:


+ Nối AC.
+ Xét ∆ ADC và ∆ ABC có:
AD = BC (gt)
AB = CD (gt)
AC chung
⇒∆ADC = ∆ABC (c.c.c)



DAC
= BCA
(cặp góc tương ứng bằng nhau)
⇒



= BAC
ACD



(cmt)
+ Có DAC
= BCA
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒AD // BC (t/c)


 (cmt)
+ Có ACD
= BAC
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒AB // CD (t/c)

+ Xét tứ giác ABCD có:
AD // BC (cmt)
AB // CD
⇒ABCD là hình bình hành (định nghĩa) (đpcm)

3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành


Bài tốn: Cho tứ giác ABCD, có AB = CD và AB // CD. Chứng minh ABCD là hình
bình hành.

Chứng minh:

+ Nối AC.

 (so le trong)

+ Có AB // CD ⇒ ACD
=
BAC
+ Xét ∆ADC và ∆ABC có:
AC chung


 (cmt)
ACD
= BAC
AB = CD (gt)
⇒∆ADC = ∆ABC (c.g.c)

 (cặp góc tương ứng bằng nhau)

⇒ DAC
=
BCA

Mà chúng ở vị trí so le trong
⇒AD // BC (t/c)

+ Xét tứ giác ABCD có:
AB // CD (gt)

AD // BC (cmt)
⇒ ABCD là hình bình hành (định nghĩa) (đpcm)

4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành


 D
 . Chứng minh tứ giác ABCD là hình
=
 C;B
A
Bài tốn: Cho tứ giác ABCD có=
bình hành.
Chứng minh:

 +B
 +C
 +D
=
+ Xét tứ giác ABCD có: A
1800 (1) (tổng các góc trong tứ giác)
 C;B
=
 D
 (gt) thay vào (1)
A
+ Có=
 +D
 +A
 +D

= 3600 ⇒ A
 +D
= 1800
⇒A
Hai góc ở vị trí trong cùng phía đối với hai đường thẳng AB và CD
⇒AB // CD

 C;B
=
 D
 (gt) thay vào (1)
+ Có=
A
 +B
 +A
 +B
= 3600 ⇒ A
 +B
= 1800
⇒A
Hai góc ở vị trí trong cùng phía đối với hai đường thẳng AD và BC
⇒AD // BC

+ Xét tứ giác ABCD có:
AB // CD (cmt)
AD // BC (cmt)
⇒ ABCD là hình bình hành (định nghĩa) (đpcm)

5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành

Bài toán: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và OB = OD,
OA = OC. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
Chứng minh:

+ Xét ∆OAB và ∆OCD có:
OA = OC (gt)



(đối đỉnh)
AOB
= DOC
OB = OD (gt)
⇒∆OAB = ∆OCD (c.g.c)


 (cặp góc tương ứng bằng nhau)
⇒ OAB
=
OCD

Mà chúng ở vị trí so le trong
⇒AB // CD (t/c)

+ Xét ∆OAD và ∆OBC có:
OA = OC (gt)




(đối đỉnh)
AOD
= BOC
OB = OD (gt)
⇒∆OAD = ∆OBC (c.g.c)


 (cặp góc tương ứng bằng nhau)
⇒ OAD
=
OCB


Mà chúng ở vị trí so le trong
⇒AD // BC (t/c)

+ Xét tứ giác ABCD có:
AB // CD (cmt)
AD // BC (cmt)
⇒ ABCD là hình bình hành (định nghĩa) (đpcm)
IV. Bài tập về hình bình hành lớp 8

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA.
Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành.
Chứng minh:

+ Xét ∆ABC có:
E là trung điểm của AC
M là trung điểm của BC
⇒EM là đường trung bình của ∆ABC (định lý) ⇒ EM // AB (t/c)

+ Xét ∆ABC có:

D là trung điểm của AB
M là trung điểm của BC
⇒MD là đường trung bình của ∆ABC (định lý) ⇒ MD // AC (t/c)
+ Xét tứ giác AEMD có:


EM // AD (EM // AB – cmt)
MD // AE (MD // AC – cmt)
⇒ AEMD là hình bình hành (dhnb) (đpcm)

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường thẳng qua B song song với AC, cắt đường thẳng
qua A song song với BC ở D. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
Chứng minh:

+ Xét tứ giác ABCD có:
AD // BC (gt)
BD // AC (gt)
⇒ ABCD là hình bình hành (dhnb) (đpcm)

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Kẻ AE, CF vng góc với BD. Chứng minh tứ giác
AECF là hình bình hành.
Chứng minh:


+ Có AE ⊥ BD (gt), CF ⊥BD (gt) ⇒ AE // CF (từ vng góc đến song song)
+ Có ABCD là hình bình hành (gt)
⇒AD = BC (t/c)

+ Có ABCD là hình bình hành (gt)


 (so le trong)
⇒AD // BC (t/c) ⇒ ADB
=
DBC
+ Xét ∆AED và ∆CFB có:

= CFB
=( 900 )
AED
AD = BC



ADB
= DBC
⇒∆AED = ∆CFB (ch – gn) ⇒ AE = CF (cạnh tương ứng)
+ Xét tứ giác AECF có:
AE // CF (cmt)
AE = CF (cmt)
⇒AECF là hình bình hành (dhnb) (đpcm)