Đề và đáp án thi thử đại học môn toán chuyên tỉnh Lào Cai

TRNGTHPTCHUYấNTNHLOCAITHITHIHCLN 1NM HC: 20122013
T:Toỏn TinhcMễN:TON (KhiA+A
1
+B+D)
Thigian:180phỳt(Khụngkthigianphỏt)
I.PHNCHUNGCHOTTCCCTHSINH(7.0im).
Cõu1(2.0im). Chohms
( 1)
1
x m
y m
x
+
= ạ
+
(C
m
)
a)Khosỏtsbinthiờnvvth(C)cahmskhim=1.
b) GiAlgiaoimcath(C
m
)vitrchonhcũnBlimcúhonhbng1thucthca(C
m
),
kvk
1
lnltlhsgúccatiptuynvi(C
m
)tiAvB.Tỡmttccỏcgiỏtrcathamsmsaocho|k+k
1
|t

giỏtrnhnht.
Cõu2(2.0im). a) Giiphngtrỡnh
2
3
2 os(2 ) 3sin( 2 ) 1 2cos ( )
2 4
c x x x

p p
p
- + - = - -
b) Giihphngtrỡnh
( )( )
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
2 2
x y x x y
x y y y x y x
- -
ỡ
- + =
ù
ớ
- = + - +
ù
ợ
Cõu3(1.0im).Tớnhtớchphõn
1
2

0
.
( 1).
x
x
x e x x
I dx
x e
+ +
=
+
ũ
Cõu4(1.0im). Chox,y,zlcỏcsthcdngvthomón iukin 2012xy yz zx xyz + + =
Tỡm giỏtrlnnhtcabiuthc:
1 1 1
2 2 2
A
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Cõu5(1. 0im). ChotdinABCDcúABCltamgiỏcvuụngtiA,AB=a,
3,A C a DA DB DC = = = .Bit
rngDBCltamgiỏcvuụngvimEnmtrờnDAsaocho 2EA ED = -
uuur uuur
.TớnhthtớchtdinEBCDtheoa.
PHNRIấNG(3.0im).ThớsinhchclmmttronghaiphnAhoc phn B.
A.Theochngtrỡnhnõngcao.
Cõu6a(1.0im).TrongmtphngtoOxychotamgiỏcABCcúA(13)B(11)C(30).Lpphngtrỡnh
ngthngdbitdiquaAvcựngvingthngdcngiquaAchiatamgiỏcABCthnhbaphncúdin
tớchbngnhau.

Cõu7a (1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
- +
= =
-
v
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
=- +
ỡ
ù
= +
ớ
ù
=
ợ
VitphngtrỡnhmtphngtrungtrccaMNbitrngMthucd
1
cũnNthucd
2

saochokhongcỏchMNl
ngnnht.
Cõu8a(1.0im).Chotp
{ }
2
: 7 0A x x x = ẻ - Ê Ơ
chnngunhiờnrabasttpA.Tớnhxỏcsutbas
cchnracútnglmtschn.
B.Theochngtrỡ nhchun.
Cõu6b(1.0im).TrongmtphngtoOxychohaingthngd
1
:2x+y2=0d
2
:x2y+1=0.GiA,B,Clnlt
lhỡnhchiuvuụnggúccaim
5 12
( )
13 13
M -
xungd
1
,d
2
vtrcOx.ChngminhrngbaimA,B,Cthnghng.
Cõu7b(1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng
1
1 2
:
2 1 1
x y z

d
- +
= =
-
v
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
=- +
ỡ
ù
= +
ớ
ù
=
ợ
imMthucd
1
,imNthucd
2
saochokhongcỏchMNlngnnht.VitphngtrỡnhmtcungkớnhMN.
Cõu8b(1.0im). Cho
5
1
1
i

z
i
+
ổ ử
=
ỗ ữ
-
ố ứ
chngminhrngz
5
+z
6
+z
7
+z
8
=0.
HT
www.VNMATH.com
TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLÀOCAI ĐÁP ÁNĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦN1NĂMHỌC20122013
TổToánTinhọc MÔN:TOÁN(KHỐIA+A1+B+D)
Hướngdẫnchấmgồm 5trang
Lưuý: Họcsinhlàmcáchkhácđúngvẫnchođiểmtươngđươngvớibiểuđiểmchấm.
Câu ý Nộidung Điểm
1 a
(1điểm)
Vớim=1thì:
x 1
y (C)
x 1

