Toán cao cấp-Đại số tuyến tính ppt

Ma trận
TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Nguyễn Ngọc Phụng
-
Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM
ĐT: 0989 969 057
Email:
Website:
10-10-2010
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Nội dung môn học Đại số tuyến tính
Chương I: Ma trận
1
Ma trận và các phép toán trên ma trận.
2
Đònh thức.
3
Hạng của ma trận.
4
Ma trận nghòch đảo.
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
1
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
2
Hệ Cramer.
3
Phương pháp Gauss.
4
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ma trận
Chương III: Không gian vectơ nhiều chiều
1
Vectơ n-chiều, không gian vectơ n-chiều, không gian Euclide.
2
Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính.
3
Hạng của hệ vectơ.
4
Không gian con: cơ sở và số chiều.
5
Tọa độ trong không gian R
n
.
Chương IV: Dạng toàn phương
1
Phép biến đổi tuyến tính.
2
Trò riêng, vectơ riêng. Chéo hóa ma trận.
3
Dạng toàn phương.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
1
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Phép chuyển vò
Phép cộng ma trận với ma trận
Phép nhân ma trận với một số

Phép nhân ma trận với ma trận
Các tính chất
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận cấp m × n là một bảng số bao gồm m dòng và n cột .
Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (a
ij
)
m×n
với i = 1, m, j = 1, n
A =








a
11
a
1j
a
1n

.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
ij
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
mj
a
mn









m×n
← dòng thứ i
↑
cột thứ j
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Ví dụ:
A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11


A là ma trận có 3 dòng và 4 cột
A là ma trận thực cấp 3 × 4
Các phần tử của ma trận A là:

a
11
= 0, a
12
= 1, a
13
= 2, a
14
= 3
a
21
= 4, a
22
= 5, a
23
= 6, a
24
= 7
a
31
= 8, a
32
= 9, a
33
= 10, a
34
= 11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm

Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không,
(a
ij
= 0, ∀i, j), kí hiệu là 0
m×n
.
Đònh nghóa
Cho A = (a
ij
)
m×n
.
Khi m=1 ta được ma trận dòng A = (a
11
a
12
· · · a
1n
)
Khi n=1 ta được ma trận cột A =





a

11
a
21
.
.
.
a
m1





Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột.
Các phần tử a
ii
lập thành đường chéo chính.
Các phần tử a
ij
với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụï.
Ví dụ :
A =





0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15




4×4
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
được gọi là ma trận tam giác trên ⇔ Các
phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0 ⇔ a
ij
= 0, ∀i > j.
Ví dụ :
A =



2 1 −3
0 0 0
0 0 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
được gọi là ma trận tam giác dưới ⇔ Các
phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0⇔ a
ij
= 0, ∀i < j.
Ví dụ :
A =


2 0 0
−1 0 0
3 0 3



Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo ⇔ Các phần tử không nằm
trên đường chéo chính đều bằng 0⇔ a
ij
= 0, ∀i = j
Ví dụ: A =


1 0 0
0 0 0
0 0 −3


Đònh nghóa
Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1
được gọi là ma trận đơn vò⇔ a
ij
= 0, ∀i = j và a
ii
= 1, ∀i.
Ma trận đơn vò cấp n được kí hiệu là I
n
.
Ví dụ: I

2
=

1 0
0 1

I
3
=


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện
1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng.
2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột
bên trái phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có).
Ví dụ
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay
không?
A =



1 0 2
0 2 −1
0 0 0


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện
1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng.
2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột
bên trái phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có).
Ví dụ
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay
không?
A =


1 0 2
0 2 −1
0 0 0


⇒ A là ma trận bậc thang theo dòng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2 3
0 2 −1 1
0 0 0 0
0 0 1 1




Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2 3

0 2 −1 1
0 0 0 0
0 0 1 1




⇒ A không là ma trận bậc thang theo dòng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2
0 2 −1
0 −1 1
0 0 1




Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm

Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2
0 2 −1
0
−1 1
0 0 1




⇒ A không là ma trận bậc thang theo dòng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2 3 −1

0 2 −1 1 0
0 0 1 0 3
0 6 0 1 1




Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
A =




1 0 2 3 −1
0 2 −1 1 0
0 0 1 0 3
0 6 0 1 1




⇒ A không là ma trận bậc thang theo
dòng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận

Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
Ma trận đối xứng là ma trận vuông thỏa a
ij
= a
ji
, ∀i, j = 1, n.
Ví dụ :
A =


−1 1 0
1 2 5
0 5 0


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Các khái niệm
Đònh nghóa
A = B ⇔

A và B cùng cấp.
a

ij
= b
ij
, ∀i, j.
Ví dụ: Cho A =


1 −2 x − 1
−3 0 1
4 1 5


và B =


1 −2 3
−3 0 1
4 y + 1 5


A = B ⇔

x − 1 = 3
y + 1 = 1
⇔

x = 4
y = 0
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận

Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Phép chuyển vò
Đònh nghóa (Ma trận chuyển vò)
Ma trận chuyển vò của A = (a
ij
)
m×n
, kí hiệu là A
T
= (a
ji
)
n×m
, có được
bằng cách đổi dòng của ma trận A thành cột hoặc đổi cột thành dòng.
Ví dụ :
A =


2 −1 3 1
4 0 9 2
3 1 −2 0


3×4
A
T
=





2 4 3
−1 0 1
3 9 −2
1 2 0




4×3
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Phép cộng ma trận với ma trận
Đònh nghóa (Tổng của hai ma trận)
Cho A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
.
C = A + B = (c

ij
)
m×n
⇔ c
ij
= a
ij
+ b
ij
, ∀i, j.
Ví dụ : Cho A =


2 1 −1
1 −2 0
1 0 −1


và B =


1 0 1
−3 4 0
0 3 2


Khi đó ma trận A + B =


3 1 0

− 2 2 0
1 3 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Tích ma trận với một số
Đònh nghóa (Tích của ma trận với một số)
Cho A = (a
ij
)
m×n
, k ∈ R. C = k.A = (c
ij
)
m×n
⇔ c
ij
= k.a
ij
, ∀i, j.
Ví dụ:
A =


2 0 −1
−2 1 0

1 0 −1


3×3
⇒ 2A =


4 0 −2
− 4 2 0
2 0 −2


3×3
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Phép nhân ma trận với ma trận
Đònh nghóa (Tích ma trận với ma trận)
C = A.B tồn tại ⇔ A = (a
ij
)
mxp
và B = (b
ij
)
pxn
. Khi đó C = (c
ij

)
m×n
với
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ + a
ip
b
pj
, ∀i, j.
AB =


∗ ∗ ∗ ∗
a
i1
a
i2
· · · a
ip
∗ ∗ ∗ ∗








∗
b
1j
∗
∗ b
2j
∗
∗
.
.
. ∗
∗ b
pj
∗





=





.
.
.
c
ij

.
.
.




Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH