12 CÔNG THỨC HÌNH oxyz

• Khoảng cách từ MỘT ĐIỂM tới ĐƯỜNG THẲNG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝒖
|[ 𝑴𝑵
⃗ ]|

d(M,Δ) =
với d: {

|𝒖
⃗|

𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧)
và M là điểm đề bài yêu cầu.
𝑉𝑇𝐶𝑃 𝑢
⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)

• Khoảng cách từ MỘT ĐIỂM tới MẶT PHẲNG

d(M,(α)) =

|𝒂𝒙𝑴 +𝒃𝒚𝑴 +𝒄𝒛𝑴 +𝒅|
√𝒂𝟐 +𝒃𝟐 +𝒄𝟐

với (α): ax + by + cz + d = 0 và M(xM; yM; zM) là điểm đề bài yêu cầu.
𝑛⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)

• Khoảng cách giữa hai ĐƯỜNG THẲNG

d(Δ,d) =
với Δ: {

𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧)
𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗
𝑢Δ

d: {

|[ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗𝒅 ] . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖𝚫 ,𝒖
𝑴𝑵|
|[ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗𝒅 ]|
𝒖𝚫 ,𝒖

𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧)
𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗
𝑢d

• Góc giữa hai VECTO
⃗ . ⃗𝒃
𝒂
𝒂𝟏 𝒃𝟏 +𝒂𝟐 𝒃𝟐 +𝒂𝟑 𝒃𝟑
cos α =
=
⃗|
⃗|
|𝒂
|𝒂
⃗ | . |𝒃
⃗ | . |𝒃

• Góc giữa hai MẶT PHẲNG
cos α =

|⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 |
𝒏𝟏 . 𝒏
|⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 | . |⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟐 |

với (P) có VTPT ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 và α là góc giữa (P) và (Q).
(Q) có VTPT ⃗⃗⃗⃗
𝑛2

• Góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG
cos α =

|⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 |
𝒖𝟏 . 𝒖
|𝒖
⃗⃗⃗⃗𝟏 | . |⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟐 |

với (Δ1) có VTCP ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 và α là góc giữa (Δ1) và (Δ2).
(Δ2) có VTCP ⃗⃗⃗⃗
𝑢2

• Vị trí tương đối giữa HAI ĐƯỜNG THẲNG
với d1: {

𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧)
𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧)
; d2: {
𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗
𝑢1
𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2


Xét ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟐 có cùng phương ?
CĨ

KHƠNG
d1 ≡ d2

d1 // d2
M1 thế vô d2
→ SAI

d1 chéo d2

M1 thế vô d2
→ ĐÚNG

Ptts d1 = Ptts d2

→ VÔ NGHIỆM

Ptts d1 = Ptts d2
→ CÓ 1 NGHIỆM

⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗
𝒏
𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟐 ] ≠ 0

⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗
𝒏
𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟐 ] = 0
Thay M vào d2
M không thuộc d2

d1 cắt d2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ . 𝑴𝑵
𝒏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝟎
⃗ . 𝑴𝑵
𝒏

M thuộc d2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎
⃗ . 𝑴𝑵

𝒏

• Vị trí tương đối giữa HAI MẶT PHẲNG
với (α): Ax + By + Cz + D = 0 và (β): ax + by + cz + d = 0

𝑨
=
𝒂
𝑨
=
𝒂

𝑩
𝑪
𝑫
= ≠
𝒃
𝒄
𝒅
𝑩
𝑪
𝑫
= =
𝒃
𝒄
𝒅
𝑨
𝑩
𝑩
𝑪

𝑨 𝑪
≠
𝒉𝒂𝒚 ≠
𝒉𝒂𝒚 ≠
𝒂
𝒃
𝒃
𝒄
𝒂 𝒄

(α) // (β)
(α) ≡ (β)
(α) ∩ (β)
(α) ﬩ (β)

Aa + Bb + Cc = 0

• Vị trí tương đối giữa ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑎𝑡
với d: { 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑐𝑡

và mp (α): Ax + By + Cz + D = 0

M(xo; yo; zo), 𝑢
⃗⃗⃗⃗𝑑 = (𝑎; 𝑏; 𝑐)
Cách 1:

Xét pt: A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (ẩn t)

• Phương trình vơ nghiệm: d // (α)
• Phương trình có đúng 1 nghiệm: d cắt (α) tại điểm M(xo + at; yo + bt; zo + ct) [thay t vào].

• Phương trình ln đúng: d chứa trong (α)
Cách 2:

⃗⃗⃗⃗𝐝 . ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖
𝒏𝜶
⃗⃗⃗⃗𝐝 . ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖
𝒏𝜶 = 𝟎

Thay M vào (α)
M không thuộc (α)
→ d // (α)

M thuộc (α)
→ d chứa trong (α)

⃗⃗⃗⃗𝐝 . ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖
𝒏𝜶 ≠ 𝟎
d cắt (α)