-
=
+
1) TXĐ:D=R\{1}
2) Sựbiếnthiên.
*)Tínhđúngcácgiớihạnvàchỉrađúngcácđườngtiệmcận:
*)Tínhđúngy’lậpđúngbảngbiếnthiênvàKLđúngvềtínhđơn
điệu.
3)Vẽđúngđồthị.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1điểm)
Tacó:A(m;0)và
m 1
B(1; )
2
+
.
Lạicó:
2
1 m
y'
(x 1)
-
=
+
nên

1
1 1 m
k ;k
1 m 4
-
= =
-
Suyra:
1
1 1 m 1 1 m 1 1 m
k k (do . 0)
1 m 4 1 m 4 1 m 4
- - -
+ = + = + >
- - -
Mà:
Cauchy
1 1 m 1 1 m
2 1, m 1
1 m 4 1 m 4
- -
+ ³ = " ¹
- -
Dấu“=”xảyra:
m 1
1 1 m
m 3
1 m 4
= -
é

-
= Û
ê
=
-
ë
Vậy
1
k k + đạtgiátrịnhỏnhấtbằng1,khi mÎ{-1;3}
0,25
0,25
0,25
0,25
2 a
(1điểm)
2
3
2 os(2 ) 3sin( 2 ) 1 2cos ( )
2 4
c x x x

p p
p
- + - = - -
3
2 osx 3 os2 os( 2 )
2
c c x c x

p

Û + = - -
2 osx 3 os2 sin 2c c x x Û + =
sin 2 3
os2 osx
2 2
x
c x c Û - =
sin (2x ) sin( x)
3 2

p p

Û =
5 2
2x x+k2
3 2 18 3
( )
5
2x ( x) k2 2
3 2 6
x k
k Z
x k

p p p p
p
p p p
p p p

é é
= = +
ê ê
Û Û Î
ê ê
ê ê
= - + = +
ê ê
ë ë
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1điểm)
Giảihệphươngtrình
( )( )
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0(1)
2 2 (2)
x y x x y
x y y y x y x
- -
ì
- + =
ï
í
- = + - +
ï

î
Giải:
www.VNMATH.com
Điềukiện :
, 0x y
x y
³
ì
í
³
î
Khiđó:
Xétpt(2):
( )( )
2
2 2 (2)x y y y x y x - = + - +
( )
( )
2 2 (2)x y y y x y x Û - - = - +
*)Nếu
0
0
0
x
x y y
y
=
ì
- + = Û
í

=
î
thayvàohệptthấythỏamãn :
Vậy(0;0)làmộtnghiệmcủahệphươngtrình.
*)Nếu
0x y y - + ¹
khiđó.
( )
( )
(2) 2 2 2 ( xy+ y)x y y x y x Û - = - +
( )
( )
2 [ 2 ( xy+ y)+1]=0y x y x Û - +
( )
2 0
2 ( xy+ y)+1=0(vônghiêm)
y x
y x
- =
é
ê
Û
+
ê
ë
HPTtrởthành :
3 2 3 2
3 5.6 4.2 0(1)
x=2y
x y x x y - -

ì
- + =
í
î
Khiđóthayx=2yvàopt(1)
x
2 2
3 3
x
2 2
3
( ) 1
0 0( )
2
3 5.6 4.2 0(*)
log 4 log 2
3
( ) 4
2
x x x
x y loai
x y
é
=
= Þ =
é
ê
ê
Û - + = Û Û
ê

= Þ =
ê
ê
=
ë
ê
ë
Vậyhệptcó2nghiệm :(0;0)và
3 3
2 2
(log 4;log 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
3 1điểm
Tínhtíchphân
1
2
0
.
( 1).
x
x
x e x x
I dx
x e
+ +
=
+

ò
Tacó:
1 2
1 1
0 0
1
x
I I
x x
I dx dx
e x
= +
+
ò ò
123 14243
*)Tính
1
1
0
x
x
I dx
e
=
ò
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
- -

= =
ì ì
Þ
í í
= = -
î î
Khiđó:
1
1
0
1 1
1 2
( ) 1
0 0
x x x
I xe e dx e
e e
- - -
= - + = - - = -
ò
.
*)Tính
1
2
0
1
x
I dx
x
=

+
ò
Đặt
2
2t x x t dx tdt = Þ = Þ =
Đổicận :vớix=0thìt=0.vớix=1thìt=1.
Khiđó:
1 1 1
2
2 3
2 2 2
0 0 0
1
2 2
(2 ) 2 2 2 2
0
1 1 1
t dt
I dt dt t I
t t t
= = - = - = -
+ + +
ò ò ò
*)Tính
1
3
2
0
;
1

dt
I
t
=
+
ò
Bằngcáchđặtt=tanu.Từđótínhđược
0,5
0,25
0,25
www.VNMATH.com
4
2
3
2
0
1
os
tan 1 4
du
c u
I
u

p
p

= =
+
ò

Kếtquả:
2
3
2
I
e

p

= - -
4 1điểm Chox,y,zlàcácsốthựcdươngvàthoảmãn điềukiện
2012xy yz zx xyz + + = . Tìm giátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
1 1 1
2 2 2
A
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +

Chứngminhbổđề:
1 1
( )( ) 4; , 0x y x y
x y
+ + ³ " >
1 1 1 1
( )(*)
4x y x y
Û £ +
+
Dấu‘=’cókhix=y.

Giảthiết:
1 1 1
2012 2012xy yz zx xyz
x y z
+ + = Û + + =
Tacó:
(*) (*)
1 1 1 1 1 1 2 1 1
( ) ( )(1)
2 ( ) ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y z
= £ + £ + +
+ + + + + + +
Hoàntoàntươngtựtacó:
(*)
1 1 1 2 1
( )(2)
2 16x y z x y z
£ + +
+ +
và
(*)
1 1 1 1 2
( )(3)
2 16x y z x y z
£ + +
+ +
Cộngvếvớivế(1);(2)và(3)tanhậnđược:
1 1 1 1 1 1 1 2012
( ) 503
2 2 2 4 4

A
x y z x y z x y z x y z
= + + £ + + = =
+ + + + + +
Alớnnhất=503đạtđượckhix=y=z=3/2012
0.25
0,25
0,25
0,25
5 (1điểm) ChotứdiệnABCDcóABClàtamgiácvuôngtạiA,
AB=a,
3,A C a DA DB DC = = = .BiếtrằngDBClàtamgiác
vuôngvàđiểmEnằmtrênDAthỏamãn 2EA ED = -
uuur uuur
.Tínhthể
tíchtứdiệnEBCDtheoa.

Tacó:
1 1
3 3
DEBC
DEBC D ABC
DABC
V
DE
V V
V DA
= = Þ =
*)TínhV
ABCD

0,25
A
D
C
I
B
E
www.VNMATH.com
DoDA=DB=BCnênhìnhchiếucủaDlên(ABC)chínhlàtâm
đườngtrònngoạitiếptamgiácABC,tứclàtrungđiểmIcủaBC.
TatínhđượcBC=2a,từtamgiácDBCvuôngcântạiDnênchiều
caoDI=1/2BC=a.Khiđó:
3 3
1 1 3 3
. . . . 3 ( )
3 6 6 18
DABC ABC DEBC
a a
V DI S a a a V dvtt = = = Þ =
0,25
0,25
6a 1điểm TrongmặtphẳngtoạđộOxychotamgiácABCcóA(1;3);B(
1;1);C(3;0).Lậpphươngtrình đườngthẳngdbiếtdđiquaAvà
cùngvớiđườngthẳngd’cũngđiquaAchiatamgiácABCthành
baphầncódiệntíchbằngnhau.

GọiM,NlàcácđiểmthuộccạnhBCsaochoAM,ANchiatam
giácABCthànhbaphầncódiệntíchbằngnhau.Khiđóbatam
giácABM,AMNvàANCcócùngchiềucaoxuấtpháttừAnên.
BM=MN=NC.

Suyra:
1 2
;
3 3
B M BC BN BC = =
uuuur uuur uuur uuur
Lạicó: (4; 1); ( 1; 1); ( 1; 1)
M M N N
B C B M x y BN x y = - = + - = + -
uuur uuuur uuur
Dovậy :
1 1 2
( ; ) : 7 2 1 0
3 3 3
B M BC M AM x y = Þ Þ - - =
uuuur uuur
2 5 1
( ; ) : 4 7 0
3 3 3
B N BC N AN x y = Þ Þ + - =
uuur uuur
Kếtluận :Phươngtrìnhcầntìm :7x2y1=0và4x+y7=0
0,5
0,25
0,25
7a 1điểm
TronghệtrụcOxyzchohaiđườngthẳng
1
1 2
:

2 1 1
x y z
d
- +
= =
-
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
=- +
ì
ï
= +
í
ï
=
î
ViếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủaMNbiếtrằngMthuộc
d
1
cònNthuộcd
2
saochokhoảngcáchMNlàngắnnhất.

GọiM(2t;1t;2+t)thuộcd

1
cònN(1+2s;1+s;3)thuộcd
2
Khiđó:
(2 1 2 ; ; 5)NM t s t s t + - - - -
uuuur
.
MNngắnnhấtkhivàchỉkhiMNlàđườngvuônggócchungcủa
d
1
vàd
2
khiđó:
1
2
. 0
1
. 0
NM u
t s
NM u
ì
=
ï
Û = =
í
=
ï
î
uuuurur

uuuuruur
VậyM(2;0;1)vàN(1;2;3)
Mặtphẳngtrungtrực(P)củaMNđiquatrungđiểmI(3/2;1;2)của
MNvànhận
(1; 2; 4)NM - -
uuuur
làmvéctơpháptuyếnnêncódạng:
2x4y8z+29=0(P)
0,25
0,25
0,25
0,25
8a 1điểm
Chotập
{ }
2
: 7 0A x x x = Î - £ ¥
chọnngẫunhiênrabasốtừ
tậpA.Tínhxácsuấtđểbasốđượcchọnracótổnglàmộtsốchẵn.

Tacó:A={0;1;2;…;7}
Khônggianmẫu:
3
8
C W =
.
A=‘’Biếncốlấyra3sôcótổnglàsốchẵn’’.
Để3sốlấyracótổngbasốlàsốchẵnthìhoặccảbasốđềulàsố
0,25
www.VNMATH.com

chẵn,hoặc1sốchẵnvà2sốlẻnên :
3 1 2
4 4 4
.
A
C C C W = +
Khiđóxácsuấtlà:
3 1 2
4 4 4
3
8
.
( )
C C C
P A
C
+
=
0,5
0,25
6b 1điểm TrongmặtphẳngtoạđộOxychohaiđườngthẳngd
1
:2x+y2=0;
d
2
:x2y+1=0.GọiA,B,Clầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa
điểm
5 12
( ; )
13 13

M -
xuốngd
1
,d
2
vàtrụcOx.Chứngminhrằngba
điểmA,B,Cthẳnghàng.

Giải.
A(a;22a)thuộcd
1
;B(2b1;b)thuộcd
2
5 38 18 12
( ; 2 ); (2 ; )
13 13 13 13
MA a a MB b b - - - +
uuur uuur
Từ
1
81 81 32
. 0 ( ; )
65 65 65
MAu a A = Þ = Þ -
uuur ur
2
24 17 24
. 0 ( ; )
65 65 65
MB u b B = Þ = Þ -

uuur uur
Mặtkhác:
5
( ;0)
13
C
khiđó:
56 32 42 24 3
( ; ); ( ; )
65 65 65 65 4
AC BC BC AC
-
- Þ = -
uuur uuur uuur uuur
VậyA,B,Cthẳnghàng.
7b 1điểm Tươngtự(7a).TâmmặtcầulàIvàbánkínhMN/2
8b 1điểm
Cho
3
1
1
i
z
i
+
æ ö
=
ç ÷
-
è ø

chứngminhrằngz
5
+z
6
+z
7
+z
8
=0.

Tacó:
5
5 5
2
5
2
1 1 2 2
1 1 2
i i i i
z i i
i i
æ ö
+ + +
æ ö æ ö
= = = = =
ç ÷
ç ÷ ç ÷
- -
è ø è ø
è ø

Dođó:z
5
+z
6
+z
7
+z
8
=z
5
(1+z+z
2
+z
3
)=(i)
5
(1+i+i
2
+i
3
)=0
0,5
0,5
www.VNMATH.com